2020年中考數(shù)學考點總動員 第27講 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（含解析）

第27講　圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 1．圖形的平移 (1)定義：在平面內(nèi)，將某一圖形沿著某個方向移動一定的距離，這種圖形運動稱為平移；平移不改變圖形的大小和形狀． (2)平移的要素：平移方向、平移距離． (2)性質(zhì)：①平移后的圖形與原來的圖形全等；②對應線段平行且相等，對應角相等；③對應點所連的線段平行且相等． 2．圖形的旋轉(zhuǎn) (1)定義：把一個圖形繞著某一個點O轉(zhuǎn)動一定角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP′，那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應點； (2)要素：確定一個旋轉(zhuǎn)運動的條件是要確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度； (3)性質(zhì)：①對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； ②對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角； ③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等. 考點1： 關(guān)于平移問題 【例題1】在6×6方格中，將圖①中的圖形N平移后位置如圖②所示，則圖形N的平移方法中，正確的是( ) A．向下移動1格 B．向上移動1格 C．向上移動2格 D．向下移動2格 解析：結(jié)合圖形按平移的定義判斷． 【同步練】在由相同的小正方形組成的3×4的網(wǎng)格中，有3個小正方形已經(jīng)涂黑，請你再涂黑一個小正方形，使涂黑的四個小正方形中，其中兩個可以由另外兩個平移得到，則還需要涂黑的小正方形序號是(D) A．①或②　　　　B．③或④　　　　C．⑤或⑥　　　　D．①或⑨ 【解析】：根據(jù)題意可涂黑①和⑨， 涂黑①時，可將左上和左下兩個黑色正方形向右平移1個單位即可得； 涂黑⑨時，可將左上和左下兩個黑色正方形向右平移2個單位、再向下平移1個單位可得； 故選：D． 歸納：1．平移前后圖形的形狀、大小都不變，平移得到的對應線段與原線段平行且相等，對應角相等．2．判斷時選擇某一特殊點，驗證其平移情況即可． 考點2： 關(guān)于旋轉(zhuǎn)問題 【例題2】(2016·婁底改編)如圖， 將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)角為α旋轉(zhuǎn)到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點D，AC與A1C1、BC1分別相交于點E、F. (1)試判斷A1D和CF的數(shù)量關(guān)系； (2)當∠C＝α時，判定四邊形A1BCE的形狀并說明理由． 【分析】　(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠A＝∠C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)即可求解；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠A1＝∠A，根據(jù)平角的定義得到∠DEC＝180°－α，在四邊形A1BCE中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α，進而證得四邊形A1BCE是平行四邊形，由A1B＝BC即鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明． 【解析】：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，在△BCF與△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D(ASA)，∴A1D＝CF； (2)四邊形A1BCE是菱形，∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△A1BC1的位置， ∴∠A1＝∠A，∵∠ADE＝∠A1DB， ∴∠AED＝∠A1BD＝α，∴∠DEC＝180°－α，∵∠C＝α， ∴∠A1＝α，在四邊形A1BCE中，∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α， ∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC， ∴四邊形A1BCE是平行四邊形， ∴A1B＝BC，∴四邊形A1BCE是菱形 歸納：圖形的旋轉(zhuǎn)為背景的探究問題，常涉及的設(shè)問有：探究兩條線段的數(shù)量關(guān)系、特殊四邊形形狀的判定，解決此類問題，需掌握如下方法： 1．探究兩條線段的數(shù)量關(guān)系一般指的是兩條線段的倍數(shù)關(guān)系，常考慮利用特殊三角形、全等三角形、特殊四邊形的性質(zhì)或根據(jù)題中對應角的關(guān)系得到相似三角形，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例進行求解． 2．探究特殊四邊形的形狀，通常先判定該四邊形是否是平行四邊形，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)其邊或角的之間的等量關(guān)系進一步判定其為哪種特殊的平行四邊形． 考點3：關(guān)于旋轉(zhuǎn)的綜合探究問題 【例題3】（2018·湖北江漢·10分）問題：如圖①，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為　BC=DC+EC??； 探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； 應用：如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的長． 【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答； （2）連接CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根據(jù)勾股定理計算即可； （3）作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE，證明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根據(jù)勾股定理計算即可． 【解答】解：（1）BC=DC+EC， 理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE， ∴BC=BD+CD=EC+CD， 故答案為：BC=DC+EC； （2）BD2+CD2=2AD2， 理由如下：連接CE， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，∠ACE=∠B， ∴∠DCE=90°， ∴CE2+CD2=ED2， 在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE， ∴BD2+CD2=2AD2； （3）作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD與△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE=9， ∵∠ADC=45°，∠EDA=45°， ∴∠EDC=90°， ∴DE==6， ∵∠DAE=90°， ∴AD=AE=DE=6． 一、選擇題： 1. （2017山東泰安）如圖，在正方形網(wǎng)格中，線段A′B′是線段AB繞某點逆時針旋轉(zhuǎn)角α得到的，點A′與A對應，則角α的大小為（　?。? A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】C 【解答】解：如圖： 顯然，旋轉(zhuǎn)角為90°， 故選C． 2. （2018·遼寧省撫順市）（3.00分）已知點A的坐標為（1，3），點B的坐標為（2，1）．將線段AB沿某一方向平移后，點A的對應點的坐標為（﹣2，1）．則點B的對應點的坐標為（　　） A．（5，3） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1） 【答案】C 【解答】解：∵A（1，3）的對應點的坐標為（﹣2，1）， ∴平移規(guī)律為橫坐標減3，縱坐標減2， ∵點B（2，1）的對應點的坐標為（﹣1，﹣1）． 故選：C． 3. （2018·廣西賀州·3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接BB'，若∠A′B′B=20°，則∠A的度數(shù)是　 ?。? A．60° B．65° C．70° D．80° 【答案】B 【解答】解：∵Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C， ∴BC=B′C， ∴△BCB′是等腰直角三角形， ∴∠CBB′=45°， ∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A=∠B′A′C=65°． 故答案為：65°． 4. （2018·遼寧大連·3分）如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α，得到△EBD，若點A恰好在ED的延長線上，則∠CAD的度數(shù)為（　?。? A．90°﹣α　　　　　　B．α　　　　　　C．180°﹣α　　　　　　D．2α 【答案】C 【解析】解：由題意可得： ∠CBD=α，∠ACB=∠EDB． ∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°． ∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α． 故選C． 5. 如圖示，若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB，則點P為△ABC的布洛卡點．三角形的布洛卡點（Brocard point）是法國數(shù)學家和數(shù)學教育家克洛爾（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當時的人們所注意，1875年，布洛卡點被一個數(shù)學愛好者法國軍官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若點Q為△DEF的布洛卡點，DQ=1，則EQ+FQ=（　?。? A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：如圖，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3， ∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°， ∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3， ∴△DQF∽△FQE， ∴===， ∵DQ=1， ∴FQ=，EQ=2， ∴EQ+FQ=2+， 故選D 二、填空題： 6. (2019?湖南常德?3分)如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，點D在AC邊上，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ACD′，且點D′、D、B三點在同一條直線上，則∠ABD的度數(shù)是　 ?。? 【答案】22.5°． 【解答】解：∵將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ACD′， ∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°， ∴∠ABD＝22.5°．故答案為22.5°． 7. （2019湖北宜昌3分）如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應點B'的坐標是 . 【答案】（﹣，3）， 【解答】解：如圖，作B′H⊥y軸于H． 由題意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°， ∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝， ∴OH＝3， ∴B′（﹣，3）， 8. (2019，山西，3分）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，點D為△ABC內(nèi)一點，∠BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D的對應點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為 cm. 【答案】 【解析】過點A作AG⊥DE于點G，由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AE，∠DAE=90°，∠CAE=∠BAD=15° ∴∠AED=45°；在△AEF中：∠AFD=∠AED+∠CAE=60° 在Rt△ADG中：AG=DG= 在Rt△AFG中： ∴ 故答案為： 三、解答題： 9. 如圖所示，在正方形ABCD中，G是CD上一點，延長BC到E，使CE＝CG，連接BG并延長交DE于F，將△DCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′. (1)判斷四邊形E′BGD是什么特殊四邊形，并說明理由； (2)由△BCG經(jīng)過怎樣的變換可得到△DAE′？請說出具體的變換過程． 解：(1)四邊形E′BGD是平行四邊形．理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵將△DCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′，∴CE＝AE′， ∵CE＝CG，∴AE′＝CG，∴BE′＝DG， ∴四邊形E′BGD是平行四邊形； (2)∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°.∵∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠BCD＝∠DCE＝90°.在△BCG和△DCE，，∴△BCG≌△DCE(ASA)；∴由△BCG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△DCE，再繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′ 10. （2018·浙江寧波·10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點F，連接BE． （1）求證：△ACD≌△BCE； （2）當AD=BF時，求∠BEF的度數(shù)． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì) 【分析】（1）由題意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，從而可證明△ACD≌△BCE（SAS） （2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，從而可求出∠BEF的度數(shù)． 【解答】解：（1）由題意可知：CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB， ∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD與△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS） （2）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=45°， 由（1）可知：∠A=∠CBE=45°， ∵AD=BF， ∴BE=BF， ∴∠BEF=67.5° 11. （2018·浙江臨安·3分）如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，將腰CD以D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連AE、CE，則△ADE的面積是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．不能確定 【考點】梯形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 【分析】如圖作輔助線，利用旋轉(zhuǎn)和三角形全等證明△DCG與△DEF全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EF的長，即△ADE的高，然后得出三角形的面積． 【解答】解：如圖所示，作EF⊥AD交AD延長線于F，作DG⊥BC， ∵CD以D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED， ∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD， 又∵∠CDF+∠CDG=90°， ∴∠CDG=∠EDF， 在△DCG與△DEF中，， ∴△DCG≌△DEF（AAS）， ∴EF=CG， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1， ∴△ADE的面積是：×AD×EF=×2×1=1． 故選：A． 12. (2019?江蘇蘇州?8分)如圖，中，點在邊上，，將線段繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接，與交于點 （1）求證：； （2）若，，求的度數(shù). 【解答】解： （1） （2） 13. （2019?湖北十堰?10分）如圖1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D為△ABC內(nèi)一點，將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE，點A，D的對應點分別為點B，E，且A，D，E三點在同一直線上． （1）填空：∠CDE＝　?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）； （2）如圖2，若α＝60°，請補全圖形，再過點C作CF⊥AE于點F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）若α＝90°，AC＝5，且點G滿足∠AGB＝90°，BG＝6，直接寫出點C到AG的距離． 【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解； （2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可證△CDE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得DF＝EF＝，即可求解； （3）分點G在AB的上方和AB的下方兩種情況討論，利用勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE ∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α ∴CD＝CE ∴∠CDE＝ 故答案為： （2）AE＝BE+CF 理由如下：如圖， ∵將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角60°得到△CBE ∴△ACD≌△BCE ∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60° ∴△CDE是等邊三角形，且CF⊥DE ∴DF＝EF＝ ∵AE＝AD+DF+EF ∴AE＝BE+CF （3）如圖，當點G在AB上方時，過點C作CE⊥AG于點E， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10 ∵∠ACB＝90°＝∠AGB ∴點C，點G，點B，點A四點共圓 ∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG ∴∠AGC＝∠ECG＝45° ∴CE＝GE ∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90° ∴AG＝8 ∵AC2＝AE2+CE2， ∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2， ∴CE＝7（不合題意舍去），CE＝1 若點G在AB的下方，過點C作CF⊥AG， 同理可得：CF＝7 ∴點C到AG的距離為1或7． 15