2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員 第05講 二次根式（含解析）

第05講 二次根式 1．二次根式的概念 一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式． 二次根式有意義的條件：_a≥0 ． 2．二次根式的性質(zhì) 3．最簡二次根式 必須滿足兩個條件 4．同類二次根式 幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式． 5．二次根式的運(yùn)算 (1)加減法：先將二次根式化為最簡二次根式，再將同類二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算． (2)乘法：·＝； (3)除法：＝__． 6．二次根式的估值 二次根式的估算，一般是對根式平方，找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個開得盡方的整數(shù)，對其進(jìn)行開方，就可以確定這個根式在哪兩個整數(shù)之間. 【高頻考點(diǎn)】 考點(diǎn)1：二次根式的概念 【例題1】（廣東省廣州市，12，3分）代數(shù)式有意義時，實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ． 【答案】x≤9 【提示】要使二次根式有意義，只需滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可．通過解不等式，即得實(shí)數(shù)x的取值范圍． 【解答】解：∵代數(shù)式有意義，∴9－x≥0，解得x≤9．故答案為x≤9． 歸納：式子 (a≥0)叫做二次根式．(a≥0)；|a|；a2；是初中階段常見的非負(fù)數(shù)形式，若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個數(shù)均為0，據(jù)此可求某些字母的值． 考點(diǎn)2:二次根式的運(yùn)算 【例題2】（江蘇鹽城，19（2），4分）計(jì)算： (3－)(3＋)＋(2－)． 【提示】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的運(yùn)算法則和乘法公式，先根據(jù)平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則分別進(jìn)行運(yùn)算，再化簡． 【解答】解：原式＝2+2－2＝2． 點(diǎn)撥：二次根式的運(yùn)算，若是加減運(yùn)算時，先將每一項(xiàng)化為最簡二次根式，然后再將被開方數(shù)相同的二次根式合并；若是乘除運(yùn)算時，先將被開方數(shù)相乘或相除，再將所得的數(shù)開方并化為最簡二次根式；若是混合運(yùn)算時，按照先乘除，后加減，有括號的先算括號里面的順序進(jìn)行計(jì)算，同時注意運(yùn)算的結(jié)果必須是最簡二次根式． 考點(diǎn)3：二次根式與其它知識的綜合應(yīng)用 【例題:3】（2018?棗莊）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，則該三角形的面積為S=．現(xiàn)已知△ABC的三邊長分別為1，2，，則△ABC的面積為　 　． 【答案】1 【解析】：∵S=， ∴△ABC的三邊長分別為1，2，，則△ABC的面積為： S==1， 故答案為：1． 【自我檢測】 一、選擇題： 1. （2018?揚(yáng)州）使有意義的x的取值范圍是（　?。? A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3 【答案】C 解：由題意，得 x﹣3≥0， 解得x≥3， 故選：C． 2. （2018?綿陽）等式=成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解答】由題意可知： 解得：x≥3 故選：B． 3. (2019?湖南益陽?4分)下列運(yùn)算正確的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：選項(xiàng)A、＝2，故本選項(xiàng)錯誤； 選項(xiàng)B、，故本選項(xiàng)錯誤； 選項(xiàng)C、與不是同類二次根式，不能合并，故本選項(xiàng)錯誤； 選項(xiàng)D、根據(jù)二次根式乘法運(yùn)算的法則知本選項(xiàng)正確． 故選D． 4. （2019?湖南湘西州?4分）下面是一個簡單的數(shù)值運(yùn)算程序，當(dāng)輸入x的值為16時，輸出的數(shù)值為　3?。ㄓ每茖W(xué)計(jì)算器計(jì)算或筆算）． 【答案】3 【解答】解：解：由題圖可得代數(shù)式為． 當(dāng)x＝16時，原式＝÷2+1＝4÷2+1＝2+1＝3． 故答案為：3 5. (2019?湖北宜昌?3分)古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記p＝，那么三角形的面積為S＝．如圖，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別記為a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，則△ABC的面積為( ) A．6 B．6 C．18 D． 【答案】A 【解答】解：∵a＝7，b＝5，c＝6． ∴p＝＝9， ∴△ABC的面積S＝＝6； 故選：A． 二、填空題： 6. 化簡=　x?。▁≥0） 【答案】x 解析：原式==x． 故答案為：x 7. （2018?廣州）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，化簡：a+=　 　． 【答案】2 【解答】由數(shù)軸可得： 0＜a＜2， 則a+ =a+ =a+（2﹣a） =2． 故答案為：2． 8. （2018·廣東廣州·3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，化簡： =________ 【答案】2 【解析】解：由數(shù)軸可知： 0<a<2， ∴a-2<0， ∴原式=a+ =a+2-a=2. 故答案為：2. 9. （2019，山東棗莊，4分）觀察下列各式： ＝1+＝1+（1﹣）， ＝1+＝1+（﹣）， ＝1+＝1+（﹣）， … 請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算： +++…+， 其結(jié)果為　?。? 【答案】2018． 【解答】解：+++…+ ＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣） ＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣ ＝2018， 故答案為：2018． 三、解答題： 10. (2018·徐州)已知x＝＋1，求x2－2x－3的值． 解：原式＝(x－3)(x＋1)，將x＝＋1代入到上式，則可得， 原式＝(＋1－3)×(＋1＋1)＝(－2)×(＋2)＝－1. 11. 2018?陜西）計(jì)算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0 解：原式=+﹣1+1 =3+﹣1+1 =4． 12. 小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均為整數(shù))，則有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，所以a＝m2＋2n2，b＝2mn，這樣小明就找到了一種把部分a＋b的式子化為平方式的方法． 請你仿照小明的方法探索并解決下列問題： (1)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝ ，b＝ ； (2)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值． 解：由題意，得 ∵4＝2mn，且m，n為正整數(shù)， ∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2. ∴a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13. 7