2年中考1年模擬備戰(zhàn)2018年中考數(shù)學(xué) 第一篇 數(shù)與式 專題05 二次根式（含解析）

第一篇 數(shù)與式專題05 二次根式解讀考點知識點名師點晴二次根式的有關(guān)概念1二次根式：式子 叫做二次根式二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或等于0.2最簡二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號）；（2）被開方數(shù)中不含開方開得盡的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.3同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式先把所有的二次根式化成最簡二次根式；再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加以判斷要注意同類二次根式與根號外的因式無關(guān)二次根式的性質(zhì)（1） 0（0）；（2）（3）（4）（5） 要熟練掌握被開方數(shù)是非負(fù)數(shù) 二次根式的運算（1）二次根式的加減法（2）二次根式的乘除法二次根式的乘法：（a0，b0）二次根式的除法：（a0，b0）1. 二次根式的加減法就是把同類二次根式進行合并；2. 二次根式的乘除法要注意運算的準(zhǔn)確性2年中考【2017年題組】一、選擇題1（2017內(nèi)蒙古包頭市）下列說法中正確的是（）A8的立方根是±2B是一個最簡二次根式C函數(shù)的自變量x的取值范圍是x1D在平面直角坐標(biāo)系中，點P（2，3）與點Q（2，3）關(guān)于y軸對稱【答案】D【解析】點睛：本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式考點：1最簡二次根式；2立方根；3函數(shù)自變量的取值范圍；4關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)2（2017四川省瀘州市）已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積問題，中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進行過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年）給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶（約12021261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=，若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則其面積是（）ABCD【答案】B【解析】點睛：本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角形的面積考點：二次根式的應(yīng)用3（2017山東省日照市）式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是（）Aa1Ba2Ca1且a2Da2【答案】C【解析】試題分析：式子有意義，則a+10，且a20，解得：a1且a2故選C考點：二次根式有意義的條件4（2017濟寧）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x滿足的條件是（）AxBxCx=Dx【答案】C【解析】試題分析：由題意可知：，解得：x=.故選C點睛：本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型考點：二次根式有意義的條件5（2017濱州）下列計算：（1），（2）2，（3），（4），其中結(jié)果正確的個數(shù)為（）A1B2C3D4【答案】D【解析】考點：二次根式的混合運算6（2017江蘇省淮安市）下列式子為最簡二次根式的是（）ABCD【答案】A【解析】試題分析：A被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故A符合題意；B被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故B不符合題意；C被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故C不符合題意；D被開方數(shù)含分母，故D不符合題意；故選A考點：最簡二次根式7（2017湖北省十堰市）下列運算正確的是（）A BCD【答案】C【解析】試題分析：A與不能合并，所以A選項錯誤；B原式=6×2=12，所以B選項錯誤；C原式= =2，所以C選項準(zhǔn)確；D原式=，所以D選項錯誤故選C考點：二次根式的混合運算二、填空題8（2017內(nèi)蒙古呼和浩特市）若式子有意義，則x的取值范圍是 【答案】【解析】考點：1二次根式有意義的條件；2分式有意義的條件9（2017天津）計算的結(jié)果等于 【答案】9【解析】試題分析：=167=9故答案為：9考點：二次根式的混合運算10（2017德州）計算：= 【答案】【解析】試題分析：原式化簡后，合并即可得到結(jié)果試題解析：原式=，故答案為：考點：二次根式的加減法11（2017濱州）計算：= 【答案】 【解析】試題分析：根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值進行計算試題解析：原式=故答案為：考點：1二次根式的混合運算；2零指數(shù)冪；3負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；4特殊角的三角函數(shù)值12（2017湖北省鄂州市）若，則xy= 【答案】3【解析】點睛：本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型考點：二次根式有意義的條件三、解答題13（2017上海市）計算：【答案】【解析】試題分析：根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義計算試題解析：原式=考點：1二次根式的混合運算；2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；3負(fù)整數(shù)指數(shù)冪14（2017四川省內(nèi)江市）計算：【答案】8【解析】試題分析：直接利用絕對值的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡求出答案試題解析：原式=10+8+1=8點睛：此題主要考查了二次根式的混合運算以及絕對值的性質(zhì)、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)等知識，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵考點：1二次根式的混合運算；2零指數(shù)冪；3負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；4特殊角的三角函數(shù)值【2016年題組】一、選擇題1（2016云南省）下列計算，正確的是（）ABCD【答案】C【解析】考點：1二次根式的加減法；2有理數(shù)的乘方；3負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；4二次根式的性質(zhì)與化簡2（2016內(nèi)蒙古包頭市）下列計算結(jié)果正確的是（）ABCD【答案】B【解析】試題分析：A2和不是同類二次根式，所以不能合并，所以A錯誤；B，所以B正確；C，所以C錯誤；D，所以D錯誤故選B考點：1二次根式的乘除法；2冪的乘方與積的乘方；3完全平方公式3（2016四川省南充市）下列計算正確的是（）ABCD【答案】A【解析】考點：二次根式的性質(zhì)與化簡4（2016四川省自貢市）下列根式中，不是最簡二次根式的是（）ABC D【答案】B【解析】試題分析：因為=，因此不是最簡二次根式故選B考點：最簡二次根式5（2016四川省雅安市）若式子有意義，則一次函數(shù)y=（1k）x+k1的圖象可能是（）A B CD【答案】C【解析】考點：1一次函數(shù)的圖象；2零指數(shù)冪；3二次根式有意義的條件6（2016山東省濰坊市）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A2a+bB2abCbDb【答案】A【解析】試題分析：如圖所示：a0，ab0，則=a（ab）=2a+b故選A考點：1二次根式的性質(zhì)與化簡；2實數(shù)與數(shù)軸7（2016廣西來賓市）下列計算正確的是（）ABCD【答案】B【解析】試題分析：A和不是同類二次根式，不能合并，所以此選項錯誤；B，所以此選項正確；C，所以此選項錯誤；D，所以此選項錯誤；本題選擇正確的，故選B考點：二次根式的混合運算8（2016廣西桂林市）計算的結(jié)果是（）ABCD6【答案】A【解析】試題分析：原式=故選A考點：二次根式的加減法9（2016湖北省咸寧市）下列運算正確的是（）ABCD【答案】D【解析】考點：1二次根式的加減法；2同底數(shù)冪的乘法；3冪的乘方與積的乘方；4二次根式的性質(zhì)與化簡10（2016貴州省黔南州）下列說法中正確的是（）A化簡后的結(jié)果是B9的平方根為3C是最簡二次根式D27沒有立方根【答案】A【解析】試題分析：A=，故正確B9的平方根為±3，故錯誤C=，不是最簡二次根式，故錯誤D27的立方根為3，故錯誤故選A考點：1最簡二次根式；2平方根；3立方根；4分母有理化11（2016甘肅省白銀市）下列根式中是最簡二次根式的是（）ABCD【答案】B【解析】考點：最簡二次根式12（2016福建省龍巖市）與是同類二次根式的是（）ABCD【答案】C【解析】試題分析：A與的被開方數(shù)不同，故A錯誤；B與的被開方數(shù)不同，故B錯誤；C=與的被開方數(shù)相同，故C正確；D=5與的被開方數(shù)不同，故D錯誤；故選C考點：同類二次根式13（2016廣西梧州市）若式子有意義，則m的取值范圍是（）Am3Bm3Cm0Dm0【答案】C【解析】試題分析：式子有意義，m0故選C考點：二次根式有意義的條件14（2016廣西貴港市）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【答案】C【解析】考點：二次根式有意義的條件15（2016湖北省荊門市）要使式子有意義，則x的取值范圍是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【答案】C【解析】試題分析：要使式子有意義，故x10，解得：x1則x的取值范圍是：x1故選C考點：二次根式有意義的條件二、填空題16（2016云南省曲靖市）如果整數(shù)x3，那么使函數(shù)有意義的x的值是 （只填一個）【答案】答案不唯一，x為-2，-1，0，1都可以，如：0【解析】試題分析：，2x0，即x，整數(shù)x3，且x為整數(shù)，x為-2，-1，0，1故答案為：答案不唯一，x為-2，-1，0，1都可以，如：0考點：二次根式有意義的條件17（2016四川省自貢市）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是 【答案】x1【解析】試題分析：由題意得，x10且x0，解得x1且x0，所以，x1故答案為：x1考點：1二次根式有意義的條件；2分式有意義的條件18（2016廣西賀州市）要使代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是 【答案】x1且x0【解析】試題分析：根據(jù)題意，得：，解得x1且x0故答案為：x1且x0考點：1二次根式有意義的條件；2分式有意義的條件19（2016江蘇省南京市）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 【答案】x1【解析】考點：二次根式有意義的條件20（2016貴州省安順市）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 【答案】x1且x2【解析】試題分析：根據(jù)二次根式有意義，分式有意義得：1x0且x+20，解得：x1且x2故答案為：x1且x2考點：1函數(shù)自變量的取值范圍；2分式有意義的條件；3二次根式有意義的條件21（2016貴州省銅仁市）函數(shù)的自變量x取值范圍是 【答案】x1且x3【解析】試題分析：根據(jù)題意得：，解得x1，且x3，即：自變量x取值范圍是x1且x3故答案為：x1且x3考點：1函數(shù)自變量的取值范圍；2分式有意義的條件；3二次根式有意義的條件22（2016甘肅省天水市）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 【答案】x1【解析】試題分析：根據(jù)題意得：x+10，解得x1考點：1函數(shù)自變量的取值范圍；2分式有意義的條件；3二次根式有意義的條件23（2016內(nèi)蒙古包頭市）計算：= 【答案】4【解析】考點：二次根式的混合運算24（2016天津市）計算的結(jié)果等于 【答案】2【解析】試題分析：原式=53=2，故答案為：2考點：二次根式的混合運算25（2016四川省樂山市）在數(shù)軸上表示實數(shù)a的點如圖所示，化簡的結(jié)果為 【答案】3【解析】試題分析：由數(shù)軸可得：a50，a20，則=5a+a2=3故答案為：3考點：二次根式的性質(zhì)與化簡26（2016山東省濰坊市）計算：= 【答案】12【解析】試題分析：原式=12故答案為：12考點：二次根式的混合運算27（2016山東省聊城市）計算：= 【答案】12【解析】考點：二次根式的乘除法28（2016山東省青島市）計算：= 【答案】2【解析】試題分析：原式=2故答案為：2考點：二次根式的混合運算29（2016福建省廈門市）公元3世紀(jì)，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公式得到的近似值他的算法是：先將看成：由近似公式得到；再將看成，由近似值公式得到；依此算法，所得的近似值會越來越精確當(dāng)取得近似值時，近似公式中的a是 ，r是 【答案】，【解析】試題分析：由近似值公式得到；再將看成，再由近似值公式得到，因此可以知道a=，r=故答案為：，考點：二次根式的應(yīng)用三、解答題30（2016內(nèi)蒙古呼倫貝爾市）計算：【答案】5【解析】考點：1分母有理化；2零指數(shù)冪；3負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；4特殊角的三角函數(shù)值31（2016江蘇省泰州市）計算或化簡：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）先化成最簡二次根式，再去括號、合并同類二次根式即可；（2）先將括號內(nèi)的分式通分，進行減法運算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后化簡即可試題解析：（1）原式=；（2）原式=考點：1二次根式的加減法；2分式的混合運算32（2016廣西桂林市）已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個問題，在他的著作度量論一書中給出了計算公式海倫公式S=（其中a，b，c是三角形的三邊長，p=，S為三角形的面積），并給出了證明例如：在ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面積可以這樣計算：a=3，b=4，c=5，p=6，S=6事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決如圖，在ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海倫公式求ABC的面積；（2）求ABC的內(nèi)切圓半徑r【答案】（1）；（2）【解析】（2）S=r（AC+BC+AB），=r（5+6+9），解得：r=，故ABC的內(nèi)切圓半徑r=考點：1三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；2二次根式的應(yīng)用；3閱讀型考點歸納歸納 1：二次根式的意義及性質(zhì)基礎(chǔ)知識歸納： 二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或等于0注意問題歸納：1首先考慮被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，其次還要考慮其他限制條件，這樣就轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組問題，如有分母時還要注意分式的分母不為02、利用二次根式性質(zhì)時，如果題目中對根號內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個范圍內(nèi)對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進行化簡【例1】（2017四川省廣安市）要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）Ax2Bx2Cx2Dx=2【答案】B【分析】直接利用二次根式的概念形如（a0）的式子叫做二次根式，進而得出答案【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵考點：二次根式有意義的條件【例2】（2017棗莊）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A2a+bB2abCbDb【答案】A【分析】直接利用數(shù)軸上a，b的位置，進而得出a0，ab0，再利用絕對值以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及實數(shù)與數(shù)軸，正確得出各項符號是解題關(guān)鍵考點：1二次根式的性質(zhì)與化簡；2實數(shù)與數(shù)軸歸納 2：最簡二次根式與同類二次根式基礎(chǔ)知識歸納： 1最簡二次根式 被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式2 同類二次根式 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式注意問題歸納：最簡二次根式的判斷方法：1最簡二次根式必須同時滿足如下條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號）；（2）被開方數(shù)中不含開方開得盡的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為12判斷同類二次根式：先把所有的二次根式化成最簡二次根式；再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加以判斷要注意同類二次根式與根號外的因式無關(guān)【例3】下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）ABCD【答案】B【分析】直接利用同類二次根式的定義分別化簡二次根式求出答案【點評】此題主要考查了同類二次根式，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵考點：同類二次根式歸納 3：二次根式的運算基礎(chǔ)知識歸納：（1）二次根式的加減法：實質(zhì)就是合并同類二次根式合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式（2）二次根式的乘除法二次根式的乘法：（a0，b0）二次根式的除法：（a0，b0）注意問題歸納：正確把握運算法則是解題的關(guān)鍵【例3】下列計算正確的是（）ABCD（a0，b0）【答案】D【分析】分別利用二次根式混合運算法則以及積的乘方運算法則以及冪的乘方運算法則、完全平方公式計算得出答案【點評】此題主要考查了二次根式混合運算以及積的乘方運算以及冪的乘方運算、完全平方公式等知識，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵考點：1二次根式的混合運算；2冪的乘方與積的乘方；3完全平方公式歸納 4：二次根式混合運算基礎(chǔ)知識歸納：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）注意問題歸納：注意運算順序【例4】（2017山東省青島市）計算：= 【答案】13【分析】先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后把括號內(nèi)合并后進行二次根式的乘法運算即可【解析】原式=13故答案為：13【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可考點：二次根式的混合運算【例5】（2017湖南省邵陽市）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，則該三角形的面積為S=，現(xiàn)已知ABC的三邊長分別為1，2，則ABC的面積為 【答案】1【分析】根據(jù)題目中的面積公式可以求得ABC的三邊長分別為1，2，的面積，從而可以解答本題【點評】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中的面積公式解答考點：二次根式的應(yīng)用歸納5：二次根式運算中的技巧基礎(chǔ)知識歸納：1二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；2非負(fù)數(shù)的性質(zhì)注意問題歸納：【例6】觀察下列等式：第1個等式：=，第2個等式：=，第3個等式：=，第4個等式：=，按上述規(guī)律，回答以下問題：（1）請寫出第n個等式：= ；（2）= 【答案】（1）=；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可知，=，=，=，=，由此得出第n個等式：=；（2）將每一個等式化簡即可求得答案【點評】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律以及分母有理化，要求學(xué)生首先分析題意，找到規(guī)律，并進行推導(dǎo)得出答案考點：1規(guī)律型：數(shù)字的變化類；2分母有理化1年模擬一、選擇題1下列運算結(jié)果正確的是（）ABCD【答案】A【解析】試題分析：A，正確，符合題意；B=100，故此選項錯誤；C，故此選項錯誤；D，故此選項錯誤；故選A考點：1二次根式的加減法；2同底數(shù)冪的乘法；3冪的乘方與積的乘方；4分式的乘除法；5負(fù)整數(shù)指數(shù)冪2使代數(shù)式有意義的整數(shù)x有（）A5個B4個C3個D2個【答案】B【解析】考點：二次根式有意義的條件3若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）Ax1Bx2Cx1Dx2【答案】B【解析】試題分析：由題意可知：，解得：x2故選B考點：二次根式有意義的條件4計算的結(jié)果為（）A5B5C7D7【答案】A【解析】試題分析：原式=5故選A考點：二次根式的混合運算5下列二次根式中，最簡二次根式是（）ABCD【答案】A【解析】考點：最簡二次根式二、填空題6計算： 【答案】 【解析】試題分析：原式=，故答案為：考點：二次根式的加減法7要使代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是 【答案】x且x1【解析】試題分析：由題意可得：2x10，x10，解得：x且x1故答案為：x且x1考點：二次根式有意義的條件8計算：|3|= ； = 【答案】3，3【解析】試題分析：|3|=3， =3，故答案為：3，3考點：1二次根式的性質(zhì)與化簡；2絕對值9計算：= 【答案】【解析】試題分析：原式=故答案為：考點：二次根式的混合運算三、解答題10計算：【答案】2【解析】考點：二次根式的混合運算11計算： 【答案】1【解析】試題分析：直接利用絕對值的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值和完全平方公式分別化簡求出答案試題解析：原式= =1考點：1二次根式的混合運算；2特殊角的三角函數(shù)值25