高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法 2 反證法與放縮法課件 新人教A版選修4-5.ppt

二反證法與放縮法 1 理解反證法在證明不等式中的應(yīng)用 掌握用反證法證明不等式的方法 2 掌握放縮法證明不等式的原理 并會用其證明不等式 目標(biāo)定位 1 利用反證法 幾何法 放縮法證明不等式 重點(diǎn) 2 在不等式證明中 常與數(shù)列 三角結(jié)合 將放縮法滲透其中進(jìn)行考查 難點(diǎn) 預(yù)習(xí)學(xué)案 1 比較法用比較法證明不等式分為兩種方法 2 綜合法從 出發(fā) 利用 等 經(jīng)過一系列的推理 論證而得出命題成立 這種證明方法叫做綜合法 又叫 法 求差比較法 求商比較法 已知條件 定義 公理 定理 性質(zhì) 順推證法或由因?qū)Ч?3 分析法從 出發(fā) 逐步尋求使它成立的 直至所需條件為 從而得出要證的命題成立 這種證明方法叫做分析法 這是一種 的思考和證明的方法 要證的結(jié)論 充分條件 已知條件或一個明顯成立的事實(shí) 執(zhí)果索因 1 假設(shè) 以此為出發(fā)點(diǎn) 結(jié)合已知條件 應(yīng)用 等 進(jìn)行正確的推理 得到和 或已證明的定理 性質(zhì) 明顯成立的事實(shí)等 矛盾的結(jié)論 以說明假設(shè)不正確 從而證明 我們把它稱為反證法 2 證明不等式時 通過把不等式中的某些部分的值 或 簡化不等式 從而達(dá)到證明的目的 我們把這種方法稱為放縮法 要證的命題不成立 公理 定義 定理 命題的條件 原命題成立 放大 縮小 1 lg9 lg11與1的大小關(guān)系是 A lg9 lg11 1B lg9 lg11 1C lg9 lg11 1D 不能確定 2 否定 自然數(shù)a b c中恰有一個為偶數(shù) 時正確的反設(shè)為 A a b c都是奇數(shù)B a b c都是偶數(shù)C a b c中至少有兩個偶數(shù)D a b c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)解析 a b c是否是偶數(shù) 共為全不是偶數(shù) 1個偶數(shù) 2個偶數(shù) 3個偶數(shù)共四種情況 恰有一個偶數(shù)的否定為至少有2個偶數(shù)或全是奇數(shù) 答案 D 課堂學(xué)案 已知0 x 2 0 y 2 0 z 2 求證 x 2 y y 2 z z 2 x 不都大于1 思路點(diǎn)撥 不都大于1 即等價于 至少有一個小于或等于1 由于涉及三個式子 它們出現(xiàn)的情況很多 此類問題的常用方法是考慮問題的反面 即 不都 的反面為 都 可用反證法來證明 反證法證明不等式 用反證法證 至多 至少 型問題 2 實(shí)數(shù)a b c d滿足a b c d 1 ac bd 1 求證 a b c d中至少有一個是負(fù)數(shù) 思路點(diǎn)撥 本題的結(jié)論是 至少 型 包含的情況較多 直接證明比較麻煩 可以考慮用反證法加以證明 證明 假設(shè)a b c d都是非負(fù)數(shù) 即a 0 b 0 c 0 d 0 則1 a b c d ac bd ad bc ac bd 這與已知中ac bd 1矛盾 原假設(shè)錯誤 a b c d中至少有一個是負(fù)數(shù) 放縮法證明不等式 1 要證不等式M N 先假設(shè)M N 由題設(shè)及其他性質(zhì) 推出矛盾 從而肯定M N成立 凡涉及證明不等式為否定性命題 唯一性命題或是含 至多 至少 等字句時 可考慮使用反證法 反證法 2 反證法證明不等式的步驟是 反設(shè) 假設(shè)不等式的結(jié)論不成立 歸謬 從假設(shè)出發(fā) 經(jīng)過推理論證 得出矛盾 斷言 由矛盾得出反設(shè)不成立 反證法一般用于直接證明難以將已知條件與特征結(jié)論進(jìn)行溝通 或者直接證明缺少條件 的情形 3 反證法中的數(shù)學(xué)語言反證法適宜證明 存在性問題 唯一性問題 帶有 至少有一個 或 至多有一個 等字樣的問題 或者說 正難則反 直接證明有困難時 常采用反證法 下面我們列舉一下常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè) 對某些數(shù)學(xué)語言的否定假設(shè)要準(zhǔn)確 以免造成原則性的錯誤 有時在使用反證法時 對假設(shè)的否定也可以舉一定的特例來說明矛盾 在一些選擇題中 更是如此 1 要證明不等式A B成立 有時可以將它的一邊放大或縮小 尋找一個中間量 如將A放大成C 即A C 后證C B 這種證法便稱為放縮法 常用的放縮技巧有 1 舍掉 或加進(jìn) 一些項(xiàng) 2 在分式中放大或縮小分子或分母 放縮法