高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 12.2 古典概型課件 理 新人教版

12.2古典概型基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1.基本事件的特點(diǎn)基本事件的特點(diǎn)知識(shí)梳理(1)任何兩個(gè)基本事件是 的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和.互斥基本事件2.古典概型古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為 ，簡(jiǎn)稱古典概型.(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件 ；(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 .古典概率模型只有有限個(gè)相等3.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是 ；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A) .4.古典概型的概率公式古典概型的概率公式判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.()(3)從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為5005 g的袋裝食鹽中任取一袋，測(cè)其重量，屬于古典概型.()思考辨析思考辨析(4)有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為 .()(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，且集合A中的元素個(gè)數(shù)為n，所有的基本事件構(gòu)成集合I，且集合I中元素個(gè)數(shù)為m，則事件A的概率為 .() 考點(diǎn)自測(cè)1.從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是答案解析基本事件的總數(shù)為6，構(gòu)成“取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2”這個(gè)事件的基本事件的個(gè)數(shù)為2， 2.(2016北京)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為答案解析從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選2人共有10種情況，甲被選中有4種情況， 3.(2015課標(biāo)全國(guó))如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為答案解析4.從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為_.答案解析取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種，5.(教材改編)同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為_.答案解析擲兩個(gè)骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6636(種)可能的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6個(gè)，題型分類題型分類深度剖析深度剖析題型一基本事件與古典概型的判斷題型一基本事件與古典概型的判斷例例1 (1)有兩顆正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗(yàn)：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).試寫出：試驗(yàn)的基本事件；解答這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含的基本事件；解答事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含的基本事件為(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的基本事件.事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的基本事件為(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).解答(2)袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)別于其他球的編號(hào)，從中摸出一個(gè)球.有多少種不同的摸法？如果把每個(gè)球的編號(hào)看作一個(gè)基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解答由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號(hào)，故共有11種不同的摸法.又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，因此每個(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號(hào)為基本事件的概率模型為古典概型.若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個(gè)基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解答由于11個(gè)球共有3種顏色，因此共有3個(gè)基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，而白球有5個(gè)，顯然這三個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型.一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型.思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1下列試驗(yàn)中，古典概型的個(gè)數(shù)為向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；向正方形ABCD內(nèi)，任意拋擲一點(diǎn)P，點(diǎn)P恰與點(diǎn)C重合；從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；在線段0,5上任取一點(diǎn)，求此點(diǎn)小于2的概率.A.0 B.1 C.2 D.3答案解析中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限個(gè)，不是古典概型；符合古典概型的特點(diǎn)，是古典概型. 題型二古典概型的求法題型二古典概型的求法例例2(1)(2015廣東)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球，則所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為答案解析(2)(2015江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_.設(shè)取出兩只球顏色不同為事件A，答案解析(3)我國(guó)古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”將這五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件A發(fā)生的概率為_.答案解析滿足事件A“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”的基本事件可以按如下方法進(jìn)行考慮：從左至右，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)位置的屬性確定后，例如：金，第二個(gè)位置(除去金本身)只能排土或水屬性，當(dāng)?shù)诙€(gè)位置的屬性確定后，其他三個(gè)位置的屬性也確定，引申探究引申探究1.本例(2)中，若將4個(gè)球改為顏色相同，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)小球，從中一次取兩球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率. 解答基本事件數(shù)仍為6.設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件A，則A包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，2.本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率. 解答求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016全國(guó)乙卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是答案解析從4種顏色的花中任選2種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇，有(紅黃)，(白紫)，(白紫)，(紅黃)，(紅白)，(黃紫)，(黃紫)，(紅白)，(紅紫)，(黃白)，(黃白)，(紅紫)，共6種種法，其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的種法有(紅黃)，(白紫)，(白紫)，(紅黃)，(紅白)，(黃紫)，(黃紫)，(紅白)，共4種，(2)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率；解答由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種.求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.解答設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，題型三題型三古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用例例3(2015安徽)某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工.根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：40,50)，50,60)，80,90)，90,100. 解答(1)求頻率分布直方圖中a的值；因?yàn)?0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率； 解答由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.0220.018)100.4，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.(3)從評(píng)分在40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在40,50)的概率. 解答受訪職工中評(píng)分在50,60)的有500.006103(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評(píng)分在40,50)的有500.004102(人)，記為B1，B2，從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2.又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在40,50)的結(jié)果有1種，即B1，B2，有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn).概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè). 解答(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；地區(qū)ABC數(shù)量50150100因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率. 解答設(shè)6件來自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15個(gè).每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4個(gè).典例典例(12分)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求nm2的概率. 審細(xì)節(jié)更完善思想與方法系列思想與方法系列六審題路線圖規(guī)范解答(1)基本事件為取兩個(gè)球(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取兩個(gè)球的所有結(jié)果列舉出來1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4兩球編號(hào)之和不大于4(注意：和不大于4，應(yīng)為小于4或等于4)1,2，1,3利用古典概型概率公式求解(2)兩球分兩次取，且有放回(兩球的編號(hào)記錄是有次序的，用坐標(biāo)的形式表示)基本事件的總數(shù)可用列舉法表示(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(注意細(xì)節(jié)，m是第一個(gè)球的編號(hào)，n是第2個(gè)球的編號(hào))nm2的情況較多，計(jì)算復(fù)雜(將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題)計(jì)算nm2的概率nm2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4) 返回解解(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6個(gè).(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2個(gè).其一切可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè). 6分又滿足條件nm2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個(gè)，故滿足條件n0，所以f(x)在R上遞增，若f(x)在1,2上有零點(diǎn)，經(jīng)驗(yàn)證有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11對(duì)滿足條件，而總的情況有16種，123456789101112135.有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，則取出球的編號(hào)互不相同的概率為 答案 解析從編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球中隨機(jī)取出4個(gè)，設(shè)事件A為“取出球的編號(hào)互不相同”，123456789101112136.如圖，三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i1,2,3；j1,2,3)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是答案解析12345678910111213123456789101112137.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于答案解析12345678910111213如圖所示，從正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn)，可以看作隨機(jī)選2個(gè)頂點(diǎn)，剩下的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種.若要構(gòu)成矩形，只要選相對(duì)頂點(diǎn)即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，123456789101112138.若A、B為互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，則P(B)_. 答案 解析0.3因?yàn)锳、B為互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B)，故P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.123456789101112139.(2017成都月考)如圖的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測(cè)試中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)不超過乙的平均成績(jī)的概率為_.依題意，記題中的被污損數(shù)字為x， 答案 解析0.3若甲的平均成績(jī)不超過乙的平均成績(jī)，則有(8921)(53x5)0，x7，即此時(shí)x的可能取值是7,8,9，1234567891011121310.10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是_. 答案 解析1234567891011121311.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3).(1)求事件“ab”發(fā)生的概率； 解答由題意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36種.因?yàn)閍b，所以m3n0，即m3n，有(3,1)，(6,2)，共2種，12345678910111213(2)求事件“|a|b|”發(fā)生的概率. 解答由|a|b|，得m2n210，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6種，1234567891011121312.袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為 ，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的.(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；12345678910111213 解答則n(n1)6，解得n3(舍去n2)，即袋中原有3個(gè)白球.12345678910111213 解答(2)求取球2次即終止的概率；設(shè)事件A為“取球2次即終止”.取球2次即終止，即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，12345678910111213 解答(3)求甲取到白球的概率.設(shè)事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件Ai，i1,2,3,4,5，因?yàn)榧紫热?，所以甲只可能在?次，第3次和第5次取到白球.12345678910111213*13.(2016北京海淀區(qū)期末)為了研究某種農(nóng)作物在特定溫度(要求最高溫度t滿足：27 t30 )下的生長(zhǎng)狀況，某農(nóng)學(xué)家需要在10月份去某地進(jìn)行為期10天的連續(xù)觀察試驗(yàn).現(xiàn)有關(guān)于該地區(qū)歷年10月份日平均最高溫度和日平均最低溫度(單位：)的記錄如下：12345678910111213 解答(1)根據(jù)本次試驗(yàn)?zāi)康暮驮囼?yàn)周期，寫出農(nóng)學(xué)家觀察試驗(yàn)的起始日期；農(nóng)學(xué)家觀察試驗(yàn)的起始日期為7日或8日.12345678910111213(2)設(shè)該地區(qū)今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高溫度的方差和最低溫度的方差分別為D1，D2，估計(jì)D1，D2的大小；(直接寫出結(jié)論即可) 解答最高溫度的方差D1大.12345678910111213(3)從10月份31天中隨機(jī)選擇連續(xù)3天，求所選3天每天日平均最高溫度值都在27,30之間的概率. 解答設(shè)“連續(xù)3天平均最高溫度值都在27,30之間”為事件A，則基本事件空間可以設(shè)為(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，(29,30,31)，共29個(gè)基本事件，由題圖可以看出，事件A包含10個(gè)基本事件，12345678910111213