2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第28講 圖形的相似與位似（含解析）

第28講圖形的相似與位似1比例線段(1)比例線段：已知四條線段a，b，c，d，若或abcd，那么a，b，c，d叫做成比例線段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)；若有，則b叫做a，c的比例中項(xiàng)(2)比例的基本性質(zhì)及定理adbc；(bdn0).4相似三角形的性質(zhì)及判定 (1)相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方 (2)相似三角形的判定 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所截得的三角形與原三角形相似； 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似； 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似； 兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似； 直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似5射影定理 如圖，ABC中，ACB90°，CD是斜邊AB上的高，則有下列結(jié)論 (1)AC2AD·AB； (2)BC2BD·AB； (3)CD2AD·BD； (4)AC2BC2ADBD； (5)AB·CDAC·BC. 6相似三角形的實(shí)際應(yīng)用(1)運(yùn)用三角形相似的判定條件和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題的方法步驟：將實(shí)際問(wèn)題所求線段長(zhǎng)放在三角形中；根據(jù)已知條件找出一對(duì)可能相似的三角形；證明所找兩三角形相似；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，表示出相應(yīng)的量；并求解(2)運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題如利用光的反射定律求物體的高度，利用影子計(jì)算建筑物的高度同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比，即.7相似多邊形的性質(zhì) (1)相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例 (2)相似多邊形周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方 8圖形的位似 (1)概念：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這樣的圖形叫做位似圖形這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心 (2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比 (3)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于k或k. (4)利用位似變換將一個(gè)圖形放大或縮小，其步驟為：確定位似中心；確定原圖形中各頂點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；依次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)描出新圖形 考點(diǎn)1： 相似三角形的性質(zhì) 【例題1】（2019湖南常德3分）如圖，在等腰三角形ABC中，ABAC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，ABC的面積為42，則四邊形DBCE的面積是（）A20B22C24D26【答案】D利用AFHADE得到，所以SAFH9x，SADE16x，則16x9x7，解得x1，從而得到SADE16，然后計(jì)算兩個(gè)三角形的面積差得到四邊形DBCE的面積【解答】解：如圖，根據(jù)題意得AFHADE，設(shè)SAFH9x，則SADE16x，16x9x7，解得x1，SADE16，四邊形DBCE的面積421626故選：D歸納：1.在三角形問(wèn)題中計(jì)算線段的長(zhǎng)度時(shí)，若題中已知兩角對(duì)應(yīng)相等或給出的邊之間存在比例關(guān)系，則考慮證明三角形相似，通過(guò)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列關(guān)于所求邊的比例式求解.2判定三角形相似的五種基本思路：(1)若已知平行線，可采用相似三角形的基本定理； (2)若已知一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例； (3)若已知兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等； (4)若已知一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例； (5)若已知等腰三角形，可找頂角相等，或找一對(duì)底角相等，或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例考點(diǎn)2： 相似三角形的判定【例題2】在正方形ABCD中，AB4，點(diǎn)P，Q分別在直線CB與射線DC上(點(diǎn)P不與點(diǎn)C，點(diǎn)B重合)，且保持APQ90°，CQ1，求線段BP的長(zhǎng)解：分三種情況：設(shè)BPx.當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1，四邊形ABCD是正方形，BC90°.BAPAPB90°.APQ90°，APBCPQ90°.BAPCPQ，ABPPCQ.，x1x22.BP2；當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，同理，得BP22；當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，同理，得BP22.歸納：基本圖形(1)斜邊高圖形有以下基本結(jié)論：BADC，BDAC；ADBCDACAB.(2)一線三等角有以下基本結(jié)論：BC，BDEDFC；BDECFD.特殊地：若點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，則有BDECFDDFE.考點(diǎn)3：相似三角形的綜合應(yīng)用 【例題3】(2017·河北模擬)修建某高速公路，需要通過(guò)一座山，指揮部決定從E，D兩點(diǎn)開(kāi)挖一個(gè)涵洞工程師從地面選取三個(gè)點(diǎn)A，B，C，且A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，A，C，E也在同一條直線上，若已知AB27米，AD500米，AC15米，AE900米，且測(cè)得BC22.5米(1)求DE的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)都具備打通能力，且質(zhì)量相當(dāng)，指揮部派出相關(guān)人員分別到這兩個(gè)工程隊(duì)了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞比乙工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞多用25天；信息二：乙工程隊(duì)每天開(kāi)挖的米數(shù)是甲工程隊(duì)每天開(kāi)挖的米數(shù)的1.5倍；信息三：甲工程隊(duì)每天需要收費(fèi)3 500元，乙工程隊(duì)每天需要收費(fèi)4 000元若僅從費(fèi)用角度考慮問(wèn)題，試判斷選用甲、乙哪個(gè)工程隊(duì)比較合算【解析】：(1)連接DE.AB27米，AD500米，AC15米，AE900米，.又AA，ABCAED.，即DE750米(2)設(shè)甲工程隊(duì)每天開(kāi)挖涵洞x米，則乙工程隊(duì)每天開(kāi)挖涵洞1.5x米，依據(jù)題意，得25，解得x10.經(jīng)檢驗(yàn)，x10是原方程的解則1.5x15.甲工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞的時(shí)間為75(天)，甲工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞所需的費(fèi)用為75×3 500262 500(元)；乙工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞的時(shí)間為50(天)，乙工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞所需的費(fèi)用為50×4 000200 000.200 000262 500，選用乙工程隊(duì)較合算一、選擇題：1. （2018玉林）兩三角形的相似比是2：3，則其面積之比是（）A：B2：3C4：9D8：27【答案】C【解答】解：兩三角形的相似比是2：3，其面積之比是4：9，故選：C2. （2018臨沂）如圖利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度已知標(biāo)桿BE高1.2m，測(cè)得AB=1.6mBC=12.4m則建筑物CD的高是（）A9.3m B10.5m C12.4m D14m【答案】B【解答】解：EBCD，ABEACD，=，即=，CD=10.5（米）故選：B3. （2019，四川巴中，4分）如圖ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使DE：AD1：3，連結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則SDEG：SCFG（）A2：3B3：2C9：4D4：9【答案】D【解答】解：設(shè)DEx，DE：AD1：3，AD3x，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，BCAD3x，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，CFBCx，ADBC，DEGCFG，（）2（）2，故選：D4. （2019貴州畢節(jié)3分）如圖，在一塊斜邊長(zhǎng)30cm的直角三角形木板（RtACB）上截取一個(gè)正方形CDEF，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在斜邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，若AF：AC1：3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為（）A100cm2B150cm2C170cm2D200cm2【答案】A【解答】解：設(shè)AFx，則AC3x，四邊形CDEF為正方形，EFCF2x，EFBC，AEFABC，BC6x，在RtABC中，AB2AC2+BC2，即302（3x）2+（6x）2，解得，x2，AC6，BC12，剩余部分的面積×12×64×4100（cm2），故選：A5. （2018瀘州）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是（）A B C D【答案】C【解答】解：如圖作，F(xiàn)NAD，交AB于N，交BE于M四邊形ABCD是正方形，ABCD，F(xiàn)NAD，四邊形ANFD是平行四邊形，D=90°，四邊形ANFD是解析式，AE=3DE，設(shè)DE=a，則AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，AN=BN，MNAE，BM=ME，MN=a，F(xiàn)M=a，AEFM，=，故選：C二、填空題：6. 如圖，OAB與OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 【答案】（1，-1）【解答 】：連接BC，OAB與OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，且B（1，0），即OB=1，OD=2，即B為OD中點(diǎn)，OC=DC，CBOD，在RtOCD中，CB為斜邊上的中線，CB=OB=BD=1，則C坐標(biāo)為（1，-1），故答案為：（1，-1）7. （2019山東省濱州市 5分）在平面直角坐標(biāo)系中，ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（4，0），O（0，0）以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的，得到CDO，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，2）或（1，2）【答案】（1，2）或（1，2）【解答】解：以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2×，4×）或（2×，4×），即（1，2）或（1，2），故答案為：（1，2）或（1，2）8. （2018江西）如圖，在ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD是ABC的平分線，BD交AC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為 【答案】4【解答】解：BD為ABC的平分線，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABECDE，=，=，AE=2CE，AC=6=AE+CE，AE=49. （2018遵義）如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ABC=90°，AB=5，BC=10，連接AC、BD，以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E若DE=3，則AD的長(zhǎng)為 .【答案】2，【解答】解：如圖，在RtABC中，AB=5，BC=10，AC=5過(guò)點(diǎn)D作DFAC于F，AFD=CBA，ADBC，DAF=ACB，ADFCAB，設(shè)DF=x，則AD=x，在RtABD中，BD=，DEF=DBA，DFE=DAB=90°，DEFDBA，x=2，AD=x=2，三、解答題：10. (2018·江西)如圖，在ABC中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD是ABC的平分線，BD交AC于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)【解析】：BD為ABC的平分線，ABDCBD.ABCD，DABD.DCBD.BCCD.BC4，CD4.ABCD，ABECDE.AE2CE.ACAECE6，AE4.11. (2019湖北荊門(mén))（10分）如圖，為了測(cè)量一棟樓的高度OE，小明同學(xué)先在操場(chǎng)上A處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O，A，B，C，D在同一條直線上），測(cè)得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG為1.6m，試確定樓的高度OE【分析】設(shè)E關(guān)于O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，由光的反射定律知，延長(zhǎng)GC、FA相交于點(diǎn)M，連接GF并延長(zhǎng)交OE于點(diǎn)H，根據(jù)GFAC得到MACMFG，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列式計(jì)算即可【解答】解：設(shè)E關(guān)于O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，由光的反射定律知，延長(zhǎng)GC、FA相交于點(diǎn)M，連接GF并延長(zhǎng)交OE于點(diǎn)H，GFAC，MACMFG，即：，OE32，答：樓的高度OE為32米12. (2018·福建)如圖，在RtABC中，C90°，AB10，AC8.線段AD由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，EFG由ABC沿CB方向平移得到，且直線EF過(guò)點(diǎn)D.(1)求BDF的大??；(2)求CG的長(zhǎng)【解析】：(1)線段AD是由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，DAB90°，ADAB10.ABD45°.EFG是ABC沿CB方向平移得到，ABEF.BDFABD45°.(2)由平移的性質(zhì)，得AECG，ABEF，DEADFCABC，ADEDAB180°.DAB90°，ADE90°.ACB90°，ADEACB.ADEACB.AC8，ABAD10，AE12.5，由平移的性質(zhì)，得CGAE12.5.13.ABC中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作MDNB.(1)如圖1，當(dāng)射線DN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，DM交邊AC于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有與ADE相似的三角形；(2)如圖2，將MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合)，不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論；(3)在圖2中，若ABAC10，BC12，當(dāng)SDEFSABC時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)【點(diǎn)撥】(1)由題意得ADBD，DEAC，可考慮從兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)探究；(2)依據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角定義，結(jié)合等式的性質(zhì)，得BFDCDE，又由BC，可得BDFCED；由相似三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而有，從而CEDDEF；(3)首先利用DEF的面積等于ABC的面積的，求出點(diǎn)D到AB的距離，進(jìn)而利用SDEF的值求出EF即可【解答】解：(1)圖1中與ADE相似的有ABD，ACD，DCE.(2)BDFCEDDEF.證明：BBDFBFD180°，EDFBDFCDE180°，又EDFB，BFDCDE.由ABAC，得BC，BDFCED.BDCD，.又CEDF，BDFCEDDEF.(3)連接AD，過(guò)點(diǎn)D作DGEF，DHBF，垂足分別為G，H.ABAC，D是BC的中點(diǎn)，ADBC，BDBC6.在RtABD中，AD2AB2BD2，AD8.SABCBC·AD48.SDEFSABC12.又AD·BDAB·DH，DH4.8.BDFDEF，DFBEFD.DGEF，DHBF，DHDG4.8.SDEFEF·DG12，EF5.14. (2019湖南常德10分)在等腰三角形ABC中，ABAC，作CMAB交AB于點(diǎn)M，BNAC交AC于點(diǎn)N(1)在圖1中，求證：BMCCNB；(2)在圖2中的線段CB上取一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作PEAB交CM于點(diǎn)E，作PFAC交BN于點(diǎn)F，求證：PE+PFBM；(3)在圖3中動(dòng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，類(lèi)似(2)過(guò)P作PEAB交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作PFAC交NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AMPF+OMBNAMPE【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ABCACB，利用AAS定理證明；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BMNC，證明CEPCMB、BFPBNC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，證明結(jié)論；(3)根據(jù)BMCCNB，得到MCBN，證明AMCOMB，得到，根據(jù)比例的性質(zhì)證明即可【解答】證明：(1)ABAC，ABCACB，CMAB，BNAC，BMCCNB90°，在BMC和CNB中，BMCCNB(AAS)；(2)BMCCNB，BMNC，PEAB，CEPCMB，PFAC，BFPBNC，PE+PFBM；(3)同(2)的方法得到，PEPFBM，BMCCNB，MCBN，ANB90°，MAC+ABN90°，OMB90°，MOB+ABN90°，MACMOB，又AMCOMB90°，AMCOMB，AMMBOMMC，AM×(PEPF)OMBN，AMPF+OMBNAMPE17