2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第19講 平行四邊形（含多邊形）（含解析）

第19講平行四邊形(含多邊形)1平行四邊形 (1)性質(zhì)： 平行四邊形兩組對(duì)邊分別_相等_； 平行四邊形對(duì)角相等，鄰角_互補(bǔ)_； 平行四邊形對(duì)角線互相_平分_； 平行四邊形是_中心_對(duì)稱(chēng)圖形 (2)判定方法： 定義：兩組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； 兩組對(duì)邊分別_相等_的四邊形是平行四邊形； 一組對(duì)邊平行且相等 的四邊形是平行四邊形； 兩組對(duì)角 分別相等 的四邊形是平行四邊形； 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形2多邊形及其性質(zhì)(1)多邊形：內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于 (n2)·180° ；外角和定理：n邊形的外角和為 360°；對(duì)角線：過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引n3條對(duì)角線，n邊形共有 條對(duì)角線(2)正多邊形：正多邊形各邊相等，各內(nèi)角相等，各外角相等；正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為(n3)，每一個(gè)外角為；對(duì)稱(chēng)性：所有的正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，正n邊形有_n_條對(duì)稱(chēng)軸；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.考點(diǎn)1：多邊形內(nèi)角和計(jì)算【例題1】在一個(gè)多邊形中，一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角與其他各內(nèi)角的和為600°.(1)如果這個(gè)多邊形是五邊形，請(qǐng)求出這個(gè)外角的度數(shù)；(2)是否存在符合題意的其他多邊形？如果存在，請(qǐng)求出邊數(shù)及這個(gè)外角的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】：(1)設(shè)這個(gè)外角的度數(shù)是x°.由題意，得(52)×180(180x)x600.解得x120.故這個(gè)外角的度數(shù)是120°.(2)存在設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，這個(gè)外角的度數(shù)是x°.由題意，得(n2)×180(180x)x600.整理，得x57090n.0x180，即057090n180.解得4<n<6.又n為正整數(shù)，n5或n6.當(dāng)n6時(shí)，x30.故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6，這個(gè)外角的度數(shù)為30°.歸納：本題注意隱含條件的挖掘，即鄰補(bǔ)角和為180°及凸多邊形的一個(gè)內(nèi)角是小于平角的角考點(diǎn)2：平行四邊形的性質(zhì)與判定 【例題2】(2017·大慶)如圖，以BC為底邊的等腰ABC，點(diǎn)D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EGBC，DEAC，延長(zhǎng)GE至點(diǎn)F，使得BEBF.(1)求證：四邊形BDEF為平行四邊形；(2)當(dāng)C45°，BD2時(shí)，求D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離【解析】(1)證明：ABC是等腰三角形，ABCC.EGBC，DEAC，AEGABCC，四邊形CDEG是平行四邊形，DEGCAEG.BEBF，F(xiàn)BEFAEG，F(xiàn)DEG，BFDE.又EGBC，即FEBD，四邊形BDEF為平行四邊形；(2)解：C45°，ABCBFEBEF45°，BDE，BEF均是等腰直角三角形，BFBEBD.過(guò)點(diǎn)F作FMBD交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接DF，如解圖所示則BFM是等腰直角三角形FMBMBF1，DM3.在RtDFM中，由勾股定理得DF.即D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為.考點(diǎn)3： 關(guān)于平行四邊形的綜合探究問(wèn)題【例題3】(2018四川省眉山市15分 ) 如圖，在四邊形ABCD中，ACBD于點(diǎn)E，AB=AC=BD，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，N為線段AM上的點(diǎn)，且MB=MN.（1）求證：BN平分ABE； （2）若BD=1，連結(jié)DN，當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)； （3）如圖，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連結(jié)FN、FM，求證：MFNBDC. 【答案】（1）證明：AB=AC, ABC=ACB,又M為BC中點(diǎn)，AMBC，在RtABM中，ABC+MAB=90°,ACBD，在RtCBE中，ACB+EBC=90°,MAB=EBC,又MB=MN，AMBC，NBM為等腰直角三角形，MBN=MNB=45°,EBC+NBE=45°,MAB+ABN=MNB=45°,MAB=EBC,NBE=ABN,BN平分ABE.（2）解：四邊形DNBC為平行四邊形，設(shè)BM=CM=MN=a，則DN=BC=2a，在ABN和DBN中， ABNDBN中（SAS），AN=DN=2a，在RtABM中，BD=1，AB=AC=BD，AB=1，AM2+BM2=AB2 ， （2a+a）2+a2=1，解得：a= .BC=2a= .（3）解證明：MB=MN，M為BC中點(diǎn)，MN=MB= BC，又F是AB的中點(diǎn)，AB=AC=BD，在RtABM中，MF=AF=BF= AB= BD，MAB=FMN,由（1）知MAB=EBC,FMN=EBC,又 ,MFNBDC. 一、選擇題：1. （2018·浙江寧波·4分）已知正多邊形的一個(gè)外角等于40°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A6B7C8D9【答案】D【解答】解：正多邊形的一個(gè)外角等于40°，且外角和為360°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是：360°÷40°=9故選：D2. 在平行四邊形ABCD中，B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）AD=60°BA=120°CC+D=180°DC+A=180°【答案】D【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，A=C，B=D，而B(niǎo)=60°，A=C=120°，D=60°所以D是錯(cuò)誤的故選D3. （2018寧波）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，連結(jié)OE若ABC=60°，BAC=80°，則1的度數(shù)為（）A50°B40°C30°D20°【答案】B【解答】解：ABC=60°，BAC=80°，BCA=180°60°80°=40°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，EO是DBC的中位線，EOBC，1=ACB=40°故選：B4. （2018·浙江省臺(tái)州·4分）如圖，在ABCD中，AB=2，BC=3以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q，再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，大于PQ的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)N，射線CN交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是（）AB1CD【答案】B【解答】解：由題意可知CF是BCD的平分線，BCE=DCE四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，DCE=E，BCE=AEC，BE=BC=3，AB=2，AE=BEAB=1，故選：B5. （2018陜西3分）點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，ADAB，E.F分別是AB邊上的點(diǎn)，且EFAB；G、H分別是BC邊上的點(diǎn)，且GHBC；若S1,S2分別表示EOF和GOH的面積，則S1,S2之間的等量關(guān)系是（ ）.A2S13S2. B2S1S2. C S13S2. D3S12S2.【答案】A【詳解】過(guò)點(diǎn)O分別作OMBC，垂足為M，作ONAB，垂足為N，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，S平行四邊形ABCD=AB2ON， S平行四邊形ABCD=BC2OM，ABON=BCOM，S1=EFON，S2=GHOM，EFAB，GHBC，S1=ABON，S2=BCOM，2S13S2，故答案為：2S13S2.故選A.二、填空題：6. （2018·湖南省衡陽(yáng)·3分）如圖，ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且ADCD，過(guò)點(diǎn)O作OMAC，交AD于點(diǎn)M如果CDM的周長(zhǎng)為8，那么ABCD的周長(zhǎng)是【答案】16【解答】解：ABCD是平行四邊形，OA=OC，OMAC，AM=MCCDM的周長(zhǎng)=AD+CD=8，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是2×8=16故答案為167. （2018十堰）如圖，已知ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=10，AB=5，則OCD的周長(zhǎng)為 【答案】14【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，OCD的周長(zhǎng)=5+4+5=14，故答案為148. （2018株洲市3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，且BDCD，過(guò)點(diǎn)A作AMBD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DNAB于點(diǎn)N，且DN，在DB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P，滿足ABDMAPPAB，則AP_.【答案】6【解析】分析：根據(jù)BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根據(jù)AMBD，DNAB，即可得到DN=AM=3，依據(jù)ABD=MAP+PAB，ABD=P+BAP，即可得到APM是等腰直角三角形，進(jìn)而得到AP=AM=6詳解：BD=CD，AB=CD，BD=BA，又AMBD，DNAB，DN=AM=3，又ABD=MAP+PAB，ABD=P+BAP，P=PAM，APM是等腰直角三角形，AP=AM=6，故答案為：69. （2018無(wú)錫）如圖，已知XOY=60°，點(diǎn)A在邊OX上，OA=2過(guò)點(diǎn)A作ACOY于點(diǎn)C，以AC為一邊在XOY內(nèi)作等邊三角形ABC，點(diǎn)P是ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDOY交OX于點(diǎn)D，作PEOX交OY于點(diǎn)E設(shè)OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是 【答案】2a+2b5【解答】解：過(guò)P作PHOY交于點(diǎn)H，PDOY，PEOX，四邊形EODP是平行四邊形，HEP=XOY=60°，EP=OD=a，RtHEP中，EPH=30°，EH=EP=a，a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，當(dāng)P在AC邊上時(shí)，H與C重合，此時(shí)OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；當(dāng)P在點(diǎn)B時(shí)，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，2a+2b5三、解答題：10. 已知n邊形的內(nèi)角和(n2)×180°.(1)甲同學(xué)說(shuō)，能取360°；而乙同學(xué)說(shuō)，也能取630°.甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n；若不對(duì)，說(shuō)明理由；(2)若n邊形變?yōu)?nx)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x.【解析】：(1)甲對(duì)，乙不對(duì)理由：360°，(n2)×180360.解得n4.630°，(n2)×180630.解得n.n為整數(shù)，不能取630°.甲對(duì)，乙不對(duì)(2)依題意，得(n2)×180360(nx2)×180.解得x2.11. (2017·河北模擬)看圖回答問(wèn)題：(1)內(nèi)角和為2 018°，佳佳為什么說(shuō)不可能？(2)音音求的是幾邊形的內(nèi)角和？【解析】：(1)n邊形的內(nèi)角和是(n2)·180°，內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)2 018÷1801138，內(nèi)角和為2 018°不可能(2)設(shè)漏加的內(nèi)角為x°，依題意，得(n2)·1802 018x，x180n2 378.90x180，90180n2 378180.解得13n14，且n為整數(shù)多邊形的邊數(shù)是14.故音音求的是十四邊形的內(nèi)角和12. 如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)在對(duì)角線AC上(1)若BE，DF分別是ABO，CDO的中線，求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)若BE，DF分別是ABO，CDO的角平分線，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？若BE，DF分別是ABO，CDO的高線時(shí)，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？【點(diǎn)撥】(1)可從對(duì)角線互相平分上證明四邊形BEDF是平行四邊形；(2)BE，DF分別是ABO，CDO的角平分線和高線時(shí)，可得到BOEDOF，仍有OEOF，則有四邊形BEDF是平行四邊形【解答】解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC，OBOD.BE，DF分別是ABO，CDO的中線，OEOF.四邊形BEDF是平行四邊形(2)四邊形ABCD是平行四邊形，OBOD，ABCD.ABOCDO.BE，DF分別是ABO，CDO的角平分線，OBEODF.又BOEDOF，BOEDOF(ASA)OEOF.四邊形BEDF是平行四邊形同理可證得BE，DF分別是ABO，CDO的高線時(shí)，仍有四邊形BEDF是平行四邊形13. 正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5，點(diǎn)M是直線AD上一點(diǎn)，連接BM，將線段BM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ME，在直線AB上取點(diǎn)F，使AFAM，且點(diǎn)F與點(diǎn)E在AD同側(cè)，連接EF，DF.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在DA延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：ADFABM；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，求證：四邊形DFEM是平行四邊形；(3)在(2)的條件下，線段AM與線段AD有什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EFDM的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值圖1圖2【解析】：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，DAFBAM90°，ADAB.在ADF和ABM中，ADFABM(SAS)(2)證明：延長(zhǎng)BM交DF于K.ADFABM，DFBM，ABMADF.EMBM，EMDF.ABMAMB90°，AMBDMK，ADFDMK90°.BKD90°.EMB90°，EMBBKF90°.EMDF.四邊形EFDM是平行四邊形(3)設(shè)DMx，則AMAF5x，SEFDMDM·AFx(5x)(x)2.10，x時(shí)，EFDM的面積最大，最大面積為，即當(dāng)AMAD時(shí)，EFDM的面積最大，最大面積為.14. 正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5，點(diǎn)M是直線AD上一點(diǎn)，連接BM，將線段BM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ME，在直線AB上取點(diǎn)F，使AFAM，且點(diǎn)F與點(diǎn)E在AD同側(cè)，連接EF，DF.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在DA延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：ADFABM；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，求證：四邊形DFEM是平行四邊形；(3)在(2)的條件下，線段AM與線段AD有什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EFDM的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值圖1圖2解：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，DAFBAM90°，ADAB.在ADF和ABM中，ADFABM(SAS)(2)證明：延長(zhǎng)BM交DF于K.ADFABM，DFBM，ABMADF.EMBM，EMDF.ABMAMB90°，AMBDMK，ADFDMK90°.BKD90°.EMB90°，EMBBKF90°.EMDF.四邊形EFDM是平行四邊形(3)設(shè)DMx，則AMAF5x，SEFDMDM·AFx(5x)(x)2.10，x時(shí)，EFDM的面積最大，最大面積為，即當(dāng)AMAD時(shí)，EFDM的面積最大，最大面積為.13