【名校資料】高考數(shù)學理一輪資源庫 第10章學案4

+二一九高考數(shù)學學習資料+曲線與方程導學目標： 了解曲線的方程與方程的曲線的對應法則自主梳理1曲線的方程與方程的曲線如果曲線C上點的坐標(x，y)都是方程f(x，y)0的解，且以方程f(x，y)0的解(x，y)為坐標的點都在曲線C上，那么，方程f(x，y)0叫做曲線C的方程曲線C叫做方程f(x，y)0的曲線2求曲線方程的一般方法(五步法)求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個步驟：(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；(2)寫出適合條件p的點M的集合PM|p(M)；(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0為最簡形式；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上3求曲線方程的常用方法：(1)直接法；(2)定義法；(3)代入法；(4)參數(shù)法自我檢測1已知動點P在曲線2x2y0上移動，則點A(0，1)與點P連線中點的軌跡方程為_2一動圓與圓O：x2y21外切，而與圓C：x2y26x80內(nèi)切，那么動圓的圓心P的軌跡是_3已知A(0,7)、B(0，7)、C(12,2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是_4若M、N為兩個定點且MN6，動點P滿足·0，則P點的軌跡方程為_5(2011·江西改編)若曲線C1：x2y22x0與曲線C2：y(ymxm)0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是_探究點一直接法求軌跡方程例1動點P與兩定點A(a,0)，B(a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線變式遷移1已知兩點M(2,0)、N(2,0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足|·0，則動點P(x，y)的軌跡方程為_探究點二定義法求軌跡方程例2已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且O1O24.動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當?shù)淖鴺讼?，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線變式遷移2在ABC中，A為動點，B、C為定點，B，C，且滿足條件sin Csin Bsin A，則動點A的軌跡方程為_探究點三相關點法(代入法)求軌跡方程例3如圖所示，從雙曲線x2y21上一點Q引直線xy2的垂線，垂足為N.求線段QN的中點P的軌跡方程變式遷移3已知長為1的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且.求點P的軌跡C的方程分類討論思想例(14分) 過定點A(a，b)任作互相垂直的兩直線l1與l2，且l1與x軸交于點M，l2與y軸交于點N，如圖所示，求線段MN的中點P的軌跡方程多角度審題要求點P坐標，必須先求M、N兩點，這樣就要求直線l1、l2，又l1、l2過定點且垂直，只要l1的斜率存在，設一參數(shù)k1即可求出P點坐標，再消去k1即得點P軌跡方程【答題模板】解(1)當l1不平行于y軸時，設l1的斜率為k1，則k10.因為l1l2，所以l2的斜率為，2分l1的方程為ybk1(xa)，4分l2的方程為yb(xa)，6分在中令y0，得M點的橫坐標為x1a，8分在中令x0，得N點的縱坐標為y1b，10分設MN中點P的坐標為(x，y)，則有消去k1，得2ax2bya2b20 (x)12分(2)當l1平行于y軸時，MN中點為，其坐標滿足方程.綜合(1)(2)知所求MN中點P的軌跡方程為2ax2bya2b20.14分【突破思維障礙】引進l1的斜率k1作參數(shù)，寫出l1、l2的直線方程，求出M、N的坐標，求出點P的坐標，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，本題還要注意直線l1的斜率是否存在【易錯點剖析】當AMx軸時，AM的斜率不存在，此時MN中點為，易錯點是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點.1求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，易于表達成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點，列式，代換，化簡，證明五個步驟，但最后的證明可以省略(2)定義法：運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系式，從而求出軌跡方程(3)代入法：動點所滿足的條件不易表達或求出，但形成軌跡的動點P(x，y)卻隨另一動點Q(x，y)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x，y表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關點法(4)參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找出動點的橫坐標、縱坐標之間的關系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程2本節(jié)易錯點：(1)容易忽略直線斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線方程時，應考慮是否符合曲線的定義(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓的一個動點，如果M是線段F1P的中點，則動點M的軌跡是_2已知A、B是兩個定點，且AB3，CBCA2，則點C的軌跡方程為_3長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動，2，則點C的軌跡方程為_4(2011·淮安模擬)如圖，圓O：x2y216，A(2，0)，B(2,0)為兩個定點直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過A、B兩點的拋物線以直線l為準線，則拋物線焦點所在的軌跡是_5P是橢圓1上的動點，作PDy軸，D為垂足，則PD中點的軌跡方程為_6已知兩定點A(2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足PA2PB，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于_7已知ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長CD3，則頂點A的軌跡方程為_8平面上有三點A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動點C的軌跡方程為_二、解答題(共42分)9(14分)已知拋物線y24px (p>0)，O為頂點，A，B為拋物線上的兩動點，且滿足OAOB，如果OMAB于點M，求點M的軌跡方程10(14分)(2009·寧夏、海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.(1)求橢圓C的方程；(2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的一點，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線11(14分)在平面直角坐標系xOy中，有一個以F1(0，)和F2(0，)為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x軸，y軸的交點分別為A，B，且.求：(1)點M的軌跡方程；(2)|的最小值學案53曲線與方程答案自我檢測18x22y102.雙曲線的右支3.y21(y1)4x2y295(，0)(0，)解析C1：(x1)2y21，C2：y0或ymxmm(x1)當m0時，C2：y0，此時C1與C2顯然只有兩個交點；當m0時，要滿足題意，需圓(x1)2y21與直線ym(x1)有兩交點，當圓與直線相切時，m±，即直線處于兩切線之間時滿足題意，則<m<0或0<m<.綜上知<m<0或0<m<.課堂活動區(qū)例1解題導引在判斷含參數(shù)的方程所表示的曲線類型時，不能僅僅根據(jù)方程的外表草率地作出判斷；由于已知條件中，直線PA、PB的斜率存在，因此軌跡曲線應除去A、B兩點；一般地，方程1所表示的曲線有以下幾種情況：1°A>B>0，表示焦點在x軸上的橢圓；2°AB>0，表示圓；3°0<A<B，表示焦點在y軸上的橢圓；4°A>0>B，表示焦點在x軸上的雙曲線；5°A<0<B，表示焦點在y軸上的雙曲線；6°A，B<0，無軌跡解設點P(x，y)，則kAP，kBP.由題意得·k，即kx2y2ka2.點P的軌跡方程為kx2y2ka2 (x±a)(*)(1)當k0時，(*)式即y0，點P的軌跡是直線AB(除去A、B兩點)(2)當k0時，(*)式即1，若k>0，點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線(除去A、B兩點)若k<0，(*)式可化為1.1°當1<k<0時，點P的軌跡是焦點在x軸上的橢圓(除去A、B兩點)；2°當k1時，(*)式即x2y2a2，點P的軌跡是以原點為圓心，|a|為半徑的圓(除去A、B兩點)；3°當k<1時，點P的軌跡是焦點在y軸上的橢圓(除去A、B兩點)變式遷移1y28x解析由題意：(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|·0，·(x2)·4y·00，移項兩邊平方，化簡得y28x.例2解題導引(1)由于動點M到兩定點O1、O2的距離的差為常數(shù)，故應考慮是否符合雙曲線的定義，是雙曲線的一支還是兩支，能否確定實軸長和虛軸長等，以便直接寫出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標轉(zhuǎn)化；(2)求動點的軌跡或軌跡方程時需注意：“軌跡”和“軌跡方程”是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)解如圖所示，以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系由O1O24，得O1(2,0)、O2(2,0)設動圓M的半徑為r，則由動圓M與圓O1內(nèi)切，有MO1r1；由動圓M與圓O2外切，有MO2r2.MO2MO13<4.點M的軌跡是以O1、O2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點M的軌跡方程為1 (x<0)變式遷移21 (x>)解析sin Csin Bsin A，由正弦定理得到ABACBCa(定值)A點軌跡是以B，C為焦點的雙曲線右支，其中實半軸長為，焦距為BCa.虛半軸長為 a，由雙曲線標準方程得為1(x>)例3解題導引相關點法也叫坐標轉(zhuǎn)移(代入)法，是求軌跡方程常用的方法其題目特征是：點A的運動與點B的運動相關，且點B的運動有規(guī)律(有方程)，只需將A的坐標轉(zhuǎn)移到B的坐標中，整理即可得點A的軌跡方程解設動點P的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x1，y1)，則點N的坐標為(2xx1,2yy1)N在直線xy2上，2xx12yy12.又PQ垂直于直線xy2，1，即xyy1x10.聯(lián)立解得又點Q在雙曲線x2y21上，xy1.代入，得動點P的軌跡方程是2x22y22x2y10.變式遷移3解設A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)得x0x，y0(1)y.因為AB1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化簡得y21.點P的軌跡方程為y21.課后練習區(qū)1以F1、O為焦點的橢圓2雙曲線的一支解析A、B是兩個定點，CBCA2<AB，所以點C軌跡為雙曲線的一支3x21解析設C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.4橢圓解析設拋物線的焦點為F，因為A、B在拋物線上，所以由拋物線的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準線l的距離AM、BN(如圖所示)，于是AFBFAMBN.過O作ORl，由于l是圓O的一條切線，所以四邊形AMNB是直角梯形，OR是中位線，故有AFBFAMBN2OR8>4AB.根據(jù)橢圓的定義知，焦點F的軌跡是一個橢圓5.1解析設PD中點為M(x，y)，則P點坐標為(2x，y)，代入方程1，即得1.64解析設P(x，y)，由題知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24，可知圓的面積為4.7(x10)2y236 (y0)解析方法一直接法設A(x，y)，y0，則D，CD 3.化簡得(x10)2y236，A、B、C三點構(gòu)成三角形，A不能落在x軸上，即y0.方法二定義法如圖所示，設A(x，y)，D為AB的中點，過A作AECD交x軸于E，則E(10,0)CD3，AE6，A到E的距離為常數(shù)6.A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓，即(x10)2y236.又A、B、C不共線，故A點縱坐標y0.故A點軌跡方程為(x10)2y236 (y0)8y28x9解設M(x，y)，直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為ykxb.由OMAB得k.設A、B兩點坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，由y24px及ykxb消去y，得k2x2x(2kb4p)b20，所以x1x2.消去x，得ky24py4pb0，所以y1y2.(6分)由OAOB，得y1y2x1x2，所以，b4kp.故ykxbk(x4p)(10分)用k代入，得x2y24px0 (x0)(12分)AB斜率不存在時，經(jīng)驗證也符合上式故M的軌跡方程為x2y24px0 (x0)(14分)10解(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c，由已知得解得又b2a2c2，b，所以橢圓C的方程為1.(4分)(2)設M(x，y)，其中x4,4，由已知2及點P在橢圓C上可得2，整理得(1629)x2162y2112，其中x4,4(5分)當時，化簡得9y2112，所以點M的軌跡方程為y±(4x4)軌跡是兩條平行于x軸的線段(7分)當時，方程變形為1，其中x4,4當0<<時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足4x4的部分當<<1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足4x4的部分；當1時，點M的軌跡為中心在原點，長軸在x軸上的橢圓(14分)11解(1)橢圓的方程可寫為1，其中a>b>0，由得，所以曲線C的方程為x21(0<x<1,0<y<2)(3分)y2(0<x<1)，y.設P(x0，y0)，因為P在C上，有0<x0<1，y02，y|xx0，得切線AB的方程為y(xx0)y0.(6分)設A(x,0)和B(0，y)，由切線方程得x，y.由得點M的坐標為(x，y)，由x0，y0滿足C的方程，得點M的軌跡方程為1(x>1，y>2)(10分)(2)|2x2y2，y24，所以|2x215459，當且僅當x21，即x時，上式取等號故|的最小值為3.(14分)高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品