2020年中考數(shù)學考點總動員 第17講 特殊三角形（含解析）

第17講　特殊三角形 【考點梳理】 1．等腰三角形 (1)性質(zhì)： 等腰三角形的兩底角相等，兩腰相等； 等腰三角形的_高線_、中線、頂角平分線“三線合一”； 等腰三角形是軸對稱圖形，高線(或底邊中線、頂角平分線)所在直線是它的對稱軸． (2)判定： 有兩角相等的三角形是等腰三角形； 有_兩邊相等的三角形是等腰三角形． 2．等邊三角形 (1)性質(zhì)：三邊相等，三個內(nèi)角都等于60°； 等邊三角形是軸對稱圖形，有_3__條對稱軸． (2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形． 3．直角三角形 (1)性質(zhì)：①兩銳角之和等于_90°_；②斜邊上的中線等于斜邊的一半；③30°的角所對應的直角邊等于斜邊的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，則有a2＋b2＝c2. (2)判定：①有一個角是直角的三角形是直角三角形；②有兩個角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a，b，c滿足關系a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形；④一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形． 4．等腰直角三角形 (1)性質(zhì)：兩直角邊相等_；兩銳角相等且都等于_45°_. (2)判定：有兩邊相等的直角三角形；有一個角為45°的直角三角形；頂角為90°的等腰三角形；有兩個角是45°的三角形. 【高頻考點】 考點1： 等腰三角形的性質(zhì)及相關計算 【例題1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，點D是線段AB上一動點(D不與A，B重合)． (1)如圖1，當點D為AB的中點，過點B作BF∥AC交CD的延長線于點F，求證：AC＝BF； (2)連接CD.作∠CDE＝30°，DE交AC于點E.若DE∥BC時，如圖2. ①∠CDB＝120°； ②求證：△ADE為等腰三角形； ③在點D的運動過程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠AED的度數(shù)；若不可以，請說明理由． 【解答】　解：(1)證明：∵CA＝CB，CD是△ABC的中線，∴AD＝BD. ∵BF∥AC，∴∠A＝∠FBD. ∵∠ADC＝∠BDF，∴△ACD≌△BFD.∴AC＝BF. (2)②證明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B. ∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B. ∴∠A＝∠EDA，∴△ADE為等腰三角形． ③△ECD可以是等腰三角形．理由如下： Ⅰ.當∠CDE＝∠ECD時，EC＝DE，∴∠ECD＝∠CDE＝30°. ∵∠AED＝∠ECD＋∠CDE， ∴∠AED＝60°. Ⅱ.當∠ECD＝∠CED時，CD＝DE，∵∠ECD＋∠CED＋∠CDE＝180°， ∴∠CED＝＝75°.∴∠AED＝180°－∠CED＝105°. Ⅲ.當∠CED＝∠CDE時，EC＝CD，∠ACD＝180°－∠CED－∠CDE＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB＝120°， ∴此時，點D與點B重合，不合題意． 綜上，△ECD可以是等腰三角形，此時∠AED的度數(shù)為60°或105°. 歸納：在以等腰三角形為背景求線段長的問題中，最常用的工具為“等腰三角形三線合一”，由此可以找到相應的角度、線段長度以及垂直關系，進而可通過三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知圖形中有兩個中點時，常用中位線的性質(zhì)得到線段平行和數(shù)量關系． 考點2： 等邊三角形的性質(zhì)及相關計算 【例題2】(2018·河北模擬)如圖1，在等邊△ABC和等邊△ADP中，AB＝2，點P在△ABC的高CE上(點P與點C不重合)，點D在點P的左側，連接BD，ED. (1)求證：BD＝CP； (2)當點P與點E重合時，延長CE交BD于點F，請你在圖2中作出圖形，并求出BF的長； (3)直接寫出線段DE長度的最小值． 【解析】：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵△ADP是等邊三角形， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°. ∴∠DAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠CAP. ∴∠DAB＝∠CAP. ∴△DAB≌△PAC(SAS)． ∴BD＝CP. (2)如圖2，∵△ADP是等邊三角形， ∴當點P與點E重合時，有AE＝DE，∠AED＝60°. ∵CE⊥AB， ∴AE＝BE＝DE，∠BCE＝∠ACB＝30°. ∴∠EBD＝30°.∴∠DBC＝90°. 在Rt△BCF中，∵BC＝2，tan∠BCE＝， ∴BF＝2tan30°＝. (3)DE長度的最小值是，理由：如圖3，由(1)知：△DAB≌△PAC，∴取AC的中點F，連接PF，則PF＝DE，∴PF長度的最小值就是DE長度的最小值，過點F作FG⊥CE于點G，垂足G就是PF最小時點P的位置，此時PF＝，故DE長度的最小值是. 歸納：對于等邊三角形的問題主要考查三邊關系與三角的特殊之處，判定時注意兩個角為60°的三角形為等邊三角形，抓住特殊求三角形高等線段長度即可得到。 考點3： 直角三角形的性質(zhì)及相關計算 【例題3】(2018·保定模擬)勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰一靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程： 將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2＋b2＝c2. 證明：連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b－a. ∵S四邊形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab， 又∵S四邊形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)， ∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)． ∴a2＋b2＝c2. 請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明． 將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2. 證明：連接BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF＝b－a. ∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab， 又∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)， ∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)． ∴a2＋b2＝c2. 歸納：解決與直角三角形有關的計算：(1)若直角三角形中含有30°角時，可考慮利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半；(2)若直角三角形出現(xiàn)中線時，可考慮利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行求解；(3)計算有關線段長問題，如果所求線段是在直角三角形或可通過作輔助線作出含可求出兩邊的直角三角形中，一般應用勾股定理求解，即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和． 【自我檢測】 一、選擇題： 1. （2017湖北荊州）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線l交AC于點D，則∠CBD的度數(shù)為（　?。? A．30° B．45° C．50° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB的垂直平分線交AC于D， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故選B． 2. 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線l交AC于點D，則∠CBD的度數(shù)為（　?。? A．30° B．45° C．50° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB的垂直平分線交AC于D， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故選B． 3. （2017畢節(jié)）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且∠EAF=45°，將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點E落在點E'處，則下列判斷不正確的是（　?。? A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE' C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形 【答案】D 【解答】解：∵將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點E落在點E'處， ∴AE′=AE，∠E′AE=90°， ∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正確； ∵將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點E落在點E'處， ∴∠E′AD=∠BAE， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠E′AD+∠FAD=45°， ∴∠E′AF=∠EAF， ∵AE′=AE， ∴AF垂直平分EE'，故B正確； ∵AF⊥E′E，∠ADF=90°， ∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF， ∴∠FE′E=∠DAF， ∴△E′EC∽△AFD，故C正確； ∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′， ∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D錯誤； 故選D． 4. （2019?浙江衢州?3分）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的。借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC=CD=DE，點D，E可在槽中滑動，若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（    ） A. 60°   B. 65°    C. 75°    D. 80° 【答案】 D 【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， 設∠O=∠ODC=x， ∴∠DCE=∠DEC=2x， ∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x， ∵∠BDE=75°， ∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°， 即x+180°-4x+75°=180°， 解得：x=25°， ∠CDE=180°-4x=80°. 故答案為：D. 5. （2019?湖南邵陽?3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處，線段DF與AB相交于點E，則∠BED等于（　　） A．120° B．108° C．72° D．36° 【答案】B 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． ∵AD是斜邊BC上的中線， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°． ∵將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處， ∴∠ADF＝∠ADC＝72°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°． 故選：B． 二、填空題： 6. 如圖，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC的中點，則∠BAD=　30°?。? 【答案】30° 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC． 又點D是邊BC的中點， ∴∠BAD=∠BAC=30°． 故答案是：30°． 7. （2019?貴州畢節(jié)?5分）如圖，以△ABC的頂點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC邊于點D，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠DAC的大小為　34°?。? 【答案】34°． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104° ∵AB＝BD ∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34° 故答案為：34°． 8. 如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分別找一點E、F，當△AEF周長最小時，∠AEF+∠AFE的度數(shù)是　 　． 【答案】80°． 【解答】解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F， 則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH， ∵∠DAB=130°， ∴∠A′+∠A″=50°， ∵∠A′=∠FAA′，∠EAD=∠A″， ∴∠FAA′+∠A″AE=50°， ∴∠EAF=130°﹣50°=80°， 故答案為：80°． 9. （2019?黑龍江哈爾濱?3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，點E為AD邊上一點，連接BD.CE，CE與BD交于點F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，則BC的長為　?。? 【答案】2 【解答】解：如圖，連接AC交BD于點O ∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°， ∴AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形 ∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8， BO＝OD＝4 ∵CE∥AB ∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60° ∴∠DAO＝∠ACE＝30° ∴AE＝CE＝6 ∴DE＝AD﹣AE＝2 ∵∠CED＝∠ADB＝60° ∴△EDF是等邊三角形 ∴DE＝EF＝DF＝2 ∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2 ∴OC＝ ∴BC＝ 三、解答題： 10. （2019?湖北武漢?8分）如圖是由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．四邊形ABCD的頂點在格點上，點E是邊DC與網(wǎng)格線的交點．請選擇適當?shù)母顸c，用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖，保留連線的痕跡，不要求說明理由． （1）如圖1，過點A畫線段AF，使AF∥DC，且AF＝DC． （2）如圖1，在邊AB上畫一點G，使∠AGD＝∠BGC． （3）如圖2，過點E畫線段EM，使EM∥AB，且EM＝AB． 【分析】（1）作平行四邊形AFCD即可得到結論； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)即可得到結論； （3）作平行四邊形AEMB即可得到結論． 【解答】解：（1）如圖所示，線段AF即為所求； （2）如圖所示，點G即為所求； （3）如圖所示，線段EM即為所求． 11. (2018·嘉興)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF.求證：△ABC是等邊三角形． 證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D為AC的中點，∴AD＝DC. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)． ∴∠A＝∠C.∴BA＝BC. ∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC是等邊三角形． 12. （2018·湖北省孝感·7分）如圖，△ABC中，AB=AC，小聰同學利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作： ①作∠BAC的平分線AM交BC于點D； ②作邊AB的垂直平分線EF，EF與AM相交于點P； ③連接PB，PC． 請你觀察圖形解答下列問題： （1）線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系是　PA=PB=PC??； （2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：PA=PB=PC； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的內(nèi)角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分線定義得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性質(zhì)可得結論． 【解答】解：（1）如圖，PA=PB=PC，理由是： ∵AB=AC，AM平分∠BAC， ∴AD是BC的垂直平分線， ∴PB=PC， ∵EP是AB的垂直平分線， ∴PA=PB， ∴PA=PB=PC； 故答案為：PA=PB=PC； （2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20°， ∵PA=PB=PC， ∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°， ∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°． 13. 如圖，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，點O是△ABC內(nèi)的一點，∠BOC=130°． （1）求證：OB=DC； （2）求∠DCO的大小； （3）設∠AOB=α，那么當α為多少度時，△COD是等腰三角形． 【解答】（1）證明： ∵∠BAC=∠OAD=90° ∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO ∴∠DAC=∠OAB 在△AOB與△ADC中 ∴△AOB≌△ADC， ∴OB=DC； （2）∵∠BOC=130°， ∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°， ∵△AOB≌△ADC ∠AOB=∠ADC， ∴∠ADC+∠AOC=230°， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠DAO=90°， ∴四邊形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°； （3）當CD=CO時， ∴∠CDO=∠COD===70° ∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠ODA=45°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115° 又∠AOB=∠ADC=α ∴α=115°； 當OD=CO時， ∴∠DCO=∠CDO=40° ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85° ∴α=85°； 當CD=OD時， ∴∠DCO=∠DOC=40° ∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC =180°﹣40°﹣40° =100° ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145° ∴α=145°； 綜上所述：當α的度數(shù)為115°或85°或145°時，△AOD是等腰三角形． 15