2020年中考數(shù)學(xué)考點總動員 第15講 三角形及其基本性質(zhì)（含解析）

第15講三角形及其基本性質(zhì)【考點梳理】1三角形的分類(1)按邊分類(2)按角分類2三角形的基本性質(zhì) (1)內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°； (2)內(nèi)外角關(guān)系： 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角_大于_任何一個與它不相鄰的內(nèi)角 (3)三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和_大于_第三邊；任意兩邊之差_小于第三邊；3三角形中的重要線段 (1)角平分線：如圖，線段AD平分BAC，則AD是ABC的一條角平分線 內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點它到各邊的距離相等 (2)中線：如圖，E是線段BC的中點，則線段AE是ABC的一條中線， 重心：三角形三條中線的交點(3)高：如圖，AFBC，則線段AF是ABC的高線 垂心：三條高線的交點 (4)中位線：連接三角形兩邊中點的一段，叫做三角形的中位線 中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半. (5)垂直平分線：如圖，點D是BC的中點，DEBC，則DE是ABC的一條垂直平分線 外心：三條垂直平分線的交點，它到各頂點的距離相等；銳角三角形的外心在形內(nèi)，鈍角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜邊中點4命題 (1)命題：判斷一件事情的語句叫做命題命題分為題設(shè)和結(jié)論兩部分題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項 (2)真命題和假命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；如果題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題 (3)互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是另一個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是另一個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題. 【高頻考點】考點1： 三角形三邊關(guān)系【例題1】（2019浙江麗水3分）若長度分別為a，3，5的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（）A1B2C3D8【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出53a5+3，求出即可【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：53a5+3，即2a8，即符合的只有3，故選：C歸納：三角形的三邊關(guān)系是判斷三條線段能否組成三角形的判定標(biāo)準(zhǔn)，三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊考點2： 三角形重要線段的計算與應(yīng)用【例題2】如圖，CD，CE，CF分別是ABC的高、角平分線、中線(1)有四種說法：BA2BF；ACEACB；AEBE；CDAB，則錯誤的說法是；(2)若A72°，ABC28°，求DCE；(3)BG是ABC的高，A72°，求DHB；(4)若M是BC的中點，若A90°，AB16，BC20，求FM的長【分析】(1)由三角形高線，角平分線，中線的定義進行判斷即可；(2)先由A，ABC可求ACB，由CE是角平分線，可求得ACE，從而可利用ACE和ACD作差可解決問題；(3)由四邊形內(nèi)角和是360°，可求得DHG，由互補可求得DHB；(4)由勾股定理求AC，由中位線定理求AC.【解答】解：(2)A72°，ABC28°，ACB80°.CE是ABC的角平分線，ACEBCE40°.A72°，CD是ABC的高，ACD18°.DCEACEACD22°.(3)BG是ABC的高，CD是ABC的高，ADCAGH90°.AADCDHGAGH360°，DHG108°.DHB180°DHG72°.(4)A90°，AB16，BC20，AC12.FM是ABC的中位線，F(xiàn)MAC6.歸納：中線和中位線是易混淆的兩個概念，中線是連接頂點與對邊中點之間的線段，中位線是連接兩邊中點之間的線段，中線把三角形面積等分，中位線把三角形面積分為13.考點3： 三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例題3】如圖：已知ABCD，ABE與CDE兩個角的角平分線相交于F（1）如圖1，若E=80°，求BFD的度數(shù)（2）如圖2：若寫出M和E之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論（3）若設(shè)Em°,直接用含有n、m°的代數(shù)式寫出M(不寫過程)【分析】（1）首先作EGAB，F(xiàn)HAB，利用平行線的性質(zhì)可得ABE+CDE=280°，再利用角平分線的定義得到ABF+CDF=140°，從而得到BFD的度數(shù)；（2）先由已知得到ABE=6ABM，CDE=6CDM，由（1）得ABE+CDE=360°-E，M=ABM+CDM，等量代換，即可得；（3）由（2）的方法可得到2nM+E=360°，將E=m°代入可得M=.【解析】（1）作EGAB，F(xiàn)HAB，ABCD，EGABFHCD，ABF=BFH，CDF=DFH，ABE+BEG=180°，GED+CDE=180°，ABE+BEG+GED+CDE=360°，BED=BEG+DEG=80°，ABE+CDE=280°，ABF和CDF的角平分線相交于E，ABF+CDF=140°，BFD=BFH+DFH=140°；（2）ABM=ABF，CDM=CDF，ABF=3ABM，CDF=3CDM，ABE與CDE兩個角的角平分線相交于點F，ABE=6ABM，CDE=6CDM，6ABM+6CDM+E=360°，M=ABM+CDM，6M+E=360°；（3）由（2）的結(jié)論可得，2nABN+2nCDM+E=360°，M=ABM+CDM，解得：M=，故答案為：.【自我檢測】一、選擇題：1. （2018·吉林長春·3分）如圖，在ABC中，CD平分ACB交AB于點D，過點D作DEBC交AC于點E若A=54°，B=48°，則CDE的大小為（）A44°B40°C39°D38°【答案】C【解答】解：A=54°，B=48°，ACB=180°54°48°=78°，CD平分ACB交AB于點D，DCB=78°=39°，DEBC，CDE=DCB=39°，故選：C2. （2018長沙）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A4cm，5cm，9cmB8cm，8cm，15cmC5cm，5cm，10cmD6cm，7cm，14cm【答案】B【解答】A、5+4=9，9=9，該三邊不能組成三角形，故此選項錯誤；B、8+8=16，1615，該三邊能組成三角形，故此選項正確；C、5+5=10，10=10，該三邊不能組成三角形，故此選項錯誤；D、6+7=13，1314，該三邊不能組成三角形，故此選項錯誤；故選：B3. （2019黑龍江省齊齊哈爾市3分）如圖，直線ab，將一塊含30°角（BAC30°）的直角三角尺按圖中方式放置，其中A和C兩點分別落在直線a和b上若120°，則2的度數(shù)為（）A20°B30°C40°D50°【答案】C【解答】解：直線ab，1+BCA+2+BAC180°，BAC30°，BCA90°，120°，240°故選：C4. （2018長春）如圖，在ABC中，CD平分ACB交AB于點D，過點D作DEBC交AC于點E若A=54°，B=48°，則CDE的大小為（）A44° B40° C39° D38°【答案】C【解答】A=54°，B=48°，ACB=180°54°48°=78°，CD平分ACB交AB于點D，DCB=78°=39°，DEBC，CDE=DCB=39°，故選：C5. （2019江蘇泰州3分）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點A.B.C.D.E.F、G在小正方形的頂點上，則ABC的重心是（）A點DB點EC點FD點G【答案】A【解答】解：根據(jù)題意可知，直線CD經(jīng)過ABC的AB邊上的中線，直線AD經(jīng)過ABC的BC邊上的中線，點D是ABC重心故選：A二、填空題：6. （2018湖南郴州）（3.00分）一個正多邊形的每個外角為60°，那么這個正多邊形的內(nèi)角和是 【答案】720°【解答】這個正多邊形的邊數(shù)為=6，所以這個正多邊形的內(nèi)角和=（62）×180°=720°故答案為720°7. 若三角形的周長是60cm，且三條邊的比為3：4：5，則三邊長分別為15，20，25【答案】15，20，25【解答】解：三角形的三邊長的比為3：4：5，設(shè)三角形的三邊長分別為3x，4x，5x其周長為60cm，3x+4x+5x=60，解得x=5，三角形的三邊長分別是15，20，25，故答案為：15，20，258. （2018白銀）已知a，b，c是ABC的三邊長，a，b滿足|a7|+（b1）2=0，c為奇數(shù)，則c= 【答案】7【解答】解：a，b滿足|a7|+（b1）2=0，a7=0，b1=0，解得a=7，b=1，71=6，7+1=8，6c8，又c為奇數(shù)，c=7，故答案是：79. （2018·遼寧省撫順市）將兩張三角形紙片如圖擺放，量得1+2+3+4=220°，則5=40°【答案】40°【解答】解：如圖所示：1+2+6=180°，3+4+7=180°，1+2+3+4=220°，1+2+6+3+4+7=360°，6+7=140°，5=180°（6+7）=40°故答案為：40°三、解答題：10. 如圖，在ABC中，點D為邊AC的中點，且DBBC，BC4，CD5.(1)求DB的長；(2)在ABC中，求邊BC上的高【解析】：(1)DBBC，DBC90°.在RtDBC中，BC4，CD5，DB3.(2)過A作AEBC交線段CB延長線于點E，則AEDB.點D為AC的中點，DB為ACE的中位線AE2DB6.邊BC上的高為6.11. 如圖，在ABC中，ABC=40°，ACB=80°，AD是BC邊上的高，AE平分BAC（1）求BAE的度數(shù)；（2）求DAE的度數(shù)【分析】（1）由ABC、ACB的度數(shù)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可求出BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出BAE的度數(shù)；（2）利用三角形的外角性質(zhì)可求出AEB的度數(shù)，結(jié)合ADE=90°即可求出DAE的度數(shù)【解答】解：（1）ABC=40°，ACB=80°，BAC=180°ABCACB=60°AE平分BAC，BAE=BAC=30°（2）CAE=BAE=30°，ACB=80°，AEB=CAE+ACB=110°，AD是BC邊上的高，ADE=90°，DAE=AEBADE=20°12. 如圖，D是ABC邊BA延長上一點(1)若BC3，AC6，則AB的長在什么范圍？若AC6，則ABC的周長可能是( )A8 B10 C12 D14(2)若CAB36°，BACB，則ACB72°；若CABBACB357，求CAD的度數(shù)；若CE是ABC的角平分線，CADCEA，BCA80°，求CEA的度數(shù)【點撥】(1)可利用三角形三邊大小關(guān)系來解；(2)可利用三角形內(nèi)角和為180°，通過方程(組)來求解；設(shè)每份為x，利用三角形內(nèi)角和，求出CAB，再利用互補求CAD；需要利用外角與內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合已知條件求解【解答】解：(1)由三角形任意兩邊和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可得，ACBCABBCAC，所以3AB9.(2)CABBACB357，設(shè)CAB3x°，B5x°，ACB7x°.CABBACB180°，3x5x7x180，解得x12.CAB36°.CAD180°CAB144°.CADCEAECA，CADCEA，CEA3ECA.CE是ABC的角平分線，CEABCA120°.13. （2019河北省9分）如圖，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側(cè)，I為APC的內(nèi)心（1）求證：BADCAE；（2）設(shè)APx，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當(dāng)ABAC時，AIC的取值范圍為m°AICn°，分別直接寫出m，n的值【解答】解：（1）在ABC和ADE中，（如圖1）ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x當(dāng)ADBC時，APAB3最小，即PD633為PD的最大值（3）如圖2，設(shè)BAP，則APC+30°，ABACBAC90°，PCA60°，PAC90°，I為APC的內(nèi)心AI、CI分別平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC180°（IAC+ICA）180°（PAC+PCA）180°（90°+60°）+105°090°，105°+105°150°，即105°AIC150°，m105，n150 14. 如圖1，在ABC中，CD，CE分別是ABC的高和角平分線，BAC，B()圖1圖2圖3(1)若BAC70°，B40°，求DCE的度數(shù)；(2)若BAC，B()，則DCE(用含，的代數(shù)式表示)；(3)若將ABC換成鈍角三角形，如圖2，其他條件不變，試用，的代數(shù)式表示DCE的度數(shù)并說明理由；(4)如圖3，若CE是ABC外角ACF的平分線，交BA的延長線于點E.且30°，則DCE75°(直接寫出結(jié)果)【解析】：(1)BAC70°，B40°，ACB180°(BACB)70°.又CE是ACB的平分線，ACEACB35°.CD是高線，ADC90°.ACD90°BAC20°.DCEACEACD15°.(3)DCE()理由：ACB180°(BACB)180°()，CE是ACB的平分線，ACEACB90°()CD是高線，ADC90°.ACDBAC90°90°.DCEACEACD90°()90°()13