2018年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識(shí)點(diǎn)36 銳角三角函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)36 銳角三角函數(shù) 一、選擇題 1. （2018浙江金華麗水，8，3分）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，則竹竿AB與AD的長度之比為（ ）． A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】由銳角三角函數(shù)的定義，得AB= ，AB= ，∴AB與AD的長度之比為，故選B． 【知識(shí)點(diǎn)】銳角三角函數(shù) 2. （2018浙江衢州，第9題，3分）如圖，AB是圓錐的母線，BC為底面直徑，已知BC=6cm，圓錐的面積為15πcm2，則sin∠ABC的值為（ ） A． B． C． D． 第9題圖 【答案】C 【解析】本題考查了圓錐的計(jì)算、銳角三角函數(shù)的定義．因?yàn)橐阎獔A錐側(cè)面積，從而可計(jì)算出母線長，利用勾股定理得到高線長，結(jié)合正弦函數(shù)的概念即可得到。∵圓錐側(cè)面積為15π，則母線長L=2×15π÷6π=5，利用勾股定理可得OA=4，故sina∠ABC= 故選C。 【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的計(jì)算、銳角三角函數(shù)的定義 3. （2018江蘇無錫，9，3分）如圖，已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，正方形EFGH的頂點(diǎn)G、H都在邊AD上，若AB=3，BC=4，則tan∠AFE的值（ ） A.等于 B.等于 C.等于 D. 隨點(diǎn)E位置的變化而變化 【答案】A 【思路分析】利用平行線的性質(zhì)將∠AFE轉(zhuǎn)化為∠GAF，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例確定GF、AG的關(guān)系，進(jìn)而得到tan∠AFE的值. 【解題過程】∵E是矩形ABCD的對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，AB=3，BC=4， ∴=tan∠EAH=tan∠ACB==, ∴. ∵正方形EFGH的頂點(diǎn)G、H都在邊AD上， ∴FG=EH=HG，EF∥HG， ∴∠AFE=∠GAF， ∴tan∠AFE=tan∠GAF=====. 【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)值的定義 4. （2018年山東省棗莊市，11，3分）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，垂足為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路分析】設(shè)EF=a，由平行和點(diǎn)是邊的中點(diǎn)得到AF與EF的關(guān)系以及BF、DF的關(guān)系，利用△BEF與△ABF相似，得到BF、EF、AF的關(guān)系，表示出BF，從而表示出DF，求得的值． 【解題過程】設(shè)EF=a，在矩形中，AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，又∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴AF=2EF=2a，又∵，∴△BEF∽△ABF，∴，∴，∴BF=，∴DF=，=，故選A. 【知識(shí)點(diǎn)】矩形；相似三角形；銳角三角函數(shù) 5. （2018山東省淄博市，6，4分）一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上升了15米，在科學(xué)計(jì)算器求坡角α的度數(shù)時(shí)，具體按鍵順序是 = 2ndF 1 . 0 tan = 5 1 . 0 cos 2ndF = 2ndF 1 . 0 Sin = 5 1 . 0 Sin 2ndF （A） 5 5 （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】利用計(jì)算器的按鍵要求選取合理選項(xiàng). 【知識(shí)點(diǎn)】利用計(jì)算器計(jì)算 6.（2018天津市，2，3）的值等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】分析：本題查了特殊角的三角函數(shù)值．熟記銳角三角函數(shù)值，即可得結(jié)果. 解：＝ 故選B. 【知識(shí)點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值 1. （2018湖北黃岡，2題，3分）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.原式=6a5，錯(cuò)誤；B.原式=4a2,錯(cuò)誤;C.原式=1,錯(cuò)誤;D.正確.故選D 【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，特殊三角函數(shù)值 2. （2018湖南益陽，8，4分）如圖，小剛從山腳A出發(fā)，沿坡角為α的山坡向上走了300米到達(dá)B點(diǎn)，則小剛上升了（ ） A．300sinα B．300cosα C．300tanα D． 【答案】A 【思路分析】上升的高度為BC，為∠α的對(duì)邊，AB是斜邊，故用正弦求解． 【解析】解：∵，∴BC＝AB sinα＝300sinα，故選擇A． 【知識(shí)點(diǎn)】銳角三角形函數(shù)，解直角三角形的應(yīng)用 3. （2018湖北宜昌，14，3分）如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)的距離，可以在小河邊取的垂線上的一點(diǎn)，測(cè)得米，，則小河寬等于( ) (第14題圖) A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】C 【解析】∵米，，∴在Rt△PAC中，=，故選擇C. 【知識(shí)點(diǎn)】正弦，正切. 4. （2018山東省日照市，10，3分）如圖，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點(diǎn)上，則∠BED的正切值等于（ ） A. B. C.2 D. 【答案】D 【解析】如圖，在RtABC中，AB=2，BC=1，∴tan∠BAC==.∵∠BED=∠BAD，∴tan∠BED=.故選D. 【知識(shí)點(diǎn)】正方形網(wǎng)格 三角函數(shù) 5. （2018廣東廣州，12，3分）如圖，旗桿高AB＝8m，某一時(shí)刻，旗桿影子長BC＝16m，則tanC＝_______． 【答案】 【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知，在直角三角形中，銳角C的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠C的正切，所以tanC＝＝＝． 【知識(shí)點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義 6.（2018山東德州，16，4分）如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則的正弦值是 ． 【答案】 【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，所? 【知識(shí)點(diǎn)】網(wǎng)格，直角三角形的邊角關(guān)系 7. （2018湖北荊州，T10，F(xiàn)3）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)到弦的距離最大時(shí)，的值是（ ） A．2 B．3 C.4 D．5 【答案】B 【思路分析】 【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D到弦OB的距離最大時(shí)，DE⊥OB.連接AB，由題意可知AB為⊙P的直徑， ∵A（8，0），∴OA=8，B（0，6）∴OB=6，∴OE=BE==3，在RtDAOB中，AB==10，∴BP=×10=5，在在RtDPEB中，PE==4，∴DE=EP+DP=4+5=9， ∴tan∠DOB=，故選B 【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)、垂徑定理. 8. （2018湖北省孝感市，4，3分）如圖，在中，，，，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)勾股定理可得BC===6. 根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sinA===.故選A. 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理. 銳角三角函數(shù)的定義. 9.（2018四川涼山州，10，4分）無人機(jī)在A處測(cè)得正前方河流兩岸B、C的俯角分別為，此時(shí)無人機(jī)的高度是h，則河流的寬度BC為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設(shè)過A作ADBC的直線交CB的延長線于點(diǎn)D， 則Rt△ACD中，∠CAD=50°，AD=h ∴CD= AD tan50° =htan50°． 又∵Rt△ABD中，∠BAD=20°，可得BD= AD tan20° =htan20° ∴CB=CD-BD=htan50°-htan20°=h(tan50°-htan20°) .故答案為A. (第10題答圖) 【知識(shí)點(diǎn)】余角定義，銳角三角函數(shù)——余弦的應(yīng)用. 10. （2018陜西，6，3分）如圖，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，則AE的長為（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵BE平分∠ABD，∠ABC=60°，∴∠ABE=∠EBD=30°， ∵AD⊥BC， ∴∠BDA=90°． ∴DE=BE． ∵∠BAD=90°－60°=30°． ∴∠BAD=∠ABE=30°． ∴AE=BE=2DE ∴AE=AD． 在Rt△ACD中， sinC=, AD=ACsinC=． ∴AE=，故選擇C． 【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形 二、填空題 1. （2018山東濱州，15，5分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，則sinB＝__________． 【答案】 【解析】設(shè)BC＝x,則AC＝2x,根據(jù)勾股定理可知AB＝x,故sinB＝＝＝． 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理和三角函數(shù) 2. （2018年山東省棗莊市，14，4分）如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的傾斜角為，的長為12米，則大廳兩層之間的高度為 米.（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字） 【參考數(shù)據(jù)：】 【答案】6.2 【解析】運(yùn)用銳角三角函數(shù)：，即，BC=12×0.515=6.18≈6.2米，故填6.2. 【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形 3. （2018年山東省棗莊市，16，4分）如圖，在正方形中，，把邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接并延長交于點(diǎn)，連接，則三角形的面積為 . 【答案】9－5． 【思路分析】如圖，過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G．先證明△ABP是等邊三角形，再應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值求出PF、CE的長，即可解得△PCE的面積． 【解題過程】解：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G．則BP=，在Rt△BGP中，∵∠PBC＝30°，∴PG＝BP·sin∠PBG＝，BG＝BP·cos∠PBG＝3，∴CG＝BC－CG＝－3，則PF＝－3，∵∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，又∵AB＝BP，∴△ABP是等邊三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠PAD＝30°， ∴DE＝AD·tan∠PAD＝2，∴CE＝DC－DE＝－2，∴S△PCE＝PF·CE＝×(－3)×(－2)＝9－5． 【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的判定；特殊角三角函數(shù)值 4. （2018浙江湖州，13，4）如圖，已知菱形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若tan∠BAC＝，AC＝6，則BD的長是 ． 【答案】2 【解析】∵菱形的對(duì)角線互相垂直，∴AB⊥CD．∵tan∠BAC＝，∴＝．∵AC＝6，∴AO＝3．∴BO＝1．∴BD＝2BO＝2．故填2. 【知識(shí)點(diǎn)】菱形的對(duì)角線，正切 5. （2018寧波市，18題，4分） 如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是銳角，AE⊥BC于點(diǎn)E，M是AB的中點(diǎn)連結(jié)MD，ME,若∠EMD=90°，則cosB的值為 ． 【答案】 【解析】解：延長EM，交DA的延長線與點(diǎn)G，連接ED ∵M(jìn)是AB中點(diǎn)， ∴AM=BM 又∵菱形ABCD ∴GD∥BC ∴∠GAB=∠ABC ∴易證△ACD≌△BCE(SAS) ∴GM=EM；AG=BE 又∵M(jìn)D⊥GE；GM=EM ∴DG=DE 設(shè)BE=x ∴DE=x+2 在RT△ABE中， AE2=AB2-BE2 在Rt△ADE中， AE2=DE2-AE2 ∴AB2-BE2=DE2-AE2，即22-x2=(x+2)2-22 解得：x= 在Rt△ABE中 cosB= 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理、銳角時(shí)間函數(shù)、等腰三角形1. （2018甘肅天水，T12，F(xiàn)4）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB的值為____. 【答案】. 【解析】在Rt△ABC中，由sinA=，令a=12，c=13， 根據(jù)勾股定理，得b=5. ∴tanB=. 【知識(shí)點(diǎn)】銳角三角函數(shù) 2. （2018廣西玉林，17題，3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，則AD的取值范圍是_______ 第17題圖 【答案】2<AD<8 【解析】由題，∠A=60°，AB=4，已確定，AD的長度可以變化，如下圖（1），是AD最短的情況，此時(shí)AD=ABcos60°=2，如下圖（2），是AD最長的情況，此時(shí)AD=AB/cos60°=8，而這兩種情況四邊形ABCD就變成了三角形，故都不能達(dá)到，故AD的取值范圍是2<AD<8 第17題圖（1） 第17題圖（2） 【知識(shí)點(diǎn)】動(dòng)態(tài)問題，特殊的三角函數(shù)值 3. （2018山東省泰安市，15，3）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在處，若的延長線恰好過點(diǎn)，則的值為 ． 【答案】 【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到Rt△AEB≌Rt△A’EB ，即可得到結(jié)論，，，在Rt△CBA’中利用勾股定理求得：， 在Rt△CDE中，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的方程 ，解方程求出x．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的長，從而求出的值 【解答過程】 解：∵矩形ABCD沿沿折疊，使點(diǎn)落在處，∴Rt△AEB≌Rt△A’EB ∴，， 在Rt△CBA’中，由勾股定理求得： ∵四邊形ABCD為矩形， ∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6， 在Rt△CDE中，設(shè)AE＝x，則EC＝8+x，ED＝10﹣x， 在Rt△CDE中，CE2＝CD2+DE2，即，解得x＝2， 在Rt△AEB中， ∴ 故答案是： 【知識(shí)點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)；矩形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；三角函數(shù). 三、解答題 1. （2018江蘇無錫，17，3分） 已知△ABC中，AB=10，AC=，∠B=30°，則△ABC的面積等于 . 【答案】或 【思路分析】先畫出△ABC的草圖，確定對(duì)應(yīng)元素的位置和大小，再利用三角形的面積公式求解. 【解題過程】分兩種情況求解： （1） 如圖1所示，作AD⊥BC于點(diǎn)D， ∵AB=10，∠B=30°， ∴AD=AB=×10=5，. 又∵AC=， ∴. ∴BC=BD+CD=， ∴△ABC的面積為. （2） 如圖1所示， 作AD⊥BC于點(diǎn)D， ∵AB=10，∠B=30°， ∴AD=AB=×10=5，. 又∵AC=， ∴. ∴BC=BD-CD=， ∴△ABC的面積為. 綜上所述，△ABC的面積等于或. 【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、解直角三角形、三角形的面積公式、分類討論思想 2. （2018四川省成都市，24，4） 如圖，在菱形ABCD的中，tanA＝，M，N分別在邊AD，BC上，將四邊形AMNB沿MN翻折，使AB的對(duì)應(yīng)線段AB的對(duì)應(yīng)線段EF經(jīng)過頂點(diǎn)D．當(dāng)EF⊥AD時(shí)，的值為 ． 【答案】 【思路分析】延長NF交DC于H．根據(jù)翻折得∠A＝∠E，∠B＝∠DFN，利用菱形中鄰角互補(bǔ)，可得到∠A＝∠DFH，且∠DHF＝90°，在Rt△EDM中，根據(jù)tanA＝tanE＝，得到△EDM三邊的關(guān)系，求出菱形邊長，在解Rt△DHF和Rt△NHC，求出CN，BN，即可求出的值． 【解題過程】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∵∠DFN＋∠DFH＝180°，又∵∠B＝∠DFN，∴∠A＝∠DFH，∵AB∥CD，∴∠A＋∠ADC＝180°，又∵∠ADF＝90°，∴∠A＋∠FDC＝90°，∴∠DFH＋∠FDC＝90°，∴∠DHF＝90°，∵∠A＝∠E，∴tanA＝tanE＝＝，設(shè)DM＝4x，DE＝3x，∴EM＝＝5x，∴AM＝5x，∴AD＝AM＋DM＝9x，∵EF＝AB＝AD＝9x，∴DF＝EF－DE＝6x，在Rt△DFH中∠A＝∠DFH，∴tanA＝tan∠DFH＝＝，∴DH＝DF＝x，∴CH＝DC－DH＝x，在Rt△CHN中∠A＝∠C，∴tanA＝tanC＝＝，∴CN＝CH＝7x，∴BN＝BC－CN＝2x，∴＝． 【知識(shí)點(diǎn)】菱形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)；翻折變換1. （2018四川自貢，22，8分）如圖，在⊿中，；求和的長. 【思路分析】通過作高構(gòu)造直角三角形，在Rt△BCD和Rt△ACD中利用特殊角的三角比和勾股定理即可求解. 【解題過程】如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D， 在Rt△BCD中，，， ∴，∴. ，∴. 在Rt△ACD中，,， ∴，∴. ， 綜上所述，AC長為10，AB長為. 【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形 19