高考人教版數(shù)學理總復(fù)習練習：第三章 三角函數(shù)、解三角形 課時作業(yè)25 Word版含解析

課時作業(yè)25解三角形應(yīng)用舉例1(2019·襄陽模擬)如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(D)A北偏東10° B北偏西10°C南偏東80° D南偏西80°解析：由條件及圖可知，ACBA40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°.2(2019·許昌調(diào)研)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為(B)Aa km Ba kmCa km D2a km解析：由題圖可知，ACB120°，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cosACBa2a22·a·a·3a2，解得ABa(km)3如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得BCD15°，BDC30°，CD30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(D)A5 B15C5 D15解析：在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15×15.4如圖所示，為了了解某海域海底構(gòu)造，在海平面上取一條直線上的A，B，C三點進行測量，已知AB50 m，BC120 m，于A處測得水深A(yù)D80 m，于B處測得水深BE200 m，于C處測得水深CF110 m，則DEF的余弦值為(A)A BC D解析：如圖所示，作DMAC交BE于N，交CF于M，則DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.5地面上有兩座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫?，在高塔塔底望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?，且在兩塔底連線的中點O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟牵瑒t兩塔的高度分別為(B)A50 m,100 m B40 m,90 mC40 m,50 m D30 m,40 m解析：設(shè)高塔高H m，矮塔高h m，在O點望高塔塔頂?shù)难鼋菫?則tan，tan，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有.因為在兩塔底連線的中點O望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，所以在O點望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?，由tan，tan，得.聯(lián)立解得H90，h40.即兩座塔的高度分別為40 m,90 m.6如圖所示，一座建筑物AB的高為(3010)m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD在它們之間的地面上的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為(B)A30 m B60 mC30 m D40 m解析：在RtABM中，AM20(m).過點A作ANCD于點N，如圖所示易知MANAMB15°，所以MAC30°15°45°.又AMC180°15°60°105°，所以ACM30°.在AMC中，由正弦定理得，解得MC40(m)在RtCMD中，CD40×sin60°60(m)，故通信塔CD的高為60 m.7(2019·哈爾濱模擬)如圖，某工程中要將一長為100 m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長100m.解析：設(shè)坡底需加長x m，由正弦定理得，解得x100.8如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為300 m且和P，Q兩點在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得PAB90°，PAQPBAPBQ60°，則P，Q兩點間的距離為900_m.解析：由已知，得QABPABPAQ30°.又PBAPBQ60°，AQB30°，ABBQ.又PB為公共邊，PABPQB，PQPA在RtPAB中，APAB·tan60°900，故PQ900，P，Q兩點間的距離為900 m.9(2019·湖北百所重點中學模擬)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作數(shù)書九章卷五“田域類”里記載了這樣一個題目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知為田幾何”這道題講的是有一塊三角形的沙田，三邊長分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該沙田的面積為21_平方千米解析：設(shè)在ABC中，a13里，b14里，c15里，cosC，sinC，故ABC的面積為×13×14××5002×21(平方千米)10海輪“和諧號”從A處以每小時21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時9海里的速度行駛，則海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為小時解析：設(shè)海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為x小時，如圖，則由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120°.由余弦定理得：(21x)2100(9x)22×10×9x×cos120°，整理，得36x29x100，解得x或x(舍)所以海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為小時11(2019·武漢模擬)為了應(yīng)對日益嚴重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進行氣象觀測如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進行彈射實驗，觀測點A，B兩地相距100米，BAC60°.在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚秒在A地測得該儀器至最高點H處的仰角為30°.(1)求A，C兩地的距離；(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC(已知聲音的傳播速度為340米/秒)解：(1)由題意，設(shè)ACx，因為在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚秒，所以BCx×340x40，在ABC內(nèi)，由余弦定理得BC2CA2BA22BA·CA·cosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420.答：A，C兩地的距離為420米(2)在RtACH中，AC420，CAH30°.所以CHAC·tanCAH140米答：該儀器的垂直彈射高度CH為140米12如圖所示，在一條海防警戒線上的點A，B，C處各有一個水聲監(jiān)測點，B，C兩點到點A的距離分別為20 km和50 km.某時刻，B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號，8 s后A，C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.(1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；(2)求靜止目標P到海防警戒線AC的距離解：(1)依題意，有PAPCx，PBx1.5×8x12.在PAB中，AB20，cosPAB.同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因為cosPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于點D，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD31×4(km)故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為4 km.13如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B與D互補，則AC的長為(A)A7 km B8 kmC9 km D6 km解析：在ACD中，由余弦定理得：cosD.在ABC中，由余弦定理得：cosB.因為BD180°，所以cosBcosD0，即0，解得AC7.14(2019·呼和浩特調(diào)研)某人為測出所住小區(qū)的面積，進行了一些測量工作，最后將所住小區(qū)近似地畫成如圖所示的四邊形，測得的數(shù)據(jù)如圖所示，則該圖所示的小區(qū)的面積是km2.解析：如圖，連接AC，由余弦定理可知AC，故ACB90°，CAB30°，DACDCA15°，ADC150°，即AD，故S四邊形ABCDSABCSADC×1××2×(km2)15(2019·福州質(zhì)檢)如圖，小明同學在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30°，45°，且BAC135°.若山高AD100 m，汽車從B點到C點歷時14 s，則這輛汽車的速度約為22.6_m/s(精確到0.1)解析：因為小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30°，45°，所以BAD60°，CAD45°.設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則BC14v.在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC，所以(14v)2(100)220022×100×200×cos135°，所以v22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s.16某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由解：(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則S.故當t時，Smin10，v30.即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇如圖所示則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.因為0v30，所以900900，即0，解得t.又t時，v30，故v30時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在OAB中，有OAOBAB20.故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時