2020年中考數學考點總動員 第11講 一次函數及其應用（含解析）

第11講一次函數及其應用1一次函數的概念一般地，形如ykxb(k0) 的函數叫做一次函數，當b0時，ykxb即為ykx叫做正比例函數，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數2一次函數的圖象與性質(1)一次函數ykxb(k0)的圖象是一條直線，它與x軸的交點坐標為(，0)，與y軸的交點坐標為原點，正比例函數ykx(k0)的圖象是過(0，b) 的一條直線(2)一次函數ykxb(k0)的圖象所經過的象限及增減性k、b的符號 函數圖象 圖象的位置 增減性 k0 b0 圖象過第一、二、三象限 y隨x的增大而增大b0 圖象過第一、三象限 y隨x的增大而增大b0 圖象過第一、三、四象限 y隨x的增大而增大 k0 函數圖象 圖象的位置 增減性 b0 圖象過第一、二、四象限 y隨x的增大而減小b0 圖象過第二、四象限 y隨x的增大而減小b0 圖象過第二、三、四 象限 y隨x的增大而減小3.待定系數法求一次函數解析式的一般步驟 (1)設：設出一次函數解析式一般形式y(tǒng)kxb(k0); (2)代：將已知條件中函數圖象上的兩點坐標代入ykxb得到方程(組); (3)求：解方程(組)求出k，b的值； (4)寫：寫出一次函數的解析式4一次函數與方程(組)的關系(1)一次函數的解析式y(tǒng)kxb就是一個二元一次方程；(2)一次函數ykxb的圖象與x軸交點的_橫坐標_就是方程kxb0的解；(3)一次函數yk1xb1與yk2xb2的圖象交點的橫、縱坐標值就是方程組的解5一次函數與不等式的關系 (1)函數ykxb的函數值y大于0時，自變量x的取值范圍就是不等式kxb0的解集，即函數圖象位于x軸的上方部分對應點的橫坐標的取值范圍； (2)函數ykxb的函數值y小于0時，自變量x的取值范圍就是不等式kxb<0的解集，即函數圖象位于x軸的下方部分對應點的橫坐標的取值范圍 6一次函數的實際應用 (1)常見類型：費用問題；銷售問題；行程問題；容量問題；方案問題 (2)解一次函數實際問題的一般步驟： 設出實際問題中的變量； 建立一次函數關系式； 利用待定系數法求出一次函數關系式； 確定自變量取值范圍； 利用一次函數的性質求相應的值，對所得到的解進行檢驗，是否符合實際意義； 答考點1： 一次函數的圖象與性質【例題1】（2018江蘇揚州3分）如圖，在等腰RtABO，A=90°，點B的坐標為（0，2），若直線l：y=mx+m（m0）把ABO分成面積相等的兩部分，則m的值為【分析】根據題意作出合適的輔助線，然后根據題意即可列出相應的方程，從而可以求得m的值【解答】解：y=mx+m=m（x+1），函數y=mx+m一定過點（1，0），當x=0時，y=m，點C的坐標為（0，m），由題意可得，直線AB的解析式為y=x+2，得，直線l：y=mx+m（m0）把ABO分成面積相等的兩部分，解得，m=m<2（舍去），故答案為：考點2： 一次函數與方程、不等式的關系【例題2】(2018·河北T24·10分)如圖，直角坐標系xOy中，一次函數yx5的圖象l1分別與x，y軸交于A，B兩點，正比例函數的圖象l2與l1交于點C(m，4)(1)求m的值及l(fā)2的解析式；(2)求SAOCSBOC的值；(3)一次函數ykx1的圖象為l3，且l1，l2，l3不能圍成三角形，直接寫出k的值【解析】：(1)把C(m，4)代入一次函數yx5，可得4m5，解得m2，C(2，4)設l2的解析式為yax，則42a，解得a2.l2的解析式為y2x.(2)過點C作CDAO于點D，CEBO于點E，則CD4，CE2，yx5的圖象與x軸、y軸交于A，B兩點，令x0，則y5，令y0，則x10，A(10，0)，B(0，5)AO10，BO5.SAOCSBOC×10×4×5×215.(3)k的值為或2或.考點3： 一次函數的實際應用【例題3】（2019四川省廣安市8分）為了節(jié)能減排，我市某校準備購買某種品牌的節(jié)能燈，已知3只A型節(jié)能燈和5只B型節(jié)能燈共需50元，2只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需31元（1）求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價各是多少元？（2）學校準備購買這兩種型號的節(jié)能燈共200只，要求A型節(jié)能燈的數量不超過B型節(jié)能燈的數量的3倍，請設計出最省錢的購買方案，并說明理由【分析】（1）根據題意可以列出相應的二元一次方程組，從而可以解答本題；（2）根據題意可以得到費用與購買A型號節(jié)能燈的關系式，然后根據一次函數的性質即可解答本題【解答】解：（1）設1只A型節(jié)能燈的售價是x元，1只B型節(jié)能燈的售價是y元，解得，答：1只A型節(jié)能燈的售價是5元，1只B型節(jié)能燈的售價是7元；（2）設購買A型號的節(jié)能燈a只，則購買B型號的節(jié)能燈（200a）只，費用為w元，w5a+7（200a）2a+1400，a3（200a），a150，當a150時，w取得最小值，此時w1100，200a50，答：當購買A型號節(jié)能燈150只，B型號節(jié)能燈50只時最省錢歸納：1.對于一次函數方案設計題，關鍵是讀懂題意，然后在列方案時找出其中的數量關系并列出不等式；通過解不等式求出未知數的取值范圍，然后取其整數解，將每一組符合題意的整數解定為一種方案，在選擇最優(yōu)方案時，通過將每一組解代入相應的關系式中，滿足題意的最優(yōu)解即可定為最優(yōu)方案2在遇到求解一次函數最值問題時，切入問題的關鍵點在于確定自變量的取值范圍，通過給定自變量的范圍，選取合適的數值代入解析式求解即可同時，一次函數確定最值時還應注意以下兩點： 當在確定一次函數自變量時，有時需要列不等式解題，對于某些關鍵字要特別注意，如“不超過”、“不多于”、“最多”等字眼需要使用“”；而“至少”、“不少于”等字眼要使用“”； 從方程中得到的解一定要進行檢驗，即要符合原方程和實際意義，切不可忽略 3涉及圖象問題的實際應用要注意：在觀察函數圖象時，首先要弄清橫軸與縱軸所表示的函數變量，然后在分析函數圖象時應注意拐點、交點的實際意義，最后在分析圖象時要考慮到函數自變量的取值范圍一、選擇題：1. （2019四川省廣安市3分）一次函數y2x3的圖象經過的象限是（）A一、二、三B二、三、四C一、三、四D一、二、四【答案】C【解答】解：一次函數y2x3，該函數經過第一、三、四象限，故選：C2. （2018湘潭）若b0，則一次函數y=x+b的圖象大致是（）ABCD【答案】C【解答】解：一次函數y=x+b中k=10，b0，一次函數的圖象經過一、二、四象限，故選：C3. (2019湖北荊門)（3分）如果函數ykx+b（k，b是常數）的圖象不經過第二象限，那么k，b應滿足的條件是（）Ak0且b0Bk0且b0Ck0且b0Dk0且b0【答案】A【解答】解：ykx+b（k，b是常數）的圖象不經過第二象限，當k0，b0時成立；當k0，b0時成立；綜上所述，k0，b0；故選：A4. （2019山東臨沂3分）下列關于一次函數ykx+b（k0，b0）的說法，錯誤的是（）A圖象經過第一、二、四象限 By隨x的增大而減小C圖象與y軸交于點（0，b） D當x時，y0【答案】D【解答】解：ykx+b（k0，b0），圖象經過第一、二、四象限，A正確；k0，y隨x的增大而減小，B正確；令x0時，yb，圖象與y軸的交點為（0，b），C正確；令y0時，x，當x時，y0；D不正確；故選：D5. （2018包頭）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y=x+1與x軸，y軸分別交于點A和點B，直線l2：y=kx（k0）與直線l1在第一象限交于點C若BOC=BCO，則k的值為（）A B C D2【答案】B【解答】直線l1：y=x+1中，令x=0，則y=1，令y=0，則x=2，即A（2，0）B（0，1），RtAOB中，AB=3，如圖，過C作CDOA于D，BOC=BCO，CB=BO=1，AC=2，CDBO，OD=AO=，CD=BO=，即C（，），把C（，）代入直線l2：y=kx，可得=k，即k=，故選：B二、填空題：6. （2019山東濰坊3分）當直線y（22k）x+k3經過第二、三、四象限時，則k的取值范圍是1k3【答案】1k3；【解答】解：y（22k）x+k3經過第二、三、四象限，22k0，k30，k1，k3，1k3；故答案為1k3；7. （2018邵陽）如圖所示，一次函數y=ax+b的圖象與x軸相交于點（2，0），與y軸相交于點（0，4），結合圖象可知，關于x的方程ax+b=0的解是 【答案】x=2【解答】解：一次函數y=ax+b的圖象與x軸相交于點（2，0），關于x的方程ax+b=0的解是x=2故答案為x=28. （2019廣西河池3分）如圖，在平面直角坐標系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB繞點A順時針旋轉90°而得，則AC所在直線的解析式是y2x4【答案】y2x4【解答】解：A（2，0），B（0，1）OA2，OB1過點C作CDx軸于點D， 則易知ACDBAO（AAS）ADOB1，CDOA2C（3，2）設直線AC的解析式為ykx+b，將點A，點C坐標代入得直線AC的解析式為y2x4故答案為：y2x49. （2019山東省聊城市3分）如圖，在RtABO中，OBA90°，A（4，4），點C在邊AB上，且，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標為 .【答案】P（，），【解答】解：在RtABO中，OBA90°，A（4，4），ABOB4，AOB45°，點D為OB的中點，BC3，ODBD2，D（0，2），C（4，3），作D關于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），直線OA 的解析式為yx，設直線EC的解析式為ykx+b，解得：，直線EC的解析式為yx+2，解得，P（，），三、解答題：10. （2019湖北省仙桃市8分）某農貿公司銷售一批玉米種子，若一次購買不超過5千克，則種子價格為20元/千克，若一次購買超過5千克，則超過5千克部分的種子價格打8折設一次購買量為x千克，付款金額為y元（1）求y關于x的函數解析式；（2）某農戶一次購買玉米種子30千克，需付款多少元？【分析】（1）根據題意，得當0x5時，y20x；當x5，y20×0.8（x5）+20×516x+20；（2）把x30代入y16x+20，即可求解；【解答】解：（1）根據題意，得當0x5時，y20x；當x5，y20×0.8（x5）+20×516x+20；（2）把x30代入y16x+20，y16×30+20500；一次購買玉米種子30千克，需付款500元；11. (2017·臺州改編)如圖，直線l1：y2x1與直線l2：ymx4相交于點P(1，b)(1)求b，m的值；(2)直接寫出關于x的不等式2x1<mx4的解集；(3)垂直于x軸的直線xa與直線l1，l2分別交于點C，D.若線段CD長為2，求a的值【點撥】(1)把點P的坐標代入l1求出b，再將(1，b)代入l2求出m；(2)觀察圖象，由兩直線的交點P的橫坐標可得；(3)C，D兩點橫坐標相同時，線段CD的長等于其縱坐標的差，但要注意有兩種情況【解答】解：(1)點P(1，b)在直線l1：y2x1上，b2×113.點P(1，3)在直線l2：ymx4上，3m4.m1.(2)x<1.(3)當xa時，yC2a1，yD4a.CD2，|2a1(4a)|2，解得a或a.a的值為或.12. （2018重慶）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+3過點A（5，m）且與y軸交于點B，把點A向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到點C過點C且與y=2x平行的直線交y軸于點D（1）求直線CD的解析式；（2）直線AB與CD交于點E，將直線CD沿EB方向平移，平移到經過點B的位置結束，求直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標的取值范圍【分析】（1）先把A（5，m）代入y=x+3得A（5，2），再利用點的平移規(guī)律得到C（3，2），接著利用兩直線平移的問題設CD的解析式為y=2x+b，然后把C點坐標代入求出b即可得到直線CD的解析式；（2）先確定B（0，3），再求出直線CD與x軸的交點坐標為（2，0）；易得CD平移到經過點B時的直線解析式為y=2x+3，然后求出直線y=2x+3與x軸的交點坐標，從而可得到直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標的取值范圍【解答】解：（1）把A（5，m）代入y=x+3得m=5+3=2，則A（5，2），點A向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到點C，C（3，2），過點C且與y=2x平行的直線交y軸于點D，CD的解析式可設為y=2x+b，把C（3，2）代入得6+b=2，解得b=4，直線CD的解析式為y=2x4；（2）當x=0時，y=x+3=3，則B（0，3），當y=0時，2x4=0，解得x=2，則直線CD與x軸的交點坐標為（2，0）；易得CD平移到經過點B時的直線解析式為y=2x+3，當y=0時，2x+3=0，解的x=，則直線y=2x+3與x軸的交點坐標為（，0），直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標的取值范圍為x213. (2017·河北T24·10分)如圖，直角坐標系xOy中，A(0，5)，直線x5與x軸交于點D，直線yx與x軸及直線x5分別交于點C，E.點B，E關于x軸對稱，連接AB.(1)求點C，E的坐標及直線AB的解析式；(2)設面積的和SSCDES四邊形ABDO，求S的值；(3)在求(2)中S時，嘉琪有個想法：“將CDE沿x軸翻折到CDB的位置，而CDB與四邊形ABDO拼接后可看成AOC，這樣求S便轉化為直接求AOC的面積不更快捷嗎？”但大家經反復驗算，發(fā)現SAOCS，請通過計算解釋他的想法錯在哪里【解析】：(1)把y0代入yx，得x13.C(13，0).1分把x5代入yx，得y3.E(5，3).2分點B，E關于x軸對稱，B(5，3)設直線AB的解析式為ykxb，則解得直線AB的解析式為yx5.5分(2)CD8，DEDB3，OAOD5.SCDE×8×312，S四邊形ABDO×(35)×520.S32.8分(3)當x13時，yx50，點C不在直線AB上，即A，B，C三點不共線他的想法錯在將CDB與四邊形ABDO拼接后看成了AOC. 14. （2019·貴州安順·10分）安順市某商貿公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到更大的實惠，現決定降價銷售，已知這種干果銷售量y（千元）與每千元降價x（元）（0x20）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數關系式；（2）商貿公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價多少元？【解答】解：（1）設一次函數解析式為：ykx+b當x2，y120；當x4，y140；，解得：，y與x之間的函數關系式為y10x+100；（2）由題意得：（6040x）（10 x+100）2090，整理得：x210x+90，解得：x11x29，讓顧客得到更大的實惠，x9，答：商貿公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價9元15. (2018·唐山樂亭縣一模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，過點A(6，0)的直線l1與直線l2：y2x相交于點B(m，4)(1)求直線l1的解析式；(2)直線l1與y軸交于點M，求AOM的面積；(3)過動點P(n，0)且垂直于x軸的直線與l1，l2的交點分別為C，D，當點C位于點D上方時，直接寫出n的取值范圍【變式】(4)將(3)中條件“過動點P(n，0)且垂直于x軸的直線l1，l2的交點分別為C，D”保持不變，“當點C位于點D上方時”改為“且CD2”，求點C的坐標【點撥】(1)點B在直線y2x上，所以m2，即點B(2，4)，利用待定系數法可得直線l1的解析式；(2)直線l1與y軸的交點坐標，利用三角形的面積公式求出三角形的面積；(3)點C位于點D的上方，l1>l2，即當n<2時(4)當CD2時，需分點C在點D上方和下方進行討論【自主解答】解：(1)直線y2x經過點B，42m，m2，即B(2，4)設直線l1的解析式為ykxb，直線l1的經過點A，B，解得直線l1的解析式為yx3.(2)當x0時，y3，M(0，3)SAOM×6×39.(3)n<2.(4)當點C在點D上方時，有x32x2，解得x.此時點C的坐標為(，)；當點C在點D下方時，有2x(x3)2，解得x.此時點C的坐標為(，)15