2018高考數(shù)學(xué) 100題系列 第20題 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題 文

第20題 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題I題源探究·黃金母題【例1】求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【答案】1【解析】的定義域?yàn)橛闪泓c(diǎn)存在性定理知有零點(diǎn)又在上是單調(diào)遞增函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn)精彩解讀【試題來(lái)源】人教版A版必修1第88頁(yè)例1【母題評(píng)析】本題考查了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷【思路方法】判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)可用零點(diǎn)存在性定理或利用數(shù)形結(jié)合法而要判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，還需要借助函數(shù)的單調(diào)性II考場(chǎng)精彩·真題回放【例2】【2017高考江蘇卷第14題】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是 【答案】8【解析】由于，則需考慮的情況，在此范圍內(nèi)，且時(shí)，設(shè)，且互質(zhì)若，則由，可設(shè)，且互質(zhì)因此，則，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊非整數(shù)，矛盾，因此因此不可能與每個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)的部分相等，只需考慮與每個(gè)周期的部分的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外其它交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù)，屬于每個(gè)周期的部分，且處，則在附近僅有一個(gè)交點(diǎn)，一次方程解的個(gè)數(shù)為8【例3】【2016高考新課標(biāo)I改編】函數(shù)在有 個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】函數(shù)|在上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故先考慮其在上有幾個(gè)零點(diǎn)在上有零點(diǎn)設(shè)在上有零點(diǎn)又由，可得，設(shè)其解為，易知且在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為且從而當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即，故時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)又在上有唯一零點(diǎn)由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知在上有兩個(gè)零點(diǎn)【命題意圖】本題主要考查考查了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷本題能較好的考查考生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力【考試方向】這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏易，考查基礎(chǔ)知識(shí)的識(shí)記、理解與應(yīng)用【難點(diǎn)中心】解答此類問(wèn)題，關(guān)鍵在于靈活選擇方法，如直接求解，或數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，或借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例4】【2015年高考江蘇卷】已知函數(shù)，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為_(kāi)【答案】4【解析】方程等價(jià)于，即或共多少個(gè)根，數(shù)形結(jié)合可得：與有兩個(gè)交點(diǎn)；，同理可得與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以共計(jì)個(gè)【命題意圖】本題主要考查考查了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷本題能較好的考查考生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大【難點(diǎn)中心】一些對(duì)數(shù)型方程不能直接求出其零點(diǎn)，常通過(guò)平移、對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，而函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)這時(shí)函數(shù)圖像是解題關(guān)鍵，不僅要研究其走勢(shì)（單調(diào)性，極值點(diǎn)、漸近線等），而且要明確其變化速度快慢III理論基礎(chǔ)·解題原理1零點(diǎn)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根稱為函數(shù)的零點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得（1）在上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提；（2）零點(diǎn)存在性定理中的幾個(gè)“不一定”（假設(shè)連續(xù)） 若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè)； 若，那么在不一定有零點(diǎn)； 若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào)3若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一4函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系：設(shè)函數(shù)為，則的零點(diǎn)即為滿足方程的根，若，則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?，即方程的根在坐?biāo)系中為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中得到由此看來(lái)，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn)，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問(wèn)題以及已知根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍這些問(wèn)題時(shí)要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化5函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問(wèn)題中的作用（1）函數(shù)的零點(diǎn)：工具：零點(diǎn)存在性定理；作用：通過(guò)代入特殊值精確計(jì)算，將零點(diǎn)圈定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)；缺點(diǎn)：方法單一，只能判定零點(diǎn)存在而無(wú)法判斷個(gè)數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān)（2）方程的根：工具：方程的等價(jià)變形；作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時(shí)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對(duì)方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)；缺點(diǎn)：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無(wú)法用傳統(tǒng)方法求出根，也無(wú)法判斷根的個(gè)數(shù)（3）兩函數(shù)的交點(diǎn)：工具：數(shù)形結(jié)合；作用：前兩個(gè)主要是代數(shù)運(yùn)算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)，是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)通過(guò)圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)（即零點(diǎn)，根的個(gè)數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍；缺點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當(dāng)方程含參時(shí)，通常進(jìn)行參變分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像，那么因?yàn)榱硗庖粋€(gè)只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會(huì)涉及到一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時(shí)速度與精度的平衡IV題型攻略·深度挖掘【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，一般難度較小若涉及的函數(shù)為分段函數(shù)，則難度加大【技能方法】1零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：若一個(gè)方程有解但無(wú)法直接求出時(shí)，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)例如：對(duì)于方程，無(wú)法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)，由即可判定其零點(diǎn)必在中2判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的方法（1）解方程，當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過(guò)解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上（2）利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；（3）畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象與軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷3斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常見(jiàn)方法（1）直接法：解方程，方程有幾個(gè)解，函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)；（2）圖象法：畫(huà)出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）將函數(shù)拆成兩個(gè)常見(jiàn)函數(shù)和的差，從而，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（4）二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題主要從三個(gè)方面考慮：判別式確定零點(diǎn)是否存在；對(duì)稱軸的位置控制零點(diǎn)的位置；端點(diǎn)值的符號(hào)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【易錯(cuò)指導(dǎo)】對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷需要注意以下兩點(diǎn)：（1）函數(shù)在上連續(xù)；（2）滿足上述方法只能求變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)于非變號(hào)零點(diǎn)不能用上述方法求解另外需要注意的是：（1）若函數(shù)的圖象在與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；（2）函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，它是函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是方程的根V舉一反三·觸類旁通【例1】【2018云南昆明一中高三一?！咳艉瘮?shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A5個(gè) B4個(gè) C3個(gè) D2個(gè)【答案】D【解析】如圖：函數(shù)與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，所以選D【例2】【2018河南漯河高中高三上學(xué)期二?！恳阎瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B【例3】【2018遼寧莊河高中、沈陽(yáng)二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)【答案】D；當(dāng)時(shí)， ，據(jù)此可得：；當(dāng)時(shí)， ，據(jù)此可得：；當(dāng)時(shí)， ，而，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)交點(diǎn)，很明顯，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，繪制函數(shù)圖象如圖所示，觀察可得：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)【例4】【2018貴州黔東南州第一次聯(lián)考】已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，有圖可知， 故選C【名師點(diǎn)睛】方程的根或函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用方法和思路（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解【例5】【2018黑龍江海林模擬】設(shè)，又是一個(gè)常數(shù)，已知或時(shí)， 只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)， 有三個(gè)相異實(shí)根，給出下列命題：和有一個(gè)相同的實(shí)根；和有一個(gè)相同的實(shí)根；的任一實(shí)根大于的任一實(shí)根；的任一實(shí)根小于的任一實(shí)根其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）A3 B2 C1 D0【答案】A，當(dāng)時(shí)， 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)， 有三個(gè)相異實(shí)根，故函數(shù)即有極大值，又有極小值，且極小值為0，極大值為4，故 與有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，即極大值點(diǎn)，故（1）正確與 有一個(gè)相同的實(shí)根，即極小值點(diǎn)，故（2）正確；有一實(shí)根且函數(shù)最小的零點(diǎn)，有3個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)的最小零點(diǎn)，故（3）錯(cuò)誤；有一實(shí)根且小于函數(shù)最小零點(diǎn)，有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，故（4）正確；所以A選項(xiàng)正確【點(diǎn)睛】三次函數(shù)圖象時(shí)，要關(guān)注三次函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，三次函數(shù)的三次項(xiàng)系數(shù)為正，如果有兩個(gè)極值點(diǎn)，那么函數(shù)為先再減最后增，滿足對(duì)是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)或時(shí)， 只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)， 有三個(gè)相異實(shí)根這樣的條件，說(shuō)明有極小值為0，極大值為4，據(jù)此可畫(huà)出函數(shù)的模擬圖像，數(shù)形結(jié)合，逐一驗(yàn)證【例6】【2018安徽阜陽(yáng)臨泉一中高三上學(xué)期二?！恳阎?，若關(guān)于的方程 恰好有 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】令，則當(dāng)時(shí)，方程有一解；當(dāng)時(shí)，方程有兩解；時(shí)，方程有三解關(guān)于的方程，恰好有4個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，關(guān)于的方程在和上各有一解，解得，故答案為【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的范圍；分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解【例7】【2018江蘇南通如皋高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】【解析】有三個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意可得時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)； 時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)， ， 恒成立，故；當(dāng)時(shí)， ，要使得有兩個(gè)零點(diǎn)，需滿足，解得，綜上可得，故答案為【例8】【2017江西宜春豐城九中、高安二中、宜春一中、萬(wàn)載中學(xué)、樟樹(shù)中學(xué)、宜豐中學(xué)屆高三六校聯(lián)考】已知函數(shù)， 的四個(gè)零點(diǎn)， ， ， ，且，則的值是_【答案】【例9】【2018遼寧莊河高中、沈陽(yáng)二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）借助平移的知識(shí)可以直接求出函數(shù)解析式（2）先換元將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)根，再運(yùn)用函數(shù)方程思想建立不等式組分析求解（1）（2）設(shè)，則，原方程可化為，于是只須在上有且僅有一個(gè)實(shí)根法1：設(shè)，對(duì)稱軸，則或由得，即，由得無(wú)解，則法2：由，得，設(shè)，則，記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)楣室诡}設(shè)成立，只須即從而【名師點(diǎn)睛】在解答指數(shù)函數(shù)的綜合題目時(shí)可以采用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問(wèn)題，根據(jù)題目要求，如需要分類討論，再加入分類討論【例10】【江蘇揚(yáng)州模擬】設(shè) (R)（1） 若，求在區(qū)間上的最大值；（2） 若，寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；（3） 若存在，使得方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍【答案】（1） （2） 的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間 （3） 試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，=， 在R上為增函數(shù)， 在上為增函數(shù)，則 （2），當(dāng)時(shí)， ， 在為增函數(shù) ，當(dāng)時(shí)，即，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間 （3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)， 為增函數(shù)，方程不可能有三個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，由（2）得 ，即在有解，由在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 的最大值為，則 【例11】【2018海南中學(xué)、文昌中學(xué)、海口市第一中學(xué)、農(nóng)墾中學(xué)等八校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)，其中（1）若直線與函數(shù)的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1） 或；（2） 令得， 遞減，在處取得極小值，且極小值為， ，由數(shù)形結(jié)合可得或（2）當(dāng)時(shí)， ， ，令得；令得， 遞增；令得， 遞減，在處取得極小值，且極小值為，當(dāng)即時(shí)， ，即，無(wú)解，當(dāng)即時(shí)， ，即，又，綜上， 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，研究函數(shù)的單調(diào)性找函數(shù)最值，求參；恒成立求參，對(duì)于分段函數(shù)來(lái)講，分段討論最值即可【跟蹤練習(xí)】1【2018江蘇南寧模擬】設(shè)函數(shù)，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A3 B2 C1 D0【答案】B【點(diǎn)睛】函數(shù)數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常根據(jù)零點(diǎn)存在性定理來(lái)判斷，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根2已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ）A 4 B6 C8 D10【答案】D【解析】由為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對(duì)稱性作另一半圖像即可，當(dāng)時(shí)，可以利用利用圖像變換作出圖像，時(shí)，即自變量差2個(gè)單位，函數(shù)值折半，進(jìn)而可作出，的圖像，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為根的個(gè)數(shù)，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，觀察圖像在時(shí)，有5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得時(shí)，也有5個(gè)交點(diǎn)共計(jì)10個(gè)交點(diǎn)【評(píng)注】（1）類似函數(shù)的周期性，但有一個(gè)倍數(shù)關(guān)系依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時(shí)，以一個(gè)“周期”圖像為基礎(chǔ)，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可；（2）周期性函數(shù)作圖時(shí)，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個(gè)周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖像中要準(zhǔn)確標(biāo)出，便于數(shù)形結(jié)合；（3）巧妙利用的奇偶性，可以簡(jiǎn)化解題步驟例如本題中求交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，只需分析正半軸的情況，而負(fù)半軸可用對(duì)稱性解決3已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （ ）A0 B1 C2 D0或2【答案】A【評(píng)注】（1）本題由于解析式未知，故無(wú)法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決；（2）所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導(dǎo)的特點(diǎn)，猜想可能是符合導(dǎo)數(shù)的乘法法則，變形后可得，而的零點(diǎn)問(wèn)題可利用方程進(jìn)行變形，從而與條件中的相聯(lián)系，從而構(gòu)造出4定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對(duì)，有，且當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 （ ）A B C D 【答案】B有三個(gè)交點(diǎn)先利用在的函數(shù)解析式及周期性對(duì)稱性作圖，通過(guò)圖像可得：時(shí)，不會(huì)有3個(gè)交點(diǎn)，考慮的圖像設(shè)，則，利用圖像變換作圖，通過(guò)觀察可得：只需當(dāng)時(shí)，的圖像在上方即可，即 所以【評(píng)注】本題有以下幾個(gè)亮點(diǎn)：（1）的周期性的判定： 可猜想與周期性有關(guān)，可帶入特殊值，解出，進(jìn)而判定周期，配合對(duì)稱性作圖；（2）在選擇出交點(diǎn)的函數(shù)時(shí)，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中，的圖像可做，且可通過(guò)圖像變換做出5已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，其中，若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）A B C D 【答案】B ，即6【2018廣東廣州模擬】已知函數(shù) 則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 個(gè)【答案】【解析】的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是方程的根的個(gè)數(shù)，也就是與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別作出與的圖象，如圖所示，由圖象知與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有個(gè)零點(diǎn) 7【2018全國(guó)名校第二次大聯(lián)考】函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，其圖象如下圖，和圖象吻合的函數(shù)解析式是（ ）A B C D【答案】D得解：本函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根往往是“知一求二”，解答時(shí)要先判斷哪個(gè)好求解就轉(zhuǎn)化為哪個(gè)，判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1） 直接法： 令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；（2） 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3） 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題8【2018四川綿陽(yáng)高三第一次診斷性考試】函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且）的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則的取值集合為（ ）A B C D【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的周期為又在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)解析式為，所以可作出函數(shù)圖象，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)的圖象，要使兩個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，只需，所以，故選C9【2018安徽十大名校高三11月聯(lián)考】若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B【解析】 當(dāng)時(shí)， 恒成立，又，則函數(shù)在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以此時(shí)函數(shù)的極大值為，極小值為，要使得有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故選B 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，解答中把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用函數(shù)的極值求解是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題10【2018江蘇淮安盱眙中學(xué)高三第一次學(xué)情調(diào)研】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)【答案】數(shù)最小值為，令 ，可得，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根，屬于難題函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根往往是“知一求二”，解答時(shí)要先判斷哪個(gè)好求解就轉(zhuǎn)化為哪個(gè)，判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1） 直接法： 令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；（2） 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3） 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題11【2018安徽滁州高三9月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)】已知，若方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】由圖可知： 【名師點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問(wèn)題，（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解12【2018遼寧莊河高中、沈陽(yáng)二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍【答案】（1）（2）法1：設(shè)，對(duì)稱軸，則或由得，即， 由得無(wú)解，則法2：由， ，得， ，設(shè)，則， 記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)楣室诡}設(shè)成立，只須即從而【名師點(diǎn)睛】在解答指數(shù)函數(shù)的綜合題目時(shí)可以采用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的問(wèn)題，根據(jù)題目要求，如需要分類討論，再加入分類討論13【2018河南林州一中高三8月調(diào)研】已知函數(shù)，且曲線在處的切線與平行（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，試探究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析: （1）根據(jù)曲線在處的切線與平行可得: ，進(jìn)而求出a值；（2）當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得: 在上只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)， 恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最值可得，又時(shí)， ，所以，即，故函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得:函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)試題解析:解：（1）依題意，故，故，解得（2）當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)， ，函數(shù)在單調(diào)遞增，故函數(shù)在至多有一個(gè)零點(diǎn)，又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，因此函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)， 恒成立，證明如下：設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí)， ，所以，又時(shí)， ，所以，即，故函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在至多有一個(gè)零點(diǎn)，又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，因此，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)22