2020年中考數(shù)學考點總動員 第30講 概率（含解析）

第30講　概　率 1．事件的分類 事件類型 定義 概率 必然事件 一定會發(fā)生的事件 1 不可能事件 一定不會發(fā)生的事件 0 隨機事件 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件 0～1之間 2.概率：一般地，表示一個隨機事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，叫做這個隨機事件A發(fā)生的概率． 3．概率的計算 (1)公式法：對于簡單的事件直接用公式法計算即可； P(A)＝； (2)列表法：當一次試驗涉及兩步計算時，且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，可采用列表法列出所有可能的結(jié)果，再根據(jù)P(A)＝計算概率； (3)畫樹狀圖法：當一次試驗涉及兩步或兩步以上的計算時，可采用畫樹狀圖表示所有可能的結(jié)果，再根據(jù)P(A)＝計算概率． 4．幾何概型求概率：與幾何圖形有關(guān)的概率的計算，一般是用幾何圖形中的面積比進行求解，計算公式為P(A)＝. 5．頻率與概率 (1)用頻率估算概率：一般地，在大量重復(fù)試驗下，隨機事件A發(fā)生的頻率 (這里n是總試驗次數(shù)，它必須相當大，m是在n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù))會穩(wěn)定到某個常數(shù)p.于是，我們用p這個常數(shù)表示事件A發(fā)生的概率，即P(A)＝p； (2)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系 ①區(qū)別：概率是用來表示一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小，只要有一個隨機事件存在，就有一個概率存在，而頻率是通過試驗得到的，它隨著試驗次數(shù)的變化而變化； ②聯(lián)系：當試驗次數(shù)充分大時，頻率穩(wěn)定在概率的附近擺動，為了求出一個隨機事件的概率，通常需要大量的重復(fù)試驗，用所得的頻率來估計隨機事件的概率. 考點1：頻率與概率 【例題1】（2019?湖北省仙桃市?7分）為了解某地七年級學生身高情況，隨機抽取部分學生，測得他們的身高（單位：cm），并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中提供的信息，解答下列問題． （1）填空：樣本容量為　100　，a＝　30　； （2）把頻數(shù)分布直方圖補充完整； （3）若從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率． 【分析】（1）用A組的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量，然后計算B組所占的百分比得到a的值； （2）利用B組的頻數(shù)為30補全頻數(shù)分布直方圖； （3）計算出樣本中身高低于160cm的頻率，然后利用樣本估計總體和利用頻率估計概率求解． 【解答】解：（1）15÷＝100， 所以樣本容量為100； B組的人數(shù)為100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30， 所以a%＝×100%＝30%，則a＝30； 故答案為100，30； （2）補全頻數(shù)分布直方圖為： （3）樣本中身高低于160cm的人數(shù)為15+30＝45， 樣本中身高低于160cm的頻率為＝0.45， 所以估計從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率為0.45． 歸納：利用頻率估計概率：用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確． 考點2：一步概率 【例題2拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，骰子的六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，則朝上一面的數(shù)字為2的概率是（    ） A.       B.       C.   D.  【答案】A 【分析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，則朝上一面的數(shù)字可以是1,2,3,4,5,6六種情況，其中朝上一面的數(shù)字為2的只有一種情況，根據(jù)概率公式計算即可。 【解析】 ：拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，則朝上一面的數(shù)字共出現(xiàn)六種等可能情況，其中朝上一面的數(shù)字為2的只有一種情況，則朝上一面的數(shù)字為2的概率是 故答案為：A, 考點3：幾何概型求概率 【例題3】（2018貴陽）（3.00分）如圖，小穎在圍棋盤上兩個格子的格點上任意擺放黑、白兩個棋子，且兩個棋子不在同一條網(wǎng)格線上，其中，恰好擺放成如圖所示位置的概率是（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：恰好擺放成如圖所示位置的概率是=， 故選：D． 考點4：概率的綜合計算 【例題4】　(2018·承德模擬)從背面相同的同一副撲克牌中取出紅桃9張，黑桃10張，方塊11張，現(xiàn)將這些牌洗勻背面朝上放在桌面上． (1)求從中抽出一張是紅桃的概率； (2)現(xiàn)從桌面上先抽掉若干張黑桃，再放入與抽掉的黑桃張數(shù)相同的紅桃，并洗勻且背面都朝上排開后，隨機抽一張是紅桃的概率不小于，問至少抽掉了多少張黑桃？ (3)若先從桌面上抽掉9張紅桃和m(m＞6)張黑桃后，再在桌面上抽出一張牌，當m為何值時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為必然事件？當m為何值時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機事件？并求出這個事件的概率的最小值． 【解析】(1)抽出一張是紅桃的概率是＝. (2)設(shè)至少抽掉了x張黑桃，放入x張的紅桃， 根據(jù)題意，得≥. 解得x≥3. 答：至少抽掉了3張黑桃． (3)當m為10時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為必然事件， 當m為9，8，7時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機事件，P(最小)＝＝. 歸納：　(1)判斷使用列表或畫樹狀圖方法：列表法一般適用于兩步計算；畫樹狀圖法適合于兩步及兩步以上求概率； (2)不重不漏地列舉出所有事件出現(xiàn)的可能結(jié)果，并判定每種事件發(fā)生的可能性是否相等； (3)確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)n及所求事件A出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)m； (4)用公式P(A)＝求事件A發(fā)生的概率． 一、選擇題： 1. （2019?浙江紹興?4分）為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區(qū)100名九年級男生，他們的身高x（cm）統(tǒng)計如下： 組別（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180 人數(shù) 5 38 42 15 根據(jù)以上結(jié)果，抽查該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于180cm的概率是（　?。? A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15 【答案】D 【解答】解：樣本中身高不低于180cm的頻率＝＝0.15， 所以估計他的身高不低于180cm的概率是0.15． 故選：D． 2. （2019?湖北天門?3分）下列說法正確的是（　?。? A．了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調(diào)查 B．甲、乙兩人跳遠成績的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說明乙的跳遠成績比甲穩(wěn)定 C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5 D．可能性是1%的事件在一次試驗中一定不會發(fā)生 【答案】C 【解答】解：A．了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合抽樣調(diào)查，A錯誤； B．甲、乙兩人跳遠成績的方差分別為S甲2＝3，S乙2＝4，說明甲的跳遠成績比乙穩(wěn)定，B錯誤； C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5，正確； D．可能性是1%的事件在一次試驗中可能會發(fā)生，D錯誤． 故選：C． 3. （2019?山東省德州市 ?4分）甲、乙是兩個不透明的紙箱，甲中有三張標有數(shù)字，，1的卡片，乙中有三張標有數(shù)字1，2，3的卡片，卡片除所標數(shù)字外無其他差別，現(xiàn)制定一個游戲規(guī)則：從甲中任取一張卡片，將其數(shù)字記為a，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為b．若a，b能使關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝．則乙獲勝的概率為（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：（1）畫樹狀圖如下： 由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中能使乙獲勝的有4種結(jié)果數(shù)， ∴乙獲勝的概率為， 故選：C． 4. （2019?湖北武漢?3分）從1.2.3.4四個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為A.c，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有實數(shù)解的概率為（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：畫樹狀圖得： 由樹形圖可知：一共有12種等可能的結(jié)果，其中使ac≤4的有6種結(jié)果， ∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有實數(shù)解的概率為， 故選：C． 5. （2019?湖北省隨州市?3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，BD，AE交于點O，若隨機向平行四邊形ABCD內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵E為BC的中點， ∴，∴=， ∴S△BOE=S△AOB，S△AOB=S△ABD，∴S△BOE=S△ABD=S?ABCD， ∴米粒落在圖中陰影部分的概率為，故選：B． 二、填空題： 6. (2019甘肅省隴南市)（4分）一個猜想是否正確，科學家們要經(jīng)過反復(fù)的實驗論證．下表是幾位科學家“擲硬幣”的實驗數(shù)據(jù)： 實驗者 德?摩根 蒲豐 費勒 皮爾遜 羅曼諾夫斯基 擲幣次數(shù) 6140 4040 10000 36000 80640 出現(xiàn)“正面朝上”的次數(shù) 3109 2048 4979 18031 39699 頻率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為　0.5?。ň_到0.1）． 【答案】0.5 【解答】解：因為表中硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的頻率在0.5左右波動， 所以估計硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為0.5． 故答案為0.5． 7. （2019浙江麗水3分）一個布袋里裝有2個紅球、3個黃球和5個白球，除顏色外其它都相同．攪勻后任意摸出一個球，是白球的概率為 . 【答案】 【解答】袋子里裝有2個紅球、3個黃球和5個白球共10個球，從中摸出一個球是白球的概率是=． 8. （2019?黑龍江省齊齊哈爾市?3分）在一個不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的小球．已知袋中有紅球5個，白球23個，且從袋中隨機摸出一個紅球的概率是，則袋中黑球的個數(shù)為 . 【答案】22 【解答】解：設(shè)袋中黑球的個數(shù)為x， 根據(jù)題意得＝，解得x＝22， 即袋中黑球的個數(shù)為22個． 9. （2019?山東省德州市 ?4分）甲、乙是兩個不透明的紙箱，甲中有三張標有數(shù)字，，1的卡片，乙中有三張標有數(shù)字1，2，3的卡片，卡片除所標數(shù)字外無其他差別，現(xiàn)制定一個游戲規(guī)則：從甲中任取一張卡片，將其數(shù)字記為a，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為b．若a，b能使關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝．則乙獲勝的概率為 . 【答案】 【解答】解：（1）畫樹狀圖如下： 由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中能使乙獲勝的有4種結(jié)果數(shù)， ∴乙獲勝的概率為， 三、解答題： 10. （2019?海南省?8分）為宣傳6月6日世界海洋日，某校九年級舉行了主題為“珍惜海洋資源，保護海洋生物多樣性”的知識競賽活動．為了解全年級500名學生此次競賽成績（百分制）的情況，隨機抽取了部分參賽學生的成績，整理并繪制出如下不完整的統(tǒng)計表（表1）和統(tǒng)計圖（如圖）．請根據(jù)圖表信息解答以下問題： （1）本次調(diào)查一共隨機抽取了　50　個參賽學生的成績； （2）表1中a＝　8?。? （3）所抽取的參賽學生的成績的中位數(shù)落在的“組別”是　C??； （4）請你估計，該校九年級競賽成績達到80分以上（含80分）的學生約有　320　人． 表1 知識競賽成績分組統(tǒng)計表 組別 分數(shù)/分 頻數(shù) A 60≤x＜70 a B 70≤x＜80 10 C 80≤x＜90 14 D 90≤x＜100 18 【分析】（1）本次調(diào)查一共隨機抽取學生：18÷36%＝50（人）； （2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8； （3）本次調(diào)查一共隨機抽取50名學生，中位數(shù)落在C組； （4）該校九年級競賽成績達到80分以上（含80分）的學生有500×＝320（人）． 【解答】解：（1）本次調(diào)查一共隨機抽取學生：18÷36%＝50（人）， 故答案為50； （2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8， 故答案為8； （3）本次調(diào)查一共隨機抽取50名學生，中位數(shù)落在C組，故答案為C； （4）該校九年級競賽成績達到80分以上（含80分）的學生有500×＝320（人），故答案為320． 11. (2018·遵義)某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動，凡購物者可以通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠，本次活動共有兩種方式，方式一：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲，指針指向A區(qū)域時，所購買物品享受9折優(yōu)惠、指針指向其他區(qū)域無優(yōu)惠；方式二：同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙，若兩個轉(zhuǎn)盤的指針指向每個區(qū)域的字母相同，所購買物品享受8折優(yōu)惠，其他情況無優(yōu)惠．在每個轉(zhuǎn)盤中，指針指向每個區(qū)城的可能性相同(若指針指向分界線，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤) (1)若顧客選擇方式一，則享受9折優(yōu)惠的概率為； (2)若顧客選擇方式二，請用樹狀圖或列表法列出所有可能，并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率． 解：畫樹狀圖如下： 由樹狀圖可知，共有12種等可能結(jié)果，其中指針指向每個區(qū)域的字母相同的有2種結(jié)果， ∴P(顧客享受8折優(yōu)惠)＝＝. 12. (2019湖北仙桃)（7分）為了解某地七年級學生身高情況，隨機抽取部分學生，測得他們的身高（單位：cm），并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中提供的信息，解答下列問題． （1）填空：樣本容量為　100　，a＝　30??； （2）把頻數(shù)分布直方圖補充完整； （3）若從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率． 【分析】（1）用A組的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量，然后計算B組所占的百分比得到a的值； （2）利用B組的頻數(shù)為30補全頻數(shù)分布直方圖； （3）計算出樣本中身高低于160cm的頻率，然后利用樣本估計總體和利用頻率估計概率求解． 【解答】解：（1）15÷＝100， 所以樣本容量為100； B組的人數(shù)為100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30， 所以a%＝×100%＝30%，則a＝30； 故答案為100，30； （2）補全頻數(shù)分布直方圖為： （3）樣本中身高低于160cm的人數(shù)為15+30＝45， 樣本中身高低于160cm的頻率為＝0.45， 所以估計從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率為0.45． 13. (2018·邢臺三模)嘉嘉和琪琪一塊去選汽車牌照，現(xiàn)只有四個牌照可隨機選取，這四個牌照編號末尾數(shù)字如圖所示． 牌照末尾數(shù)字 5 6 7 數(shù)量(個) 1 1 2 (1)求嘉嘉選取牌照編號末尾數(shù)字是6的概率； (2)求她倆選取牌照編號末尾數(shù)字正好差1的概率． 【解析】：(1)一共有四個牌照，四種等可能結(jié)果，其中末尾數(shù)字是6的只有一種等可能結(jié)果，以P(搖到牌照末尾數(shù)字是6)＝. (2)將這四個牌照編號，末尾數(shù)字為5的記為a，末尾數(shù)字為6的記為b，末尾數(shù)字為7的分別為c1，c2， a b c1 c2 a (a，b) (a，c1) (a，c2) b (b，a) (b，c1) (b，c2) c1 (c1，a) (c1，b) (c1，c2) c2 (c2，a) (c2，b) (c2，c1) 一共有12種等可能結(jié)果，其中末尾數(shù)字正好差1有6種等可能結(jié)果， 所以P(末尾數(shù)字正好差1)＝. 14. （2019湖北省鄂州市）．（8分）某校為了解全校學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況，隨機選取該校部分學生進行調(diào)查，要求每名學生從中選出一類最喜愛的電視節(jié)目，以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分． 類別 A B C D E 類型 新聞 體育 動畫 娛樂 戲曲 人數(shù) 11 20 40 m 4 請你根據(jù)以上信息，回答下列問題： （1）統(tǒng)計表中m的值為　25　，統(tǒng)計圖中n的值為　25　，A類對應(yīng)扇形的圓心角為　39.6　度； （2）該校共有1500名學生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計該校最喜愛體育節(jié)目的學生人數(shù)； （3）樣本數(shù)據(jù)中最喜愛戲曲節(jié)目的有4人，其中僅有1名男生．從這4人中任選2名同學去觀賞戲曲表演，請用樹狀圖或列表求所選2名同學中有男生的概率． 【分析】（1）先根據(jù)B類別人數(shù)及其百分比求出總?cè)藬?shù)，再由各類別人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出m，繼而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A類別人數(shù)所占比例即可得； （2）利用樣本估計總體思想求解可得． 【解答】解：（1）∵樣本容量為20÷20%＝100， ∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%＝×100%＝25%，A類對應(yīng)扇形的圓心角為360°×＝39.6°， 故答案為：25、25、39.6． （2）1500×＝300（人） 答：該校最喜愛體育節(jié)目的人數(shù)約有300人； （3）畫樹狀圖如下： 共有12種情況，所選2名同學中有男生的有6種結(jié)果， 所以所選2名同學中有男生的概率為． 13