2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第18講 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

第18講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用1銳角三角函數(shù)：如圖，在RtABC中，設(shè)C90°，A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，則：a的正弦sinA；a的余弦cosA_；a的正切tanA.2特殊角的三角函數(shù)值 30°，45°，60°的三角函數(shù)值，如下表： 正弦余弦正切30° 45°160°3.解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法已知條件圖形解法一直角邊和一銳角(a，A)B90°A，c，b已知斜邊和一個(gè)銳角(c，A)B90°A，ac·sinA, bc·cosA已知兩直角邊(a，b)c，由tanA求A，B90°A已知斜邊和一條直角邊(c，a)b，由sinA求A，B90°A4銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中的常見(jiàn)概念 (1)鉛垂線(xiàn)：重力線(xiàn)方向的直線(xiàn)； (2)水平線(xiàn)：與鉛垂線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，一般情況下，地平面上的兩點(diǎn)確定的直線(xiàn)我們認(rèn)為是水平線(xiàn)； (3)仰角：向上看時(shí)，視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角； (4)俯角：向下看時(shí)，視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角； (5)坡角：坡面與水平面的夾角；(6)坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，一般情況下，我們用h表示坡的鉛直高度，用l表示坡的水平寬度，用i表示坡度，即itan，顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向線(xiàn)與目標(biāo)方向線(xiàn)所成的小于90°的銳角叫做方向角注意：東北方向指北偏東45°方向，東南方向指南偏東45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向我們一般畫(huà)圖的方位為上北下南，左西右東. 考點(diǎn)1：直角三角形的邊角關(guān)系【例題1】如圖，AD是ABC的中線(xiàn)，tanB，cosC，AC.求：(1)BC的長(zhǎng)；(2)sinADC的值【解析】：(1)過(guò)點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E.cosC，C45°.在RtACE中，CEAC·cosC1，AECE1.在RtABE中，tanB，即，BE3AE3.BCBECE4.(2)AD是ABC的中線(xiàn)，CDBC2.DECDCE1.AEBC，DEAE，ADC45°.sinADC.歸納： 1解直角三角形，需知除直角以外的兩個(gè)條件(一邊和一角或兩邊)，可求得其余的邊或角2在求解時(shí)，一般選取既含未知邊(角)又含有已知邊(或角)的直角三角形，通過(guò)銳角三角函數(shù)的定義或勾股定理，建構(gòu)已知或未知之間的橋梁；從而實(shí)現(xiàn)求解3若所求的線(xiàn)段(或角)不能直接求解，可以通過(guò)作出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離或三角形高線(xiàn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成直角三角形求解4解直角三角形和相似三角形的性質(zhì)，是幾何求解中的重要工具考點(diǎn)2：銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例題2】（2019甘肅省慶陽(yáng)市8分）圖是放置在水平面上的臺(tái)燈，圖是其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)），其中燈臂AC40cm，燈罩CD30cm，燈臂與底座構(gòu)成的CAB60°CD可以繞點(diǎn)C上下調(diào)節(jié)一定的角度使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)CD與水平線(xiàn)所成的角為30°時(shí)，臺(tái)燈光線(xiàn)最佳現(xiàn)測(cè)得點(diǎn)D到桌面的距離為49.6cm請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)臺(tái)燈光線(xiàn)是否為最佳？（參考數(shù)據(jù)：取1.73）【分析】如圖，作CEAB于E，DHAB于H，CFDH于F解直角三角形求出DCF即可判斷【解答】解：如圖，作CEAB于E，DHAB于H，CFDH于FCEHCFHFHE90°，四邊形CEHF是矩形，CEFH，在RtACE中，AC40cm，A60°，CEACsin60°34.6（cm），F(xiàn)HCE34.6（cm）DH49.6cm，DFDHFH49.634.615（cm），在RtCDF中，sinDCF，DCF30°，此時(shí)臺(tái)燈光線(xiàn)為最佳歸納：解決銳角三角函數(shù)有關(guān)的題目，常結(jié)合視角知識(shí)通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造“直角三角形”，進(jìn)而利用直角三角函數(shù)進(jìn)行求解，常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法和基本圖形的構(gòu)造如下所示： (1)構(gòu)造一個(gè)直角三角形： (2)構(gòu)造兩個(gè)直角三角形： 不同地點(diǎn)測(cè)量： 同一地點(diǎn)測(cè)量： 一、選擇題：1. （2018宜昌）如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線(xiàn)PB上的一點(diǎn)C，測(cè)得PC=100米，PCA=35°，則小河寬PA等于（）A100sin35°米B100sin55°米C100tan35°米D100tan55°米【答案】C【解答】解：PAPB，PC=100米，PCA=35°，小河寬PA=PCtanPCA=100tan35°米故選：C2. (2019湖北宜昌3分）如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sinBAC的值為（）ABCD【答案】D【解答】解：如圖，過(guò)C作CDAB于D，則ADC90°，AC5sinBAC故選：D3. 如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)處，若將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ACB，則tanB的值為（）A. B. C. D. 【答案】：B【解析】：解答：過(guò)C點(diǎn)作CDAB，垂足為D根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，B=B在RtBCD中，tanB=tanB=tanB=故選B 4. （2019廣東省廣州市3分）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是BAC，若tanBAC，則此斜坡的水平距離AC為（）A75mB50mC30mD12m【答案】：A【解答】解：BCA90°，tanBAC，BC30m，tanBAC=， 解得，AC75，故選：A5. 已知ABC中，C=90°，tanA=，D是AC上一點(diǎn)，CBD=A，則sinABD=（）A. B. C. D. 【答案】：A【解析】：解答：作DEAB于點(diǎn)ECBD=A，tanA=tanCBD=，設(shè)CD=1，則BC=2，AC=4，AD=AC-CD=3，在直角ABC中，AB=，在直角ADE中，設(shè)DE=x，則AE=2x，AE2+DE2=AD2，x2+（2x）2=9，解得：x=，則DE=，AE=BE=AB-AE=，tanDBA=，sinDBA=故選A 二、填空題：6. （2018齊齊哈爾）四邊形ABCD中，BD是對(duì)角線(xiàn)，ABC=90°，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，則線(xiàn)段CD= 【答案】：17【解答】解：作AHBD于H，CGBD于G，tanABD=，=，設(shè)AH=3x，則BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，則AH=12，BH=16，在RtAHD中，HD=5，BD=BH+HD=21，ABD+CBD=90°，BCH+CBD=90°，ABD=CBH，=，又BC=10，BG=6，CG=8，DG=BDBG=15，CD=17，故答案為：177. （2018眉山）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則tanAOD=2【答案】：2【解答】解：如圖，連接BE，四邊形BCEK是正方形，KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK，BF=CF，根據(jù)題意得：ACBK，ACOBKO，KO：CO=BK：AC=1：3，KO：KF=1：2，KO=OF=CF=BF，在RtPBF中，tanBOF=2，AOD=BOF，tanAOD=2故答案為：28. （2018無(wú)錫）已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30°，則ABC的面積等于 【答案】：15或10【解答】解：作ADBC交BC（或BC延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)D，如圖1，當(dāng)AB、AC位于AD異側(cè)時(shí)，在RtABD中，B=30°，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在RtACD中，AC=2，CD=，則BC=BD+CD=6，SABC=BCAD=×6×5=15；如圖2，當(dāng)AB、AC在AD的同側(cè)時(shí)，由知，BD=5，CD=，則BC=BDCD=4，SABC=BCAD=×4×5=10綜上，ABC的面積是15或10，故答案為15或109. （2019浙江湖州4分）有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過(guò)改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來(lái)調(diào)整晾衣桿的高度圖2是支撐桿的平面示意圖，AB和CD分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，夾角BOD若AO85cm，BODO65cm問(wèn)：當(dāng)74°時(shí)，較長(zhǎng)支撐桿的端點(diǎn)A離地面的高度h約為120cm（參考數(shù)據(jù)：sin37°0.6，cos37°0.8，sin53°0.8，cos53°0.6）【答案】120【解答】解：過(guò)O作OEBD，過(guò)A作AFBD，可得OEAF，BODO，OE平分BOD，BOEBOD×74°37°，F(xiàn)ABBOE37°，在RtABF中，AB85+65150cm，hAFABcosFAB150×0.8120cm，故答案為：120三、解答題：10. （2018·湖北荊州·10分）問(wèn)題：已知、均為銳角，tan=，tan=，求+的度數(shù)探究：（1）用6個(gè)小正方形構(gòu)造如圖所示的網(wǎng)格圖（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），請(qǐng)借助這個(gè)網(wǎng)格圖求出+的度數(shù)；延伸：（2）設(shè)經(jīng)過(guò)圖中M、P、H三點(diǎn)的圓弧與AH交于R，求的弧長(zhǎng)【解答】解：（1）連結(jié)AM、MH，則MHP=AD=MC，D=C，MD=HC，ADMMCHAM=MH，DAM=HMCAMD+DAM=90°，AMD+HMC=90°，AMH=90°，MHA=45°，即+=45°（2）由勾股定理可知MH=MHR=45°，=11. （2019湖北十堰7分）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，AD3m，壩高AEDF6m，坡角45°，30°，求BC的長(zhǎng)【分析】過(guò)A點(diǎn)作AEBC于點(diǎn)E，過(guò)D作DFBC于點(diǎn)F，得到四邊形AEFD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AEDF6，ADEF3，解直角三角形即可得到結(jié)論【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AEBC于點(diǎn)E，過(guò)D作DFBC于點(diǎn)F，則四邊形AEFD是矩形，有AEDF6，ADEF3，坡角45°，30°，BEAE6，CFDF6，BCBE+EF+CF6+3+69+6，BC（9+6）m，答：BC的長(zhǎng)（9+6）m12. （2019江蘇宿遷10分）宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車(chē)服務(wù)圖是某品牌共享單車(chē)放在水平地面上的實(shí)物圖，圖是其示意圖，其中AB、CD都與地面l平行，車(chē)輪半徑為32cm，BCD64°，BC60cm，坐墊E與點(diǎn)B的距離BE為15cm（1）求坐墊E到地面的距離；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適小明的腿長(zhǎng)約為80cm，現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置E'，求EE的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin64°0.90，cos64°0.44，tan64°2.05）【分析】（1）作EMCD于點(diǎn)M，由EMECsinBCM75sin46°可得答案；（2）作EHCD于點(diǎn)H，先根據(jù)EC求得EC的長(zhǎng)度，再根據(jù)EECECE可得答案【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EMCD于點(diǎn)M，由題意知BCM64°、ECBC+BE60+1575cm，EMECsinBCM75sin64°67.5（cm），則單車(chē)車(chē)座E到地面的高度為67.5+3299.5（cm）；（2）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)E作EHCD于點(diǎn)H，由題意知EH80×0.864，則EC71，1，EECECE7571.13.9（cm）13. 如圖，已知，在ABC中，ABAC2，sinB，D為邊BC的中點(diǎn)，E為邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且CEBC.連接AE，F(xiàn)為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)求：(1)線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；(2)CAE的正切值【解析】：(1)連接AD.ABAC，D為BC的中點(diǎn)，ADBC，即ADB90°.ABAC2，sinB，.AD4.由勾股定理，得BD2，DCBD2，BC4.CEBC，CE4.DEDCCE246.(2)過(guò)點(diǎn)C作CMAE于點(diǎn)M, 則CMACME90°.在RtADE中，由勾股定理，得AE2.CM2AC2AM2CE2EM2，(2)2AM242(2AM)2，解得AM.CM.tanCAE.15