2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員 第09講 不等式（組）及其應(yīng)用（含解析）

第9講不等式(組)及其應(yīng)用1不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號方向不改變；如果ab，那么a±c>b±c；性質(zhì)2：不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號方向不改變；如果ab，c0，那么ac>bc，>；性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變；如果ab，c0，那么ac<bc，< .2一元一次不等式 (1)定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，且不等式左右兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式 (2)解一元一次不等式的一般步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1(注意不等號方向是否改變) (3)解集在數(shù)軸上表示：畫數(shù)軸定邊界定方向xaxaxaxa3.一元一次不等式組 (1)定義：一般地，關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個不等式聯(lián)立在一起，就組成了一個一元一次不等式組(2)一元一次不等式組的解集：組成一元一次不等式組的幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集 注意：不等式的解可以是一個或多個數(shù)值，而不等式組的解集是包含所有使不等式成立的解的集合 (3)解一元一次不等式組的步驟：分別解每個一元一次不等式；在數(shù)軸上表示各不等式的解集；確定各不等式解集的公共部分；得到不等式組的解集；(4)幾種常見的不等式組的解集(a>b，且a、b為常數(shù))：不等式組(a>b)圖示解集口訣xa同大取大xb同小取小axb大小、小大中間找無解小小、大大找不到4.一元一次不等式的應(yīng)用 (1)列不等式解應(yīng)用題的基本步驟：審題；設(shè)元；找出能夠包含未知數(shù)的不等量關(guān)系；列出不等式；解不等式；在不等式的解中找出符合題意的未知數(shù)的值；寫出答案(2)列不等式解應(yīng)用題涉及的題型常與方案設(shè)計型問題相聯(lián)系，如最大利潤、最優(yōu)方案等，一般所求問題中有“至少()”、“最多()”、“不低于()”、“超過()”、“不大于()”等詞，要正確理解這些詞的含義考點(diǎn)1：解一元一次不等式【例題1】（2018廣西桂林）（6.00分）解不等式x+1，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來【解析】：去分母，得：5x13x+3，移項(xiàng)，得：5x3x3+1，合并同類項(xiàng)，得：2x4，系數(shù)化為1，得：x2，將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：歸納：1. 本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握解不等式的步驟：去分母；去括號；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；化系數(shù)為1；2將不等式(組)的解集直觀地表示在數(shù)軸上，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想；3在畫圖時，先確定邊界點(diǎn)，解集包含邊界點(diǎn)，則邊界點(diǎn)是實(shí)心圓點(diǎn)；解集不包含邊界點(diǎn)，則邊界點(diǎn)是空心圓圈，再確定方向(大向右，小向左)考點(diǎn)2：解一元一次不等式組【例題2】(2018·自貢)解不等式組并在數(shù)軸上表示其解集【解答】解：解不等式，得x2.解不等式，得x1.不等式組的解集為1x2.將其表示在數(shù)軸上，如圖所示歸納：在數(shù)軸上表示解集時，大于號向右，小于號向左，有等號的用實(shí)心圓點(diǎn)，無等號的用空心圓圈 (1)在解不等式的過程注意不等式性質(zhì)3的使用，即給不等式兩邊同時乘以(或除以)一個負(fù)數(shù)，不等號要改變方向；(2)求不等式組的整數(shù)解時，“實(shí)心”點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)如果是整數(shù)，則該點(diǎn)也是所求整數(shù)解，如果不是整數(shù)，要從離該點(diǎn)最近的整數(shù)點(diǎn)開始算起；“空心”點(diǎn)所在的實(shí)數(shù)如果是整數(shù)，則該點(diǎn)不是整數(shù)解，如果不是整數(shù)，則要從解集中離該點(diǎn)最近的整數(shù)點(diǎn)開始算起考點(diǎn)3：一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例題3】（2019湖南益陽10分）為了提高農(nóng)田利用效益，某地由每年種植雙季稻改為先養(yǎng)殖小龍蝦再種植一季水稻的“蝦稻”輪作模式某農(nóng)戶有農(nóng)田20畝，去年開始實(shí)施“蝦稻”輪作，去年出售小龍蝦每千克獲得的利潤為32元（利潤售價成本）由于開發(fā)成本下降和市場供求關(guān)系變化，今年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本下降25%，售價下降10%，出售小龍蝦每千克獲得利潤為30元（1）求去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價；（2）該農(nóng)戶今年每畝農(nóng)田收獲小龍蝦100千克，若今年的水稻種植成本為600元/畝，稻谷售價為25元/千克，該農(nóng)戶估計今年可獲得“蝦稻”輪作收入不少于8萬元，則稻谷的畝產(chǎn)量至少會達(dá)到多少千克？【分析】（1）設(shè)去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為x元、y元，由題意列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)今年稻谷的畝產(chǎn)量為z千克，由題意列出不等式，就不等式即可【解答】解：（1）設(shè)去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為x元、y元，由題意得：，解得：；答：去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為8元、40元；（2）設(shè)今年稻谷的畝產(chǎn)量為z千克，由題意得：20×100×30+20×2.5z20×60080000，解得：z640；答：稻谷的畝產(chǎn)量至少會達(dá)到640千克歸納：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用；根據(jù)題意列出方程組或不等式是解題的關(guān)鍵歸納總結(jié)：1.利用不等式(組)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是要抓住題目中表示不等關(guān)系的語句，列出不等式，問題的答案不僅要根據(jù)解集，還要根據(jù)使實(shí)際問題有意義確定2在利用不等式組解決實(shí)際問題中的方案選擇、優(yōu)化設(shè)計以及最大利潤等問題時，為防止漏解和便于比較，我們常用分類討論的思想方法，對方案的優(yōu)劣進(jìn)行探討考點(diǎn)4：一元一次不等式與其它知識的綜合應(yīng)用【例題4】(2018·河北中考預(yù)測)如圖，在數(shù)軸上有A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為3，點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)為t，若CD4，且在數(shù)軸上移動(1)若2AB表示的數(shù)始終位于點(diǎn)A的左側(cè)，求a的取值范圍，并把解集表示在數(shù)軸上；(2)當(dāng)t為何值，且是整數(shù)時，點(diǎn)B落在C，D兩點(diǎn)之間【解析】：(1)AB3a，2AB表示的數(shù)始終位于點(diǎn)A的左側(cè)，2(3a)<a，解得a>2.a<3，a的取值范圍為2<a<3.在數(shù)軸上表示如圖(2)CD4，且當(dāng)點(diǎn)B落在C，D兩點(diǎn)之間，解得3<t<7.t是整數(shù)，t可以取4，5或6.一、選擇題：1. (2019甘肅省隴南市)（3分）不等式2x+93（x+2）的解集是（）Ax3Bx3Cx3Dx3【答案】A【解答】解：去括號，得2x+93x+6，移項(xiàng)，合并得x3系數(shù)化為1，得x3；故選：A2. （2018湖北荊門3分）已知關(guān)于x的不等式3xm+10的最小整數(shù)解為2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A4m7B4m7C4m7D4m7【答案】A【解答】解：解不等式3xm+10，得：x，不等式有最小整數(shù)解2，12，解得：4m7，故選：A3. （2018山東濱州3分）把不等式組中每個不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示出來，正確的為（）ABCD【答案】B【解答】解：解不等式x+13，得：x2，解不等式2x64，得：x1，將兩不等式解集表示在數(shù)軸上如下：故選：B4. （2019湖南懷化4分）為了落實(shí)精準(zhǔn)扶貧政策，某單位針對某山區(qū)貧困村的實(shí)際情況，特向該村提供優(yōu)質(zhì)種羊若干只在準(zhǔn)備配發(fā)的過程中發(fā)現(xiàn)：公羊剛好每戶1只；若每戶發(fā)放母羊5只，則多出17只母羊，若每戶發(fā)放母羊7只，則有一戶可分得母羊但不足3只這批種羊共（）只A55B72C83D89【答案】C【解答】解：設(shè)該村共有x戶，則母羊共有（5x+17）只，由題意知，解得：x12，x為整數(shù)，x11，則這批種羊共有11+5×11+1783（只），故選：C5. 2018·臺灣·分）如圖的宣傳單為菜克印刷公司設(shè)計與印刷卡片計價方式的說明，妮娜打算請此印刷公司設(shè)計一款母親節(jié)卡片并印刷，她再將卡片以每張15元的價格販?zhǔn)廴衾麧櫟扔谑杖肟鄣舫杀?，且成本只考慮設(shè)計費(fèi)與印刷費(fèi)，則她至少需印多少張卡片，才可使得卡片全數(shù)售出后的利潤超過成本的2成？（）A112 B121 C134 D143【答案】C【解答】解：設(shè)妮娜需印x張卡片，根據(jù)題意得：15x10005x0.2（1000+5x），解得：x133，x為整數(shù)，x134答：妮娜至少需印134張卡片，才可使得卡片全數(shù)售出后的利潤超過成本的2成故選：C二、填空題：6. （2018江蘇揚(yáng)州3分）不等式組的解集為 【答案】3x【解答】解：解不等式3x+15x，得：x，解不等式2，得：x3，則不等式組的解集為3x，故答案為：3x7. （2019貴州省銅仁市4分）如果不等式組的解集是xa4，則a的取值范圍是 【答案】a3【解答】解：解這個不等式組為xa4，則3a+2a4，解這個不等式得a38. （2017山東煙臺）運(yùn)行程序如圖所示，從“輸入實(shí)數(shù)x”到“結(jié)果是否18”為一次程序操作，若輸入x后程序操作僅進(jìn)行了一次就停止，則x的取值范圍是 【答案】：x8【解答】解：依題意得：3x618，解得x8故答案是：x8三、解答題：9. 解不等式組，并求出其最小整數(shù)解解：令：，解不等式得x>2，解不等式得x1，不等式兩邊同乘以得x.原不等式組的解集為2<x.原不等式組的最小整數(shù)解是110. 甲、乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實(shí)驗(yàn)器材若甲單獨(dú)整理需要40分鐘完工；若甲、乙共同整理20分鐘后，乙需再單獨(dú)整理20分鐘才能完工(1)問乙單獨(dú)整理多少分鐘完工？(2)若乙因工作需要，他的整理時間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【解析】：(1)設(shè)乙單獨(dú)整理x分鐘完工，根據(jù)題意，得1.解得x80.經(jīng)檢驗(yàn)，x80是原分式方程的解，且符合題意答：乙單獨(dú)整理80分鐘完工(2)設(shè)甲整理y分鐘，根據(jù)題意，得1.解得y25.答：甲至少整理25分鐘才能完工.11. (2018·唐山豐潤區(qū)一模)小明解不等式1的過程如圖請指出他解答過程中錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過程解：去分母，得3(1x)2(2x1)1.去括號，得33x4x11. 移項(xiàng)，得3x4x131.合并同類項(xiàng)，得x3.兩邊都除以1，得x3.【解析】：錯誤的是，正確解答過程如下：去分母，得3(1x)2(2x1)6.去括號，得33x4x26.移項(xiàng)，得3x4x632.合并同類項(xiàng)，得x5.兩邊都除以1，得x5.12. （2019四川省涼山州10分）根據(jù)有理數(shù)乘法（除法）法則可知：若ab0（或0），則或；若ab0（或0），則或根據(jù)上述知識，求不等式（x2）（x+3）0的解集解：原不等式可化為：（1）或（2）由（1）得，x2，由（2）得，x3，原不等式的解集為：x3或x2請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料解答下列問題：（1）不等式x22x30的解集為1x3（2）求不等式0的解集（要求寫出解答過程）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則可得不等式組，仿照有理數(shù)乘法運(yùn)算法則得出兩個不等式組，分別求解可得（2）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則可得不等式組，仿照有理數(shù)除法運(yùn)算法則得出兩個不等式組，分別求解可得【解答】解：（1）原不等式可化為：或由得，空集，由得，1x3，原不等式的解集為：1x3，故答案為：1x3（2）由0知或，解不等式組，得：x1；解不等式組，得：x4；所以不等式0的解集為x1或x413. (2018·郴州)郴州市正在創(chuàng)建“全國文明城市”，某校擬舉辦“創(chuàng)文知識”搶答賽，欲購買A、B兩種獎品以鼓勵搶答者如果購買A種20件，B種15件，共需380元；如果購買A種15件，B種10件，共需280元(1)A、B兩種獎品每件各多少元？(2)現(xiàn)要購買A、B兩種獎品共100件，總費(fèi)用不超過900元，那么A種獎品最多購買多少件？【分析】(1)設(shè)A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，根據(jù)“如果購買A種20件，B種15件，共需380元；如果購買A種15件，B種10件，共需280元”，列方程組求解可得；(2)設(shè)A種獎品購買a件，則B種獎品購買(100a)件，根據(jù)總價單價×購買數(shù)量結(jié)合總費(fèi)用不超過900元列不等式，解之取其中最大的整數(shù)即可得出結(jié)論【解答】解：(1)設(shè)A種獎品每件x元，B種獎品每件y元，根據(jù)題意，得解得答：A種獎品每件16元，B種獎品每件4元(2)設(shè)A種獎品購買a件，則B種獎品購買(100a)件，根據(jù)題意，得16a4(100a)900.解得a.a為整數(shù)，a41.答：A種獎品最多購買41件14. （2019山東省聊城市8分）某商場的運(yùn)動服裝專柜，對A，B兩種品牌的運(yùn)動服分兩次采購試銷后，效益可觀，計劃繼續(xù)采購進(jìn)行銷售已知這兩種服裝過去兩次的進(jìn)貨情況如下表：第一次第二次A品牌運(yùn)動服裝數(shù)/件2030B品牌運(yùn)動服裝數(shù)/件3040累計采購款/元1020014400（1）問A，B兩種品牌運(yùn)動服的進(jìn)貨單價各是多少元？（2）由于B品牌運(yùn)動服的銷量明顯好于A品牌，商家決定采購B品牌的件數(shù)比A品牌件數(shù)的倍多5件，在采購總價不超過21300元的情況下，最多能購進(jìn)多少件B品牌運(yùn)動服？【分析】（1）直接利用兩次采購的總費(fèi)用得出等式進(jìn)而得出答案；（2）利用采購B品牌的件數(shù)比A品牌件數(shù)的倍多5件，在采購總價不超過21300元，進(jìn)而得出不等式求出答案【解答】解：（1）設(shè)A，B兩種品牌運(yùn)動服的進(jìn)貨單價各是x元和y元，根據(jù)題意可得：，解得：，答：A，B兩種品牌運(yùn)動服的進(jìn)貨單價各是240元和180元；（2）設(shè)購進(jìn)A品牌運(yùn)動服m件，購進(jìn)B品牌運(yùn)動服（m+5）件，則240m+180（m+5）21300，解得：m40，經(jīng)檢驗(yàn)，不等式的解符合題意，m+5×40+565，答：最多能購進(jìn)65件B品牌運(yùn)動服11