[理學(xué)]理論力學(xué) 周衍柏 第三版 第一章習(xí)題答案

第一章習(xí)題解答 1.1 由題可知示意圖如題1.1.1圖:設(shè)開始計時的時刻速度為,由題可知槍彈作勻減速運動設(shè)減速度大小為.則有:由以上兩式得再由此式得 證明完畢.1.2 解 由題可知,以燈塔為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)如題1.2.1圖.設(shè)船經(jīng)過小時向東經(jīng)過燈塔,則向北行駛的船經(jīng)過小時經(jīng)過燈塔任意時刻船的坐標(biāo)，船坐標(biāo)，則船間距離的平方即對時間求導(dǎo)船相距最近，即，所以即午后45分鐘時兩船相距最近最近距離km1.3 解 如題1.3.2圖由題分析可知，點的坐標(biāo)為又由于在中，有（正弦定理）所以聯(lián)立以上各式運用由此可得得得化簡整理可得此即為點的軌道方程.（2）要求點的速度，分別求導(dǎo)其中又因為對兩邊分別求導(dǎo)故有所以1.4 解 如題1.4.1圖所示，繞點以勻角速度轉(zhuǎn)動，在上滑動，因此點有一個垂直桿的速度分量點速度又因為所以點加速度1.5 解 由題可知，變加速度表示為由加速度的微分形式我們可知代入得對等式兩邊同時積分可得 ：（為常數(shù)）代入初始條件：時，故即又因為所以對等式兩邊同時積分，可得： 1.6 解 由題可知質(zhì)點的位矢速度沿垂直于位矢速度又因為 ， 即即（取位矢方向，垂直位矢方向）所以 故 即 沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 把代入式中可得1.7 解 由題可知 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 對于加速度，我們有如下關(guān)系見題1.7.1圖即 -對倆式分別作如下處理：，即得 -+得 把代入 得同理可得1.8解 以焦點為坐標(biāo)原點，運動如題1.8.1圖所示則點坐標(biāo)對兩式分別求導(dǎo)故 如圖所示的橢圓的極坐標(biāo)表示法為對求導(dǎo)可得（利用）又因為 即 所以 故有 即 （其中為橢圓的半短軸）1.9證 質(zhì)點作平面運動，設(shè)速度表達(dá)式為令為位矢與軸正向的夾角，所以所以 又因為速率保持為常數(shù)，即為常數(shù)對等式兩邊求導(dǎo)所以即速度矢量與加速度矢量正交.1.10解 由題可知運動軌跡如題1.10.1圖所示，則質(zhì)點切向加速度法向加速度，而且有關(guān)系式 又因為 所以 聯(lián)立 又把兩邊對時間求導(dǎo)得又因為 所以 把代入既可化為對等式兩邊積分所以1.11解 由題可知速度和加速度有關(guān)系如圖1.11.1所示兩式相比得即 對等式兩邊分別積分即 此即質(zhì)點的速度隨時間而變化的規(guī)律. 1.12證 由題1.11可知質(zhì)點運動有關(guān)系式 所以 ，聯(lián)立，有又因為所以 ，對等式兩邊分別積分，利用初始條件時，1.13 證（）當(dāng)，即空氣相對地面上靜止的，有.式中質(zhì)點相對靜止參考系的絕對速度， 指向點運動參考系的速度， 指運動參考系相對靜止參考系的速度.可知飛機(jī)相對地面參考系速度：=，即飛機(jī)在艦作勻速直線運動.所以飛機(jī)來回飛行的總時間 .（）假定空氣速度向東，則當(dāng)飛機(jī)向東飛行時速度飛行時間 當(dāng)飛機(jī)向西飛行時速度飛行時間故來回飛行時間即 同理可證，當(dāng)空氣速度向西時，來回飛行時間（c）假定空氣速度向北.由速度矢量關(guān)系如題1.13.1圖所以來回飛行的總時間 同理可證空氣速度向南時，來回飛行總時間仍為1.14解 正方形如題1.14.1圖。由題可知設(shè)風(fēng)速,當(dāng)飛機(jī)，故飛機(jī)沿此邊長6正方形飛行一周所需總時間  1.15 解 船停止時，干濕分界線在蓬前3，由題畫出速度示意圖如題.15.1圖 故又因為，所以由圖可知所以=8 1.16解 以一岸邊為軸，垂直岸的方向為軸.建立如題1.16.1圖所示坐標(biāo)系.所以水流速度又因為河流中心處水流速度為所以。當(dāng)時，即 -得，兩邊積分 聯(lián)立，得 同理，當(dāng)時，即 由知，當(dāng)時，代入得有 ，所以船的軌跡船在對岸的了；靠攏地點，即時有 1.17 解 以為極點，岸為極軸建立極坐標(biāo)如題.17.1圖.船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即 -/得 ，對兩積分：設(shè)為常數(shù)，即代入初始條件時，.設(shè)有得  1.18 解 如題1.18.1圖質(zhì)點沿下滑，由受力分析我們可知質(zhì)點下滑的加速度為.設(shè)豎直線，斜槽，易知，由正弦定理即 又因為質(zhì)點沿光滑面下滑，即質(zhì)點做勻速直線運動.所以 有 欲使質(zhì)點到達(dá)點時間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令把對求導(dǎo) 極大值時，故有由于是斜面的夾角，即所以  1.19 解 質(zhì)點從拋出到落回拋出點分為上升和下降階段.取向上為正各力示意圖如題1.19.1圖，上升時 下降時題1.19.1圖則兩個過程的運動方程為：上升 下降： 對上升階段:即 對兩邊積分所以 即質(zhì)點到達(dá)的高度.對下降階段：即 由=可得 1.20解 作子彈運動示意圖如題1.20.1圖所示.題1.20.1圖水平方向不受外力，作勻速直線運動有 豎直方向作上拋運動，有 由得 代入化簡可得因為子彈的運動軌跡與發(fā)射時仰角有關(guān)，即是的函數(shù)，所以要求的最大值.把對求導(dǎo)，求出極值點.即 所以，代入的表達(dá)式中可得： 此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的距離的最大值 1.21 解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時刻在變化，但都在軌道上沒點切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.軌道的切線方向上有： 軌道的法線方向上有： 由于角是在減小的，故 由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來確定，故我們要想法使變成關(guān)于的等式由即 把代入可得 用可得 即，兩邊積分得 代入初始條件時，即可得代入式，得 又因為所以 把代入積分后可得  1.22 各量方向如題1.22.1圖.電子受力則電子的運動微分方程為 -由，即代入整理可得 對于齊次方程的通解非齊次方程的特解所以非齊次方程的通解代入初始條件：時，得 時，得,故同理，把代入可以解出把代入代入初條件時，得.所以） 1.23證 （a）在1.22題中，時，則電子運動受力電子的運動微分方程 -對積分 對再積分 又故（為一常數(shù)）此即為拋物線方程.當(dāng)時則電子受力 則電子的運動微分方程為 -同1.22題的解法，聯(lián)立-解之，得于是 及電子軌道為半徑的圓. 1.24 解以豎直向下為正方向，建立如題1.24.2圖所示坐標(biāo)， 題1.24.1圖 題1.24.2圖以開始所在位置為原點.設(shè)-處物體所處坐標(biāo)分別為，則3個物體運動微分方程為： -由于與、之間是，即不可伸長輕繩連接，所以有，即 之間用倔強(qiáng)系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié).故有 由得 由得 代入，有 代入，有 此即為簡諧振動的運動方程.角頻率所以周期解得以初始時為原點，時，.所以 代入得聯(lián)立-得1.25解，選向下為正方向，滑輪剛停時物體所在平衡位置為坐標(biāo)原點.建立如題.25.1圖所示坐標(biāo)系.題2.15.1圖原點的重力勢能設(shè)為0.設(shè)彈簧最大伸長.整個過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒： -聯(lián)立得 彈簧的最大張力即為彈簧伸長最長時的彈力，為最大張力，即 1.26解 以繩頂端為坐標(biāo)原點.建立如題1.26.1圖所示坐標(biāo)系.題1.26.1圖設(shè)繩的彈性系數(shù)為,則有 當(dāng) 脫離下墜前，與系統(tǒng)平衡.當(dāng)脫離下墜前，在拉力作用下上升，之后作簡運.運動微分方程為 聯(lián)立 得 齊次方程通解非齊次方程的特解所以的通解代入初始條件：時，得；故有即為在任一時刻離上端的距離. 1.27解對于圓柱凸面上運動的質(zhì)點受力分析如圖1-24.運動的軌跡的切線方向上有: 法線方向上有： 對于有（為運動路程，亦即半圓柱周圍弧長）即又因為 即 設(shè)質(zhì)點剛離開圓柱面時速度，離開點與豎直方向夾角，對式兩邊積分 剛離開圓柱面時即 聯(lián)立 得即為剛離開圓柱面時與豎直方向夾角. 1.28解 建立如題1.28.1圖所示直角坐標(biāo).橢圓方程 從滑到最低點，只有重力做功.機(jī)械能守恒.即 設(shè)小球在最低點受到橢圓軌道對它的支持力為則有： 為點的曲率半徑.的軌跡：得； 又因為 所以故根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達(dá)橢圓最低點對橢圓壓力為方向垂直軌道向下. 1.29 解質(zhì)點作平面直線運動，運動軌跡方程為 -由曲線運動質(zhì)點的受力分析，我們可以得到： -因為曲線上每點的曲率 所以 把代入曲率公式中所以 由即，又有數(shù)學(xué)關(guān)系可知，即所以 把代入 1.30 證當(dāng)題1.29所述運動軌跡的曲線不光滑時，質(zhì)點的運動方程為： 由1.29題可知 由數(shù)學(xué)知識知 把代入 這是一個非齊次二階微分方程.解為當(dāng)時，得即當(dāng)，時，即故有 1.31證：單擺運動受力分析如圖1.31.1圖所示。因為即所以又單擺擺角很小，有=上式即化為：此即為一個標(biāo)準(zhǔn)的有阻尼振動方程。設(shè)為固有頻率，又由于，即阻力很小的情況。方程的解為所以單擺振動周期結(jié)論得證。 1.32 1.32       解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運動，如圖1.32.1圖。我們以楔子為參考系，在非慣性系中來分析此題，則質(zhì)點受到一個大小為的非慣性力，方向與相反。質(zhì)點在楔子這個非慣性系中沿斜面 下滑，沿斜面的受力分析：垂直斜面受力平衡： 聯(lián)立得此即楔子相對斜面的加速度。對斜面的壓力與斜面對的支持力等大反方向。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為的勻加速運動時，質(zhì)點的和楔子對斜面的壓力為綜上所述可得 1.33解 設(shè)鋼絲圓圈以加速度向上作勻加速運動如題1.33.1圖，我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個非慣性系里來分析此題。圓圈上的小環(huán)會受到一個大小為方向與相反的慣性力的作用，則圓環(huán)運動到圓圈上某點，切線方向受力分析：法線方向受力分析有：對兩邊同乘以即兩邊同時積分把代入可解得同理可解出，當(dāng)鋼絲圓圈以加速度豎直向下運動時小環(huán)的相對速度綜上所述，小環(huán)的相對速度圈對小環(huán)的反作用力 1.34證：（1）當(dāng)火車所受阻力為常數(shù)時，因為功率與牽引力有如下關(guān)系：所以即對兩邊積分 （2） 當(dāng)阻力和速度成正比時，設(shè)=，為常數(shù)。同理由（1）可知即 對兩邊積分 1.35 解 錘的壓力是均勻增加的，設(shè)，為常數(shù)，由題意可知，得，所以，即故兩邊同時積分得，又因為當(dāng)增至極大值后，又均勻減小到0，故此時有為常數(shù)，所以即由得整個過程壓力所做功又因為即對上式兩邊分段積分得 136 解 （a）保守力滿足條件對題中所給的力的表達(dá)式 ，代入上式即 所以此力是保守力，其勢為 (b)同（a），由所以此力是保守力，則其勢能為  1.37 解 （a）因為質(zhì)子與中子之間引力勢能表達(dá)式為故質(zhì)子與中子之間的引力（b）質(zhì)量為的粒子作半徑為的圓運動。動量矩由（a）知提供粒子作圓周運動的向心力，方向是沿著徑向，故當(dāng)半徑為的圓周運動兩式兩邊同乘以即又因為有做圓周運動的粒子的能量等于粒子的動能和勢能之和。所以 1.38 解 要滿足勢能的存在，即力場必須是無旋場，亦即力為保守力，所以即得為常數(shù)滿足上式關(guān)系，才有勢能存在。勢能為： 1.39 證 質(zhì)點受一與距離成反比的力的作用。設(shè)此力為又因為即當(dāng)質(zhì)點從無窮遠(yuǎn)處到達(dá)時，對式兩邊分別積分：當(dāng)質(zhì)點從靜止出發(fā)到達(dá)時，對式兩邊分別積分：得所以質(zhì)點自無窮遠(yuǎn)到達(dá)時的速率和自靜止出發(fā)到達(dá)時的速率相同。 1.40 1.40       解由題可知（因為是引力，方向與徑向相反所以要有負(fù)號）由運動微分方程即 對上式兩邊積分故又因為與的方向相反，故取負(fù)號。即 （*） （1）則： （2） （3）將式（1-3）代入（*），得：注：概率積分 1.41證 畫出有心力場中圖示如題1.41.圖，我們采用的是極坐標(biāo)。所以又由于常數(shù)即由圖所示關(guān)系，又有，故即由動能定理沿方向得 1.42 證 （）依據(jù)上題結(jié)論，我們?nèi)匀蝗O坐標(biāo)如題1.42.1圖。質(zhì)點運動軌跡為一圓周，則其極坐標(biāo)方程為 由得即故即力與距離5次方成正比，負(fù)號表示力的方向與徑向相反。（）質(zhì)點走一對數(shù)螺旋線，極點為力心，我們?nèi)圆捎脴O坐標(biāo)。對數(shù)螺旋線為常數(shù)。有根據(jù)題1.41，常數(shù)，有故得證。 1.43證 由畢耐公式 質(zhì)點所受有心力做雙紐線運動故故 1.44證 由畢耐公式將力帶入此式因為所以即令上式化為這是一個二階常系數(shù)廢氣次方程。解之得微積分常數(shù)，取，故有令所以 1.45 證 由題意可知，質(zhì)點是以太陽為力心的圓錐曲線，太陽在焦點上。軌跡方程為在近日點處在遠(yuǎn)日點處由角動量守恒有所以 1.46解 因為質(zhì)點速率所以又由于即又因為所以兩邊積分即 1.47 證（）設(shè)地球軌道半徑為。則彗星的近日點距離為。圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為彗星軌道為拋物線，即。近日點時。故近日點有即 又因為所以（彗星在單位時間內(nèi)矢徑掃過的面積）掃過扇形面積的速度又因為故兩邊積分 從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點為地球軌道半徑處。即即又因為所以把代入（ 式代入時取“+”即可）故彗星在地球軌道內(nèi)停留的時間為設(shè)地球繞太陽運動一周的時間為。因為假定地球運動軌道為圓形，所以又由于，有地球繞太陽運動單位時間內(nèi)矢徑掃過的面積。掃過扇形速度 （）由證明（）知彗星在地球軌道內(nèi)停留時間對此式求極大值，即對求導(dǎo)，使即即 得驗證故為極大值，代入式可知 1.48 解 由§1.9給出的條件：人造地球衛(wèi)星近、遠(yuǎn)點距離分別為地球半徑有橢圓運動中的能量方程可知： 為衛(wèi)星運行的橢圓軌道的長軸把代入有近地點速率遠(yuǎn)地點速率運動周期（參見1.47）其中為運動軌道的半長軸所以 1.49 證 由行星繞太陽作橢圓運動的能量方程為為橢圓的半長軸。令又因為，上式化為：因為即所以又因為行星橢圓軌道運動周期即常數(shù)，故又因為 為正焦弦的一半所以 由題意可知 即 把代入可得化簡可得即 兩邊積分，由題設(shè)即 1.50解 質(zhì)點在有心力場中運動，能量和角動量均守恒。無窮遠(yuǎn)處勢能為零。所以 任意一處 由代入所以