2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第03講 整式及其因式分解（含解析）

第03講 整式及其因式分解1代數(shù)式及求值 (1)概念：用基本運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式；(2)列代數(shù)式：找出數(shù)量關(guān)系，用表示已知量的字母表示出所求量的過程；(3)代數(shù)式求值：把已知字母的值代入代數(shù)式中，并按原來的運(yùn)算順序計(jì)算求值2整式及有關(guān)概念 (1)單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的_次數(shù)，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)單獨(dú)的數(shù)、字母也是單項(xiàng)式；(2)多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)，一個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)_；(3)整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式；(4)同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)；所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)4整式的運(yùn)算 (1)整式的加減整式加減的實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)的系數(shù)相加，合并為一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)，其法則是：幾個(gè)同類項(xiàng)相加，把它們的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的_指數(shù)_不變(2)整式的乘法單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)一起作為積的一個(gè)因式；單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：m(ab)mamb；多項(xiàng)式×多項(xiàng)式：(ab)(cd)acadbcbd；乘法公式平方差公式：(ab)(ab)_a2b2_；完全平方公式：(a±b)2a2±2abb2(3)整式的除法單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：將系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式；多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加5因式分解 (1)定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)_整式乘積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法互為逆變形(2)因式分解的方法提取公因式法：mambmcm(abc)公因式的確定：(3)因式分解的一般步驟如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么必須先提取公因式；如果各項(xiàng)沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式；為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；分解因式必須分解到不能再分解為止，每個(gè)因式的內(nèi)部不再有括號(hào)，且同類項(xiàng)合并完畢，若有相同因式寫成冪的形式，這樣才算分解徹底；注意因式分解中的范圍：如在有理數(shù)范圍內(nèi)分析解因式時(shí)x44(x22)(x22)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí)x44(x22)(x)(x)，題目不作說明的，表明是在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式考點(diǎn)1： 整式的運(yùn)算【例題1】（2019湖北武漢8分）計(jì)算：（2x2）3x2x4【分析】先算乘方與乘法，再合并同類項(xiàng)即可【解答】解：（2x2）3x2x48x6x67x6歸納：整式的運(yùn)算中需注意以下幾點(diǎn)： (1)冪的乘方轉(zhuǎn)化為指數(shù)乘法運(yùn)算即(a2)3a2×3. (2)同底數(shù)冪的乘法轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算即a2·a3a23. (3)在算積的乘方時(shí)，若底數(shù)中含有數(shù)字，要記住對(duì)數(shù)字也要進(jìn)行乘方 (4)在利用完全平方公式求值時(shí)，通常用到以下幾種變形：a2b2(ab)22ab； a2b2(ab)22ab； (ab)2(ab)24ab； (ab)2(ab)24ab.考點(diǎn)2： 因式分解【例題2】把4a2添上1項(xiàng)或2項(xiàng)，使它能夠進(jìn)行因式分解(1)寫出3個(gè)且要用三種不同的分解方法；(2)若要求能進(jìn)行2步或2步以上分解，如何添加？請(qǐng)寫出一個(gè)即可【解答】解：(1)答案不唯一，例如：4a22a2a(2a1)；4a24a1(2a1)2；4a21(2a1)(2a1)(2)答案不唯一，例如：4a24b24(a2b2)4(ab)(ab)；4a2a4a2(4a2)a2(2a)(2a)；4a28ab4b24(a22abb2)4(ab)2.歸納：公式法分解因式需注意以下幾點(diǎn)： (1)公式中的“a”和“b”也可以是多項(xiàng)式，可將這個(gè)多項(xiàng)式看作一個(gè)整體，分解后注意合并同類項(xiàng)； (2)靈活運(yùn)用多種方法分解因式，其一般順序是：首先提取公因式，然后再考慮用公式，最后結(jié)果一定要分解到不能再分解為止考點(diǎn)3： 整式的綜合運(yùn)用【例題3】)嘉淇準(zhǔn)備完成題目：化簡(jiǎn)：(x26x8)(6x5x22)發(fā)現(xiàn)系數(shù)“”印刷不清楚(1)他把“”猜成3，請(qǐng)你化簡(jiǎn)：(3x26x8)(6x5x22)；(2)他媽媽說：“你猜錯(cuò)了，我看到該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是常數(shù)”通過計(jì)算說明原題中“”是幾？【解析】：(1)(3x26x8)(6x5x22)3x26x86x5x222x26.(2)設(shè)“”是a，則原式(ax26x8)(6x5x22)ax26x86x5x22(a5)x26.標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是常數(shù)，a50.解得a5.歸納：整式的化簡(jiǎn)是指通過去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等將代數(shù)式化為最簡(jiǎn)形式一、選擇題：1. （2019湖南株洲3分）下列各式中，與3x2y3是同類項(xiàng)的是（）A2x5B3x3y2Cx2y3Dy5【答案】C【解答】解：A.2x5與3x2y3不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.3x3y2與3x2y3不是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.x2y3與3x2y3是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)正確；D.y5與3x2y3是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C2. （ 四川樂山，4，3分）下列等式一定成立的是( )A2m+3n=5mnB(m3)2=m6Cm2·m3=m6D(m-n)2=m2-n2【答案】B【解答】解：選項(xiàng)A中的兩項(xiàng)不是同類項(xiàng)，不能合并；選項(xiàng)B是冪的乘方運(yùn)，根據(jù)法則可知是正確的；選項(xiàng)C m2·m3=m5，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，(m-n)2=m2-2mn+n2，錯(cuò)誤，故選擇B3. （2019湖南株洲3分）下列各選項(xiàng)中因式分解正確的是（）Ax21（x1）2Ba32a2+aa2（a2）C2y2+4y2y（y+2）Dm2n2mn+nn（m1）2【答案】D【解答】解：A.x21（x+1）（x1），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.a32a2+aa2（a1），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.2y2+4y2y（y2），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.m2n2mn+nn（m1）2，正確故選：D4. （2018寧波）在矩形ABCD內(nèi)，將兩張邊長(zhǎng)分別為a和b（ab）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2當(dāng)ADAB=2時(shí)，S2S1的值為（）A2a B2b C2a2b D2b【答案】B【解答】S1=（ABa）a+（CDb）（ADa）=（ABa）a+（ABb）（ADa），S2=AB（ADa）+（ab）（ABa），S2S1=AB（ADa）+（ab）（ABa）（ABa）a（ABb）（ADa）=（ADa）（ABAB+b）+（ABa）（aba）=bADabbAB+ab=b（ADAB）=2b故選：B5. （2018紹興）下面是一位同學(xué)做的四道題：（a+b）2=a2+b2，（2a2）2=4a4，a5÷a3=a2，a3a4=a12其中做對(duì)的一道題的序號(hào)是（）ABCD【答案】C【解答】（a+b）2=a2+2ab+b2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；（2a2）2=4a4，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；a5÷a3=a2，正確；a3a4=a7，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：C二、填空題：6. （2019湖南懷化4分）當(dāng)a1，b3時(shí)，代數(shù)式2ab的值等于 【答案】-5【解答】解：當(dāng)a1，b3時(shí)，2ab2×（1）35，故答案為：57. （2018湖北荊州）（3.00分）如圖所示，是一個(gè)運(yùn)算程序示意圖若第一次輸入k的值為125，則第2018次輸出的結(jié)果是5【答案】5【解析】：第1次輸出的結(jié)果是25，第2次輸出的結(jié)果是5，第3次輸出的結(jié)果是1，第4次輸出的結(jié)果是5，第5次輸出的結(jié)果是5，第2n次輸出的結(jié)果是5，第2n+1次輸出的結(jié)果是1（n為正整數(shù)），第2018次輸出的結(jié)果是5故答案為：58. （2019湖北十堰3分）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，則m 【答案】3或4【解答】解：根據(jù)題意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，（2m1）2490，（2m1+7）（2m17）0，2m1+70或2m170，所以m13，m24故答案為3或49. 2019河北4分）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)示例：即4+37則（1）用含x的式子表示m ；（2）當(dāng)y2時(shí)，n的值為 【答案】1【解答】解：（1）根據(jù)約定的方法可得：mx+2x3x；故答案為：3x；（2）根據(jù)約定的方法即可求出nx+2x+2x+3m+ny當(dāng)y2時(shí)，5x+32解得x1n2x+32+31故答案為：1三、解答題：10. 老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了如圖所示的一個(gè)二次三項(xiàng)式，形式如圖：(1)求所捂的二次三項(xiàng)式；(2)若x1，求所捂二次三項(xiàng)式的值解：(1)設(shè)所捂的二次三項(xiàng)式為A，根據(jù)題意，得Ax25x13xx22x1.(2)當(dāng)x1時(shí)，A(x1)2()26.11. （2018邵陽）先化簡(jiǎn)，再求值：（a2b）（a+2b）（a2b）2+8b2，其中a=2，b=【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)與b的值代入計(jì)算即可求出值【解答】：原式=a24b2a2+4ab4b2+8b2=4ab，當(dāng)a=2，b=時(shí)，原式=412. 在一次數(shù)學(xué)課上，李老師對(duì)大家說：“你任意想一個(gè)非零數(shù)，然后按下列步驟操作，我會(huì)直接說出你運(yùn)算的最后結(jié)果”(1)若小明同學(xué)心里想的是數(shù)5，請(qǐng)幫他計(jì)算出最后結(jié)果；(2)老師說：“同學(xué)們，無論你們心里想的是什么非零數(shù)，按照以上步驟進(jìn)行操作，得到的最后結(jié)果都相等”小明同學(xué)想驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，于是，設(shè)心里想的數(shù)是a(a0)，請(qǐng)你幫小明完成這個(gè)驗(yàn)證過程解：(1)第一步：(51)2(51)220；第二步：20×25500；第三步：500÷5100.小明計(jì)算出最后結(jié)果為100.(2)(a1)2(a1)2×25÷a(a1a1)(a1a1)×25÷a4a×25÷a100，結(jié)論成立13. 如圖，已知大正方形的邊長(zhǎng)為abc，利用圖形的面積關(guān)系可得：(abc)2a2b2c22ab2bc2ac.當(dāng)大正方形的邊長(zhǎng)為abcd時(shí)，利用圖形的面積關(guān)系可得：(abcd)2a2b2c2d22ab2ac2ad2bc2bd2cd.一般地，n個(gè)數(shù)的和的平方等于這n個(gè)數(shù)的平方和加上它們兩兩乘積的2倍根據(jù)以上結(jié)論解決下列問題：(1)若abc6，a2b2c214，則abbcac11；(2)從4，2，1，3，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)相乘，再把所有的積相加，若和為m，求m的值解：421351，兩邊平方后得(42135)2(4)2(2)2(1)232522m552m1.m(155)÷254÷227.14. 如圖，已知大正方形的邊長(zhǎng)為abc，利用圖形的面積關(guān)系可得：(abc)2a2b2c22ab2bc2ac.當(dāng)大正方形的邊長(zhǎng)為abcd時(shí)，利用圖形的面積關(guān)系可得：(abcd)2a2b2c2d22ab2ac2ad2bc2bd2cd.一般地，n個(gè)數(shù)的和的平方等于這n個(gè)數(shù)的平方和加上它們兩兩乘積的2倍根據(jù)以上結(jié)論解決下列問題：(1)若abc6，a2b2c214，則abbcac11；(2)從4，2，1，3，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)相乘，再把所有的積相加，若和為m，求m的值解：421351，兩邊平方后得(42135)2(4)2(2)2(1)232522m552m1.m(155)÷254÷227.9