2020年中考數(shù)學考點總動員 第16講 全等三角形（含解析）

第16講全等三角形【考點梳理】全等三角形 (1)性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等注意：全等三角形對應(yīng)線段(中線，高)相等；對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長、面積也相等 (2)判定： 兩邊和夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)； 兩角和夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA )； 兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)； 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS)；斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL). 【高頻考點】考點1： 全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用【例題1】（2018咸寧）已知：AOB求作：A'O'B'，使A'OB'=AOB（1）如圖1，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C、D；（2）如圖2，畫一條射線OA，以點O為圓心，OC長為半徑間弧，交OA于點C；（3）以點C為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所而的弧交于點D；（4）過點D畫射線OB'，則A'O'B'=AOB根據(jù)以上作圖步驟，請你證明A'O'B=AOB【分析】由基本作圖得到OD=OC=OD=OC，CD=CD，則根據(jù)“SSS“可證明OCDOCD，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得到A'O'B=AOB【解答】證明：由作法得OD=OC=OD=OC，CD=CD，在OCD和OCD中，OCDOCD，COD=COD，即A'O'B=AOB考點2： 全等三角形的判定【例題2】(1)如圖1，在四邊形ABCD中，ABDC，E是BC的中點，若AE是BAD的平分線，試探究AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，證明你的結(jié)論；(2)如圖2，在四邊形ABCD中，ABDC，AF與DC的延長線交于點F，E是BC的中點，若AE是BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，證明你的結(jié)論【解析】：(1)ADDCAB.證明：延長AE交DC的延長線于點F.E是BC的中點，CEBE.ABDC，BAEF.AEBFEC，AEBFEC，ABFC.AE是BAD的平分線，BAEEAD.ABCD，BAEF.EADF.ADDF.ADDFDCCFDCAB.(2)ABACCF.證明：延長AE交DF的延長線于點G.E是BC的中點，CEBE.ABDC，BAEG.AEBGEC，AEBGEC.ABGC.AE是BAF的平分線，BAGFAG.ABCD，BAGG.FAGG.FAFG.ABCGAFCF.考點3： 全等三角形的綜合應(yīng)用【例題3】如圖，AB50°，P為AB中點，點M為射線AC上(不與點A重合)的任意一點，連接AP，并使MP的延長線交射線BD于點N，設(shè)BPN.(1)求證：APMBPN；(2)當MN2BN時，求的度數(shù)；(3)若BPN的外心在該三角形的內(nèi)部，直接寫出的取值范圍【解析】：(1)證明：P為AB中點，APBP.在APM和BPN中，APMBPN(ASA)(2)由(1)的結(jié)論可知：PMPN，2PNMN.又MN2BN，PNBN.B50°.(3)40°<<90°.【自我檢測】一、選擇題：1. 如圖，ACFBDE，點A、B、C、D在同一條直線上，下列結(jié)論中錯誤的是（）AAFBEBACF=DBECAB=CDDCFDE【答案】B【解答】解：ACFBDE，A=EBD，AFBE，A正確，不符合題意；ACF=BDE，B錯誤，符合題意；AC=BD，AB=CD，C正確，不符合題意；D=FCA，CFDE，D正確，不符合題意；故選：B2. （2018成都）如圖，已知ABC=DCB，添加以下條件，不能判定ABCDCB的是（）AA=DBACB=DBCCAC=DBDAB=DC【答案】C【解答】解：A、A=D，ABC=DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出ABCDCB，故本選項錯誤；B、ABC=DCB，BC=CB，ACB=DBC，符合ASA，即能推出ABCDCB，故本選項錯誤；C、ABC=DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABCDCB，故本選項正確；D、AB=DC，ABC=DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出ABCDCB，故本選項錯誤；故選：C3. 下列命題：兩個周長相等的三角形是全等三角形；兩個周長相等的直角三角形是全等三角形；兩個周長相等的等腰三角形是全等三角形；兩個周長相等的等邊三角形是全等三角形其中，真命題有()A1個 B2個 C3個 D4個【答案】D【解析】:A.周長相等的銳角三角形的對應(yīng)角不一定相等,對應(yīng)邊也不一定相等,假命題;B.周長相等的直角三角形對應(yīng)銳角不一定相等, 對應(yīng)邊也不一定相等,假命題;C.周長相等的等腰三角形對應(yīng)角不一定相等,對應(yīng)邊也不一定相等,假命題;D.兩個周長相等的等邊三角形的對應(yīng)角一定相等,都是60°,對應(yīng)邊也一定相等,真命題.故選D.4. （2018·臺灣·分）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，E=115°，則BAE的度數(shù)為何？（）A115B120C125D130【答案】C【解答】解：正三角形ACD，AC=AD，ACD=ADC=CAD=60°，AB=DE，BC=AE，ABCAED，B=E=115°，ACB=EAD，BAC=ADE，ACB+BAC=BAC+DAE=180°115°=65°，BAE=BAC+DAE+CAD=65°+60°=125°，故選：C5. （2019山東青島3分）如圖，BD是ABC的角平分線，AEBD，垂足為F若ABC35°，C50°，則CDE的度數(shù)為（）A35°B40°C45°D50°【答案】A【解答】解：BD是ABC的角平分線，AEBD，ABDEBD，AFBEFB，BFBF，ABFEBF（ASA），AFEF，ABBE，ADDE，ABC35°，C50°，BAC180°ABCC95°，在DAB與DEB中，ABDEAD（SSS），BEDBAD95°，ADE360°95°95°35°145°，CDE180°ADE35°，故選：A二、填空題：6. 如圖，OC是AOB的平分線，點P在OC上，PDOA于D點，PD=6，則P到OB的距離為 cm【答案】6【解答】解：如圖，過點P作PEOB，OC是AOB的平分線，點P在OC上，且PDOA，PEOB，PE=PD，又PD=6cm，PE=PD=6cm故填67. （2019山東威海3分）如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，過點C作CEBC，交AD于點E，連接BE，BECDEC，若AB6，則CD3【答案】3【解答】解：如圖，延長BC、AD相交于點F，CEBC，BCEFCE90°，BECDEC，CECE，EBCEFC（ASA），BCCF，ABDC，ADDF，DC=3故答案為：38. （2018金華）如圖，ABC的兩條高AD，BE相交于點F，請?zhí)砑右粋€條件，使得ADCBEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是 【答案】AC=BC【解答】解：添加AC=BC，ABC的兩條高AD，BE，ADC=BEC=90°，DAC+C=90°，EBC+C=90°，EBC=DAC，在ADC和BEC中，ADCBEC（AAS），故答案為：AC=BC9. （2017山東濱州）如圖，點P為定角AOB的平分線上的一個定點，且MPN與AOB互補，若MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個數(shù)為 。【答案】3【解答】解：如圖作PEOA于E，PFOB于FPEO=PFO=90°，EPF+AOB=180°，MPN+AOB=180°，EPF=MPN，EPM=FPN，OP平分AOB，PEOA于E，PFOB于F，PE=PF，在POE和POF中，POEPOF，OE=OF，在PEM和PFN中，PEMPFN，EM=NF，PM=PN，故（1）正確，SPEM=SPNF，S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故（3）正確，OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值，故（2）正確，MN的長度是變化的，故（4）錯誤，故為3個。三、解答題：10. (2018·陜西)如圖，ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，CD上的點，且ECBF，連接AD，分別與EC，BF相交于點G，H.若ABCD，求證：AGDH.證明：ABCD，ECBF，四邊形BFCE是平行四邊形，AD.BECBFC，BECF，AEGDFH.ABCD，AEDF.AEGDFH(ASA)，AGDH.11. （2019湖南益陽8分）已知，如圖，ABAE，ABDE，ECB70°，D110°，求證：ABCEAD【分析】由ECB70°得ACB110°，再由ABDE，證得CABE，再結(jié)合已知條件ABAE，可利用AAS證得ABCEAD【解答】證明：由ECB70°得ACB110°又D110°ACBDABDECABE在ABC和EAD中ABCEAD（AAS）12. （2018湖北荊州）（8.00分）如圖，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合，得到折痕MN，將紙片展平；再一次折疊，使點D落到MN上的點F處，折痕AP交MN于E；延長PF交AB于G求證：（1）AFGAFP；（2）APG為等邊三角形【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得到M、N分別為AD、BC的中點，利用平行線分線段成比例得到F為PG的中點，再由折疊的性質(zhì)得到AF垂直于PG，利用SAS即可得證；（2）由（1）的全等三角形，得到對應(yīng)邊相等，利用三線合一得到2=3，由折疊的性質(zhì)及等量代換得到PAG為60°，根據(jù)AP=AG且有一個角為60°即可得證【解答】證明：（1）由折疊可得：M、N分別為AD、BC的中點，DCMNAB，F(xiàn)為PG的中點，即PF=GF，由折疊可得：PFA=D=90°，1=2，在AFP和AFG中，AFPAFG（SAS）；（2）AFPAFG，AP=AG，AFPG，2=3，1=2，1=2=3=30°，2+3=60°，即PAG=60°，APG為等邊三角形13. 如圖，ABC中，ABAC，BAC40°，將ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°，得到ADE，連接BD，CE交于點F.(1)求證：ABDACE；(2)求ACE的度數(shù)；(3)求證：四邊形ABFE是菱形【解析】：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得BACDAE40°，BADCAE100°，又ABAC，ABACADAE.在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)(2)CAE100°，ACAE，ACE(180°CAE)×(180°100°)40°.(3)證明：BADCAE100°，ABACADAE，ABDADBACEAEC40°.BAEBADDAE140°，BFE360°BAEABDAEC140°.BAEBFE.四邊形ABFE是平行四邊形ABAE，四邊形ABFE是菱形14. 如圖1所示，在ABC中，ABAC，BAC90°，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為直角邊，A為直角頂點，在AD左側(cè)作等腰直角ADF，連接CF.(1)當點D在線段BC上時(不與點B重合)，線段CF和BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么？請給予證明；(2)當點D在線段BC的延長線上時，(1)的結(jié)論是否仍然成立？請在圖2中畫出相應(yīng)的圖形，并說明理由【點撥】可證明ACFABD，再利用全等三角形的性質(zhì)，可得CFBD，CFBD.【解答】解：(1)CFBD，且CFBD.證明：FADCAB90°，F(xiàn)ACDAB.在ACF和ABD中，ACFABD(SAS)CFBD，F(xiàn)CADBA.FCDFCAACDDBAACD90°，即FCCB.綜上，CFBD，且CFBD.(2)(1)的結(jié)論仍然成立CABDAF90°，CABCADDAFCAD，即CAFBAD.在ACF和ABD中，ACFABD(SAS)CFBD，ACFB.ABAC，BAC90°，BACB45°.BCFACFACB45°45°90°，即CFBD.綜上，CFBD，且CFBD.15. （2019河北省9分）如圖，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側(cè)，I為APC的內(nèi)心（1）求證：BADCAE；（2）設(shè)APx，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當ABAC時，AIC的取值范圍為m°AICn°，分別直接寫出m，n的值【解答】解：（1）在ABC和ADE中，（如圖1）ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x當ADBC時，APAB3最小，即PD633為PD的最大值（3）如圖2，設(shè)BAP，則APC+30°，ABACBAC90°，PCA60°，PAC90°，I為APC的內(nèi)心AI、CI分別平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC180°（IAC+ICA）180°（PAC+PCA）180°（90°+60°）+105°090°，105°+105°150°，即105°AIC150°，m105，n150 14