創(chuàng)新方案高考人教版數(shù)學(xué)文總復(fù)習(xí)練習(xí)：第五章 數(shù)列 課時(shí)作業(yè)31 Word版含解析

課時(shí)作業(yè)31等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a31，a5與a4的等差中項(xiàng)為，則a1的值為(A)A4 B2C. D.解析：由題意知2×a5a4，即3a42a52.設(shè)an的公比為q(q0)，則由a31，得3q2q22，解得q或q2(舍去)，所以a14.2(2019·益陽(yáng)調(diào)研)已知等比數(shù)列an中，a53，a4a745，則的值為(D)A3 B5C9 D25解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a4a7·a5q29q45，所以q5，q225.故選D.3(2019·武昌調(diào)研)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn24Sn3恒成立，則a1的值為(C)A3 B1C3或1 D1或3解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，當(dāng)q1時(shí)，Sn2(n2)a1，Snna1，由Sn24Sn3得，(n2)a14na13，即3a1n2a13，若對(duì)任意的正整數(shù)n,3a1n2a13恒成立，則a10且2a130，矛盾，所以q1，所以Sn，Sn2，代入Sn24Sn3并化簡(jiǎn)得a1(4q2)qn33a13q，若對(duì)任意的正整數(shù)n該等式恒成立，則有解得或故a11或3，故選C.4(2019·西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若a1·a6·a113，b1b6b117，則tan的值是(A)A B1C D.解析：依題意得，a()3，a6，3b67，b6，故tantantan.5(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為(D)A.f B.fC.f D.f解析：由題意知，十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成首項(xiàng)為f，公比為的等比數(shù)列，設(shè)該等比數(shù)列為an，則a8a1q7，即a8f，故選D.6在正項(xiàng)數(shù)列an中，a12，點(diǎn)(，)(n2)在直線xy0上，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn等于(A)A2n12 B2n1C2 D2解析：因?yàn)辄c(diǎn)(，)(n2)在直線xy0上，所以·0. 又因?yàn)閍n0，所以2(n2)又a12，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以所求的Sn2n12.7(2019·天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)月考)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q2，且a1·a2·a3··a30230，則a3·a6·a9··a30(B)A210 B220C216 D215解析：因?yàn)閍1a2a3a，a4a5a6a，a7a8a9a，a28a29a30a，所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9a28a29a30(a2a5a8a29)3230.所以a2a5a8a29210.則a3a6a9a30(a2q)(a5q)(a8q)(a29q)(a2a5a8a29)q10210×210220，故選B.8(2019·山西太原模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn3)(nN*)在函數(shù)y3×2x的圖象上，等比數(shù)列bn滿足bnbn1an(nN*)，其前n項(xiàng)和為Tn，則下列結(jié)論正確的是(D)ASn2Tn BTn2bn1CTnan DTnbn1解析：由題意可得Sn33×2n，Sn3×2n3，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的特點(diǎn)可得數(shù)列an是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式an3×2n1，設(shè)bnb1qn1，則b1qn1b1qn3×2n1，當(dāng)n1時(shí)，b1b1q3，當(dāng)n2時(shí)，b1qb1q26，解得b11，q2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn2n1，由等比數(shù)列求和公式有：Tn2n1，觀察所給的選項(xiàng)：Sn3Tn，Tn2bn1，Tnan，Tnbn1.9在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a2 018，則的最小值為4.解析：設(shè)公比為q(q0)，因?yàn)閍2 018，所以a2 017，a2 019a2 018qq，則有qq2 4，當(dāng)且僅當(dāng)q22，即q時(shí)取等號(hào)，故所求最小值為4.10(2019·湖北荊州一模)已知等比數(shù)列an的公比不為1，設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S127S4，則3.解析：由題意可知S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列，則(S8S4)2S4·(S12S8)，又S127S4，(S8S4)2S4·(7S4S8)，可得S6SS8S40，兩邊都除以S，得260，解得3或2，又1q4(q為an的公比)，1，3.11設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且當(dāng)n2時(shí)，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)證明：為等比數(shù)列解：(1)當(dāng)n2時(shí)，4S45S28S3S1，即4×5×8×1，解得a4.(2)證明：因?yàn)?Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，所以4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即4an2an4an1(n2)又因?yàn)?a3a14×164a2，所以4an2an4an1，所以，所以數(shù)列是以a2a11為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列12(2016·四川卷)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.(1)若2a2，a3，a22成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)雙曲線x21的離心率為en，且e2，證明：e1e2en.解：(1)由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，兩式相減得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan對(duì)所有n1都成立所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列從而anqn1.由2a2，a3，a22成等差數(shù)列，可得2a33a22，即2q23q2，則(2q1)(q2)0，由已知，q0，故q2.所以an2n1(nN*)(2)證明：由(1)可知，anqn1.所以雙曲線x21的離心率en.由e2，解得q.因?yàn)?q2(k1)q2(k1)，所以qk1(kN*)于是e1e2en1qqn1，故e1e2en.13(2019·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷測(cè)試)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半?！苯裼斨?，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟羊主人說(shuō)：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說(shuō)：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)償還a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是(D)Aa，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且aBa，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且cCa，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且aDa，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且c解析：由題意可知ba，cb，.a、b、c成等比數(shù)列且公比為.1斗10升，5斗50升，abc50，又易知a4c，b2c，4c2cc50，7c50，c，故選D.14(2019·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*)，且對(duì)任意nN*都有t，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(D)A. B.C. D.解析：依題意得，當(dāng)n2時(shí)，an2n2(n1)222n1，又a12122×11，因此an22n1，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等于，因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是.15(2019·東北三省三校聯(lián)考)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an和bn滿足：an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列，且a11，a23，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.解析：由題意知2bnanan1，abn·bn1，an1，當(dāng)n2時(shí)，2bn，bn0，2，成等差數(shù)列，由a11，a23，得b12，b2，公差d，bn，an.16已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：Sn(nN*)解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)?S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an×n1(1)n1·.(2)證明：由(1)知，Sn1n，Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以SnS2.故對(duì)于nN*，有Sn.