2018-2019學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊 第二章 一元二次方程《一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系》知識講解及例題演練 （新版）北師大版

一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系—知識講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 會用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍； 2. 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運(yùn)用. 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、一元二次方程根的判別式 1.一元二次方程根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即 （1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； （3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根. 要點(diǎn)詮釋： 利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計(jì)算的值；④根據(jù)的符號判定方程根的情況. 2. 一元二次方程根的判別式的逆用 在方程中， （1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0； （2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0； （3）方程沒有實(shí)數(shù)根﹤0. 要點(diǎn)詮釋： （1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件； （2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則 ≥0. 要點(diǎn)二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是， 那么，. 注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0. 也就是說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商. 2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用 (1)驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根； (2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)； (3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程； 以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍； （6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號. 設(shè)一元二次方程的兩根為、，則 ①當(dāng)△≥0且時(shí)，兩根同號． 當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為正數(shù)； 當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù)． ②當(dāng)△＞0且時(shí)，兩根異號． 當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號且正根的絕對值較大； 當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號且負(fù)根的絕對值較大． 要點(diǎn)詮釋： （1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱； （2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）． 【典型例題】 類型一、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用 1. 已知關(guān)于x的方程x2+2x+a﹣2=0． （1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根． 【思路點(diǎn)撥】 （1已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即判別式△=b2﹣4ac＞0．即可得到關(guān)于a的不等式，從而求得a的范圍． （2）設(shè)方程的另一根為x1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出a的值和方程的另一根． 【答案與解析】 解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3． ∴a的取值范圍是a＜3； （2） 設(shè)方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關(guān)系得： 1+x1= -2 1?x1=a-2 解得：a= ﹣1，x1= ﹣3 則a的值是﹣1，該方程的另一根為﹣3． 【總結(jié)升華】熟練掌握一元二次方程根的判別式與根之間的對應(yīng)關(guān)系． 舉一反三： 【變式】若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有實(shí)數(shù)根，則k的非負(fù)整數(shù)值是（　?。? A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3 【答案】A. 提示：根據(jù)題意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0， 解得：k≤，且k≠0. 則k的非負(fù)整數(shù)值為1． 2.已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是________ 【答案】且m≠1 【解析】因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以，解得， 同時(shí)要特別注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即， ∴ m的取值范圍是且m≠1． 【總結(jié)升華】注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即，m≠1． 舉一反三： 【變式】已知：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍. 【答案】. 類型二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用 3.關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． （1）求m的取值范圍； （2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個(gè)根，且x12+x22=8，求m的值． 【思路點(diǎn)撥】 （1）根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論； （2）根據(jù)方程的解析式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出x1+x2=﹣2，x1?x2=2m，再結(jié)合完全平方公式可得出，代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，經(jīng)驗(yàn)值m=﹣1符合題意，此題得解． 【答案與解析】 解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0， 解得：m＜． ∴m的取值范圍為m＜． （2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個(gè)根， ∴x1+x2=﹣2，x1?x2=2m， ∴=4﹣4m=8， 解得：m=﹣1． 當(dāng)m=﹣1時(shí)，△=4﹣8m=12＞0． ∴m的值為﹣1． 【總結(jié)升華】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）結(jié)合題意得出4﹣8m＞0；（2）結(jié)合題意得出4﹣4m=8．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)結(jié)合根的判別式得出不等式是關(guān)鍵． 舉一反三： 【變式】不解方程，求方程的兩個(gè)根的（1）平方和；（2）倒數(shù)和． 【答案】（1）； （2）3． 4.求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程各根的負(fù)倒數(shù)． 【答案與解析】 設(shè)方程的兩根分別為x1、x2，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 得，． 設(shè)所求方程為，它的兩根為y1、y2， 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，， 從而， ． 故所求作的方程為，即． 【總結(jié)升華】所求作的方程中的未知數(shù)與已知方程中的未知數(shù)要用不同的字母加以區(qū)別．同時(shí)“以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是.”可以用這種語言形式記憶“和積＝0”，或“減和加積”，此處的一次項(xiàng)系數(shù)最容易出現(xiàn)符號上的錯(cuò)誤． 5