點積叉積PPT課件

記作故abj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba,0 時當(dāng)a上的投影為在 ab,0,時當(dāng)同理bbacosba第1頁/共26頁3. 運(yùn)算運(yùn)算律律(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實上, 當(dāng)0c時, 顯然成立 ;時當(dāng)0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac第2頁/共26頁例例1. 證明三角形余弦定證明三角形余弦定理理cos2222abbac證證: 如圖 . 則cos2222abbac,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,設(shè)第3頁/共26頁4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得第4頁/共26頁)(MB, )(MA BM例例2. 已知三點已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故第5頁/共26頁為 ) .求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度例例3. 設(shè)均勻流速設(shè)均勻流速為為的流體流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,解解:單位時間內(nèi)流過的體積:APAA的夾角為且vvncosvcosvnv nn為單位向量Av第6頁/共26頁二、兩向量的向量二、兩向量的向量積積引例引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點 , 有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 第7頁/共26頁1. 定定義義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S第8頁/共26頁2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 則，0sin0或即aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明:sinabba第9頁/共26頁)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk第10頁/共26頁向量積的行列式計算向量積的行列式計算法法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計算見上冊 P355P358 ) 第11頁/共26頁例例4. 已知三點已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 . 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三第12頁/共26頁一點 M 的線速度例例5. 設(shè)剛體以等角速度設(shè)剛體以等角速度 繞繞 l 軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn), 導(dǎo)出剛體上 的表示式 . Ml解解: 在軸 l 上引進(jìn)一個角速度向量使a其在 l 上任取一點 O,O作它與則點 M離開轉(zhuǎn)軸的距離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,r向徑第13頁/共26頁*三、三、向量的混合積向量的混合積1. 定義定義 已知三向量稱數(shù)量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高h(yuǎn)故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(cbabacba第14頁/共26頁zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合積的坐標(biāo)表混合積的坐標(biāo)表示示設(shè)xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc第15頁/共26頁3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 三個非零向量共面的充要條件是0(2) 輪換對稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc第16頁/共26頁例例6. 已知一四面體的頂已知一四面體的頂點點),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求該四面體體積 . 1A2A3A4A解解: 已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA第17頁/共26頁例例7. 已知已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、),(zyxM四點共面, 求點 M 的坐標(biāo) x、y、z 所滿足的方程.解解: A、B、 C、M 四點共面0ABCM1x2y0z111302展開行列式即得點 M 的坐標(biāo)所滿足的方程AM、AB、AC 三向量共面ACABAM0432zyx0即第18頁/共26頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba第19頁/共26頁混合積混合積:2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba第20頁/共26頁思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)計算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC第21頁/共26頁證證: 由三角形面積公式由三角形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABAC BCBACACBBabcAC第22頁/共26頁P(yáng)22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三節(jié) 作業(yè)作業(yè)第23頁/共26頁22343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba第24頁/共26頁22200)2(211ABCD在頂點為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面積為 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有第25頁/共26頁感謝您的觀看。第26頁/共26頁