2018屆中考數(shù)學(xué) 專題復(fù)習(xí)八 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形試題 浙教版

三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形教學(xué)準(zhǔn)備一. 教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算、解答有關(guān)綜合題。（3）培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力二. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能是本節(jié)的重點(diǎn)。難點(diǎn)是綜合應(yīng)用這些知識(shí)解決問題的能力。三. 知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)1 三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；三角形三個(gè)外角的和等于360°；三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線、中線、高；三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等；三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識(shí)點(diǎn)3 等腰三角形等腰三角形的識(shí)別：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）；三邊相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊的中垂線是它的對(duì)稱軸；等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°。知識(shí)點(diǎn)4 直角三角形直角三角形的識(shí)別：有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識(shí)點(diǎn)5 全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)6 相似三角形知識(shí)點(diǎn)7 銳角三角函數(shù)與解直角三角形例題精講例1. （1）已知：等腰三角形的一邊長(zhǎng)為12，另一邊長(zhǎng)為5，求第三邊長(zhǎng)。（2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80°，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：（1）分兩種情況：若腰長(zhǎng)為12，底邊長(zhǎng)為5，則第三邊長(zhǎng)為12。若腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為12，則第三邊長(zhǎng)為5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長(zhǎng)為12。（2）分兩種情況：若頂角為80°，則另兩個(gè)內(nèi)角均為底角分別是50°、50°。若底角為80°，則另兩個(gè)內(nèi)角分別是80°、20°。因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是50°、50°或80°、20°。說明：此題運(yùn)用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2. 已知：如圖，ABC和ECD都是等腰三角形，ACBDCE90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，求證：（1）ACEBCD，（2）ADAEDE。分析：要證ACEBCD，已具備ACBC，CECD兩個(gè)條件，還需AEBD或ACEBCD，而ACEBCD顯然能證;要證ADAEDE，需條件DAE90°，因?yàn)锽AC45°，所以只需證CAEB45°，由ACEBCD能得證。證明：（1）DCEACB90°，DCEACDACBACD，即ACEBCD，ACBC，CECD，ACEBCD。（2）ACEBCD，CAEB45°，BACB45°，DAE90°，ADAEDE。例3. 已知：點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BPC150°，PB2，PC3，求PA的長(zhǎng)。分析：將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。解：BCBA，將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，使BA與BC重合，得BCD，連結(jié)PD。BDBP2，PADC。BPD是等邊三角形。BPD60°。DPCBPCBPD150°60°90°。DCPADC。【變式】若已知點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA，PB2，PC3。能求出BPC的度數(shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚒＠?. 如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ60°，且BQBP，連結(jié)CQ（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若PA：PB：PC3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由解：（1）把ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到CBQ利用等邊三角形的性質(zhì)證ABPCBQ，得到APCQ（2）連接PQ，則PBQ是等邊三角形PQPB，APCQ故CQ：PQ：PCPA：PB：PC3：4：5，PQC是直角三角形 點(diǎn)評(píng)：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明例5. 如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即BCEF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，則ABCDFE_ 分析：ABC與DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，若說明這兩個(gè)直角三角形全等則問題便會(huì)迎刃而解解答：在RtABC和RtDEF中，BCEF，ACDF，ABCDEF，ABCDEF，ABCDFE90°，因此填90° 點(diǎn)評(píng)：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識(shí)別兩個(gè)直角三角形全等，并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題例6. 中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時(shí)”一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測(cè)儀O”，測(cè)得該車從北偏西60°的A點(diǎn)行駛到北偏西30°的B點(diǎn)，所用時(shí)間為1.5秒（1）試求該車從A點(diǎn)到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速解析：（1）要求該車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度只需求出AB的距離，在OAC中，OC25米OAC90°60°30°，OA2CO50米 由勾股定理得CA25（米） 在OBC中，BOC30° BCOB。 （2BC）2BC2252 BC（米） ABACBC25（米）從A到B的速度為÷1.5（米/秒） （2）米/秒69.3千米/時(shí) 69.3千米/時(shí)<70千米/時(shí) 該車沒有超過限速 點(diǎn)評(píng)：此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對(duì)的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用例7. 如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí)線上各取一個(gè)格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線上；連結(jié)三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正方形網(wǎng)格中作出了RtABC請(qǐng)你按照同樣的要求，在右邊的兩個(gè)正方形網(wǎng)格中各畫出一個(gè)直角三角形，并使三個(gè)網(wǎng)格中的直角三角形互不全等 簡(jiǎn)析：此題的答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特征，可以根據(jù)勾股定理的逆定理“若兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形，答案如下圖例8. 如圖所示，在ABC中，ABAC1，點(diǎn)D、E在直線BC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)BDx，CEy（1）如果BAC30°，DAE105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果BAC的度數(shù)為，DAE的度數(shù)為，當(dāng)、滿足怎樣的關(guān)系式時(shí)，（1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說明理由解：（1）在ABC中，ABAC1，BAC30°，ABCACB75°，ABDACE105°又DAE105°，DABCAE75°又DABADBABC75°，CAEADB，ADBEAC，y（2）當(dāng)、滿足 90°，y仍成立此時(shí)DABCAE，DABADB，CAEADB又ABDACE，ADBEAC，y點(diǎn)評(píng)：確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系例9. 如圖，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M（1）求證：EDMFBM；（2）若DB9，求BM（1）證明：E是AB中點(diǎn)，AB2BE，AB2CD，CDEB，又ABCD，四邊形CBED是平行四邊形，CBDE，EDMFBM （2）解：EDMFBM，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，DE2FB，DM2BM，BMDB3 例10. 已知ABC中，ACB90º，CDAB于D，ADBD23且CD6。求（1）AB；（2）AC。分析：設(shè)AD2k，BD3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知ABCACDCBD。通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出其中k的大小；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計(jì)算出k的大小。解：設(shè)AD2k，BD3k（k >0）。ACB90º，CDAB。CD2ADBD，622k3k，k。AB。又AC2ADAB，AC。例11. 已知ABC中，ACB90º，CHAB，HEBC，HFAC。求證：（1）HEF EHC；（2）HEFHBC。分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EFCH，HFEC。要證明三角形相似，從條件中得FHECHB90º，由全等三角形可知，HEFHCB，這樣就可以證明兩個(gè)三角形相似。證明：HEBC，HFAC，CEHCFH90º。又ACB90º，四邊形CEHF是矩形。EFCH，HFEC，F(xiàn)HE90º。又HEEH，HFE EHC。HEFHCB。FHECHB90º，HEFHBC。說明：在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺(tái)階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。例12. 兩個(gè)全等的含30º，60º角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC。試判斷EMC是什么樣的三角形，并說明理由。分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題：嘗試去證明EMMC，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問題：如何構(gòu)造一對(duì)全等三角形？根據(jù)已知點(diǎn)M是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得：MDMBMA。連結(jié)M A后，可以證明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，DEAC，ADAB，DAEBAC90º。DAB90º。DAB為等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB45º。MDEMAC105º，DMA90º。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90º，AMCEMA90º。MCEM。EMC是等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對(duì)條件的充分認(rèn)識(shí)和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會(huì)轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個(gè)熱點(diǎn)。課后練習(xí)1. 如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形（用序號(hào)寫出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明ABC是等腰三角形2. （1）已知如圖，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60º。求證：ACBD，APB60º。（2）如圖，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_；APB的大小為_。（3）如圖，在AOB和COD中，OAkOB，OCkOD（k>1），AOBCOD，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_；APB的大小為_。 3. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形，請(qǐng)兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖（1），乙設(shè)計(jì)的方案如圖（2）。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說明理由。（加工損耗忽略，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)）4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為：3.5cm×3.5cm，放映的熒屏的規(guī)格為2m×2m，若放映機(jī)的光源距膠片20cm時(shí)，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿整個(gè)熒屏？5. 如圖，已知MON90º，等邊三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A是射線OM上的一定點(diǎn)，頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)C在MON內(nèi)部。（1）當(dāng)頂點(diǎn)B在射線ON上移動(dòng)到B1時(shí)，連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （2）設(shè)AB1與OC交于點(diǎn)Q，AC的延長(zhǎng)線與B1C1交于點(diǎn)D。求證：；（3）連結(jié)CC1，試猜想ACC1為多少度？并證明你的猜想。6. 如圖所示，設(shè)A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處，正以每小時(shí)200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心500km的范圍是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域 （1）A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)的影響有多長(zhǎng)時(shí)間？7. （1）如圖，在RtABC中，C90°，AD是BAC的角平分線，CAB60°，CD，BD2，求AC，AB的長(zhǎng)（2）“實(shí)驗(yàn)中學(xué)”有一塊三角形狀的花園ABC，有人已經(jīng)測(cè)出A30°，AC40米，BC25米，你能求出這塊花園的面積嗎？（3）某片綠地形狀如圖所示，其中ABBC，CDAD，A60°，AB200m，CD100m，求AD、BC的長(zhǎng)8. 高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹AB，如圖所示 （1）某一時(shí)刻測(cè)得大樹AB，教學(xué)樓ED在陽光下的投影長(zhǎng)分別是BC2.5米，DF7.5米，求大樹AB的高度； （2）現(xiàn)有皮尺和高為h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹AB高度的方案，要求： 在圖中，畫出你設(shè)計(jì)的圖形（長(zhǎng)度用字母m，n表示，角度用希臘字母，表示）； 根據(jù)你所畫出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示9. 如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱?，該居民樓的一樓是?米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°時(shí)（1）問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？（2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32°，cos32°）練習(xí)答案1. 解：（1）或 （2）已知求證ABC是等腰三角形證：先證EBODCO得OBOC，得DBCECBABCACB即ABC是等腰三角形2. 證明：AOB和COD為正三角形，OAOB，ODOC，AOB60º，COD60º。AOBBOCCODBOC，AOCBOD。AOCBOD ，ACBD。OACOBD，APBAOB60º。（2）AC與BD間的等量關(guān)系式為ACBD；APB的大小為。（3）AC與BD間的等量關(guān)系式為ACkBD；APB的大小為180º。3. 解：方案（1）：有題意可知，DEBA，得CDECBA。；方案（2）：作BHAC于H。DEAC，得BDEBAC。圖（1）加工出的正方形面積大。綜上所得，甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好。4. 解：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的，鏡頭就相當(dāng)于位似中心，因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問題解答：m5. 解：（1）如圖所示；證明：（2）AOC與AB1C1是等邊三角形，ACBAB1D60º。又CAQB1AD，ACQAB1D；（3）猜想ACC190º。證明：AOC和AB1C1為正三角形，AOAC，AB1AC1，OACC1AB1，OACCAQC1AB1CAQ，OAB1CAC1。AO B1 AC C1。ACC1AOB190º。6. （1）作AMBF可計(jì)算AM300km<500km，故A城受影響 （2）受影響時(shí)間為小時(shí)7. 解：（1）AC3，AB6 （2）能，分兩種情況，SABC200150和SABC200150 （3）延長(zhǎng)BC，AD交于E，AD400100，BC2002008. 解：連結(jié)AC，EF，（1）太陽光線是平行的，ACEF，ACBEFD，ABCEDF90°，ABCEDF，AB4米 （2）如圖所示：AB（mtanh）米9. 解：（1）超市以上居民住房采光受影響，由計(jì)算知新樓在居民樓上的投影高約11米，故受影響 （2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少相距：20×32（米） 11