2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第04講 分式（含解析）

第04講 分式1分式的基本概念(1)形如(A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子叫做分式(2)當(dāng)B0時(shí)，分式有意義；當(dāng)B0時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)A0 時(shí)，分式的值為零. 2分式的性質(zhì)(1)分式的分子與分母都乘(或除以)一個(gè)不為零的整式，分式的值不變，即，；(M是不等于零的整式)(2)分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變即.3最簡(jiǎn)分式：如果一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式，那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式4分式的運(yùn)算 (1)通分：把幾個(gè)異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母(2)確定最簡(jiǎn)公分母：確定方法：取各分式的分母中系數(shù)的最小公倍數(shù)；各分式的分母中所有字母或因式都要取到；相同字母(或因式)的冪取指數(shù)最大的；所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各分母(或因式)的最高次冪的積即為最簡(jiǎn)公分母(3)約分：把分式中分子與分母的_公因式_約去，這種變形叫做約分，約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)(4)分式的運(yùn)算法則：加減法：同分母加減法：±_；異分母加減法：±.乘除法：·；÷_乘方：()n.考點(diǎn)1： 分式的化簡(jiǎn)【例題1】下列變形錯(cuò)誤的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】：A選項(xiàng)分子和分母同時(shí)除以最大公因式；B選項(xiàng)的分子和分母互為相反數(shù)；C選項(xiàng)分子和分母同時(shí)除以最大公因式，D選項(xiàng)正確的變形是所以答案是D選項(xiàng)考點(diǎn)2： 分式的化簡(jiǎn)【例題2】（2018包頭）化簡(jiǎn)；÷（1）=【答案】【解析】：原式=÷（）=÷=，故答案為：考點(diǎn)3：分式的加減乘除運(yùn)算【例題3】先化簡(jiǎn)，再求值：÷(a2)，其中a滿足a2a60.【解答】解：原式÷·.a2a60，且a2，±3，a3(舍去)或a2.當(dāng)a2時(shí)，原式.歸納：1.分式化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)注意：當(dāng)自主確定代數(shù)式中字母的取值時(shí)，一定要注意所選取的值不能使原分式中的分母為0；另外對(duì)于所給值是代數(shù)式時(shí)，可考慮整體代入思想計(jì)算以達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的目的 2分式化簡(jiǎn)求值的一般步驟： 第一步：若有括號(hào)的，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，括號(hào)內(nèi)如果是異分母加減運(yùn)算時(shí)，需將異分母分式通分化為同分母分式運(yùn)算，然后將分子合并同類(lèi)項(xiàng)，把括號(hào)去掉，簡(jiǎn)稱：去括號(hào)； 第二步：若有除法運(yùn)算的，將分式中除號(hào)(÷)后面的式子分子、分母顛倒，并把這個(gè)式子前的“÷”變?yōu)椤?#215;”，保證幾個(gè)分式之間除了“、”就只有“×或·”，簡(jiǎn)稱：除法變乘法； 第三步：計(jì)算分式乘法運(yùn)算，利用因式分解、約分來(lái)計(jì)算乘法運(yùn)算，簡(jiǎn)稱：先算乘法； 第四步：最后按照式子順序，從左到右計(jì)算分式加減運(yùn)算，直到化為最簡(jiǎn)形式，簡(jiǎn)稱：再算加減； 第五步：將所給數(shù)值代入求值，代入數(shù)值時(shí)要注意使原分式有意義，簡(jiǎn)稱：代入求值一、選擇題：1. （2018金華）若分式的值為0，則x的值為（）A3 B3 C3或3 D0【答案】A【解答】由分式的值為零的條件得x3=0，且x+30，解得x=3故選：A2. （2018臺(tái)州）計(jì)算，結(jié)果正確的是（）A1BxCD【答案】A【解答】原式=1，故選：A3. （2019江蘇揚(yáng)州3分）分式可變形為( D )A. B.- C. D.【答案】：故選B.【解析】：分式的分母整體提取負(fù)號(hào)，則每一個(gè)都要變號(hào)4.（2019河北省2分）如圖，若x為正整數(shù)，則表示的值的點(diǎn)落在（）A段B段C段D段【答案】B【解析】1又x為正整數(shù)，x1故表示的值的點(diǎn)落在5. （2019四川省達(dá)州市3分）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為1，1的差倒數(shù)，已知a15，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，依此類(lèi)推，a2019的值是（）A5BCD【答案】D【解答】解：a15，a2，a3，a45，數(shù)列以5，三個(gè)數(shù)依次不斷循環(huán)，2019÷3673，a2019a3，故選：D二、填空題：6. （2019江蘇泰州3分）若分式有意義，則x的取值范圍是【答案】 x【解答】解：根據(jù)題意得，2x10，解得x故答案為：x7. （2018襄陽(yáng)）計(jì)算的結(jié)果是【答案】【解答】原式=，故答案為：8. （2018·四川自貢·4分）化簡(jiǎn)+結(jié)果是【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案【解答】解：原式=+=故答案為：9. 先閱讀下面一段文字，然后解答問(wèn)題：一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購(gòu)買(mǎi)鉛筆301支以上（包括301支）可以按批發(fā)價(jià)付款；購(gòu)買(mǎi)300支以下（包括300支）只能按零售價(jià)付款現(xiàn)有學(xué)生小王購(gòu)買(mǎi)鉛筆，如果給初三年級(jí)學(xué)生每人買(mǎi)1支，則只能按零售價(jià)付款，需用（m21）元，（m為正整數(shù)，且m21100）如果多買(mǎi)60支，則可按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用（m21）元設(shè)初三年級(jí)共有x名學(xué)生，則x的取值范圍是；鉛筆的零售價(jià)每支應(yīng)為元；批發(fā)價(jià)每支應(yīng)為元（用含x、m的代數(shù)式表示）【分析】關(guān)系式為：學(xué)生數(shù)300，學(xué)生數(shù)+60301列式求值即可；零售價(jià)=總價(jià)÷學(xué)生實(shí)有人數(shù)；批發(fā)價(jià)=總價(jià)÷（學(xué)生實(shí)有人數(shù)+60）【解答】解：由題意得：x300，x+60301，241x300；鉛筆的零售價(jià)每支應(yīng)為元；批發(fā)價(jià)每支應(yīng)為元三、解答題：10. （2018玉林）先化簡(jiǎn)再求值：（a）÷，其中a=1+，b=1【分析】據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案，【解答】：當(dāng)a=1+，b=1時(shí)，原式=11.（2017張家界）先化簡(jiǎn)（1）÷，再?gòu)牟坏仁?x16的正整數(shù)解中選一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值【分析】先把括號(hào)里的式子進(jìn)行通分，再把后面的式子根據(jù)完全平方公式、平方差公式進(jìn)行因式分解，然后約分，再求出不等式的解集，最后代入一個(gè)合適的數(shù)據(jù)代入即可【解答】解：（1）÷=×=，2x16，2x7，x，把x=3代入上式得：原式=412. (2018·遵義)化簡(jiǎn)分式()÷，并在2，3，4，5這四個(gè)數(shù)中取一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值【解析】：原式÷()··a3.a3，2，3，a4或a5.當(dāng)a4時(shí)，原式7.(或當(dāng)a5時(shí)，原式8.)13. (2018·石家莊模擬)化簡(jiǎn)÷，并求值，其中a與2，3構(gòu)成ABC的三邊，且a為整數(shù)【解析】：原式·.a與2，3構(gòu)成ABC的三邊，1<a<5.又a為整數(shù)，a2，3，4.又a±2且a3，a4.當(dāng)a4時(shí)，原式1.14. 問(wèn)題探索：（1）已知一個(gè)正分?jǐn)?shù)（mn0），如果分子、分母同時(shí)增加1，分?jǐn)?shù)的值是增大還是減??？請(qǐng)證明你的結(jié)論（2）若正分?jǐn)?shù)（mn0）中分子和分母同時(shí)增加2，3k（整數(shù)k0），情況如何？（3）請(qǐng)你用上面的結(jié)論解釋下面的問(wèn)題：建筑學(xué)規(guī)定：民用住宅窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好，問(wèn)同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好還是變壞？請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）使用作差法，對(duì)兩個(gè)分式求差，有=，由差的符號(hào)來(lái)判斷兩個(gè)分式的大小（2）由（1）的結(jié)論，將1換為k，易得答案，（3）由（2）的結(jié)論，可得一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分子分母增大相同的數(shù)，則這個(gè)分?jǐn)?shù)整體增大；結(jié)合實(shí)際情況判斷，可得結(jié)論【解答】解：（1）（mn0）證明：=，又mn0，0，（2）根據(jù)（1）的方法，將1換為k，有（mn0，k0）（3）設(shè)原來(lái)的地板面積和窗戶面積分別為x、y，增加面積為a，由（2）的結(jié)論，可得一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分子分母增大相同的數(shù)，則這個(gè)分?jǐn)?shù)整體增大；則可得：，所以住宅的采光條件變好了8