2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第06講 一次方程（組）及其應(yīng)用（含解析）

第6講一次方程(組)及其應(yīng)用1等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等，即：如果ab，c為任意數(shù)(或式子)，那么a±cb±c；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，即：如果ab，那么acbc；如果ab，c0，那么.2方程及方程的解 (1)方程：含有未知數(shù)的等式 (2)方程的解：能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解求方程解的過程叫做解方程 3一元一次方程 (1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程 (2)解一元一次方程主要有以下步驟：去分母(注意不要漏乘不含分母的項(xiàng))；去括號(hào)(注意括號(hào)外是負(fù)號(hào)時(shí)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)均要變號(hào))；移項(xiàng)(注意移項(xiàng)要變號(hào))；合并同類項(xiàng)；系數(shù)化1.4二元一次方程(1)定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1的整式方程(2)二元一次方程的解：適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值注意：二元一次方程的解是滿足方程的一對(duì)數(shù)值，即，任何一個(gè)二元一次方程都有無數(shù)多個(gè)解(3)解法：解二元一次方程時(shí)，先用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，然后給一個(gè)未知數(shù)取值，求另一個(gè)未知數(shù)的值，即可得到該二元一次方程的一個(gè)解5二元一次方程組 (1)定義：將兩個(gè)或兩個(gè)以上的方程聯(lián)立在一起，就構(gòu)成了一個(gè)方程組，方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，這樣的方程組叫二元一次方程組 (2)解二元一次方程組的基本思想是消元，有代入消元法與加減消元法兩種方法. 方程組中一個(gè)方程里有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或1，選擇代入消元法較簡單； 方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成整數(shù)倍，選擇加減消元法6三元一次方程組(1)定義：方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程組叫三元一次方程組(2)三元一次方程組的解法： 7列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟 (1)審：審清題意，分清題中的已知量、未知量； (2)設(shè)：設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)； (3)找：找出各量之間的等量關(guān)系； (4)列：根據(jù)等量關(guān)系列方程(組)； (5)解：解方程(組)； (6)驗(yàn)：檢驗(yàn)所解出的答案是否正確，是否符合題意； (7)答：規(guī)范作答，注意單位名稱8常見一次方程實(shí)際應(yīng)用常見類型及關(guān)系式(1)行程問題：路程速度×時(shí)間；相遇問題：兩者路程之和全程；追及問題：快者路程慢者先走的路程(或相距路程)慢者后走的路程；水中航行問題：-(2)工程問題：工作量工作效率×工作時(shí)間 ，各部分部分工作量之和總工作量 (3)利潤問題： 利潤售價(jià)進(jìn)價(jià)進(jìn)價(jià)×利潤率； 售價(jià)標(biāo)價(jià)×折扣率進(jìn)價(jià)×(1利潤率)； 總利潤總售價(jià)總進(jìn)價(jià)單件利潤×銷量 (4)利息問題： 利息本金×利率×期數(shù)； 本息和本金利息考點(diǎn)1：一元一次方程(組)的解法【例題1】(2017·廣州)解方程組：【解答】解：方法一：由，得x5y.把代入，得2(5y)3y11.解得y1.把y1代入，得x514.原方程組的解為方法二：由，得y5x.把代入，得2x3(5x)11.解得x4.把x4代入，得y541.原方程組的解為方法三：×3，得x4.把x4代入，得y1.原方程組的解為方法四：×2，得y1.把y1代入，得x4.原方程組的解為考點(diǎn)2：一元一次方程(組)的應(yīng)用【例題2】（2019湖北黃石8分）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章算術(shù)）意思是：同樣時(shí)間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步假定兩者步長相等，據(jù)此回答以下問題：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，問孰至于前，兩者幾何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人開始追趕，當(dāng)走路慢的人再走600步時(shí)，請(qǐng)問誰在前面，兩人相隔多少步？（2）今不善行者先行兩百步，善行者追之，問幾何步及之？即：走路慢的人先走200步，請(qǐng)問走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【分析】（1）設(shè)當(dāng)走路慢的人再走600步時(shí)，走路快的人的走x步，根據(jù)同樣時(shí)間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步列方程求解即可；（2）設(shè)走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根據(jù)同樣時(shí)間段內(nèi)，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及問題可列方程求解【解答】解：（1）設(shè)當(dāng)走路慢的人再走600步時(shí)，走路快的人的走x步，由題意得x：600100：60x10001000600100300答：當(dāng)走路慢的人再走600步時(shí)，走路快的人在前面，兩人相隔300步（2）設(shè)走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由題意得y200+yy500答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人歸納：1.列方程(組)解應(yīng)用題的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)題意或生活實(shí)際建立等量關(guān)系；2.可根據(jù)公式尋找數(shù)量關(guān)系，如周長、面積、體積等；3.在有倍數(shù)、和差關(guān)系的應(yīng)用題中，應(yīng)抓住兩種量的關(guān)系，建立等量關(guān)系，這類題目中常有“一共是”、“比多(少)”、“是的幾倍”、“比幾倍多(少)”等；4.涉及幾何圖形的應(yīng)用問題時(shí)，等量關(guān)系一般隱藏在圖形的性質(zhì)中，如矩形對(duì)邊相等，正方形四邊相等或裁剪拼接和折疊前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系等考點(diǎn)3：二元一次方程(組)的解法【例題3】（2018德州）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“”：ab=，例如43，因?yàn)?3所以43=5若x，y滿足方程組，則xy= 【分析】根據(jù)二元一次方程組的解法以及新定義運(yùn)算法則即可求出答案【解答】：由題意可知：，解得：xy，原式=5×12=60故答案為：60考點(diǎn)4：二元一次方程(組)的應(yīng)用【例題4】(2019甘肅省隴南市)（6分）小甘到文具超市去買文具請(qǐng)你根據(jù)如圖中的對(duì)話信息，求中性筆和筆記本的單價(jià)分別是多少元？【分析】根據(jù)對(duì)話分別利用總錢數(shù)得出等式求出答案【解答】解：設(shè)中性筆和筆記本的單價(jià)分別是x元、y元，根據(jù)題意可得：，解得：，答：中性筆和筆記本的單價(jià)分別是2元、6元一、選擇題：1. （2019湖南懷化4分）一元一次方程x20的解是（）Ax2Bx2Cx0Dx1【答案】A【解答】解：x20，解得：x2故選：A2. 若方程組的解x、y的值相等，則a的值為（）A4B4C2D1【考點(diǎn)】解三元一次方程組【答案】C【解答】：由題意可得方程x=y，將此方程代入原方程組的第二個(gè)方程得：4x+3x=14，則x=y=2；然后代入第一個(gè)方程得：2a+2（a1）=6；解得：a=2故選C3. （2019，四川巴中，4分）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則a+b的值是（）A1B2C1D0【答案】B【解答】解：將代入得：，a+b2；故選：B4. （2019浙江寧波4分）小慧去花店購買鮮花，若買5支玫瑰和3支百合，則她所帶的錢還剩下10元；若買3支玫瑰和5支百合，則她所帶的錢還缺4元若只買8支玫瑰，則她所帶的錢還剩下（）A31元B30元C25元D19元【答案】A【解答】解：設(shè)每支玫瑰x元，每支百合y元，依題意，得：5x+3y+103x+5y4，yx+7，5x+3y+108x5x+3（x+7）+108x31故選：A5. ( 2019甘肅省蘭州市) （4分）九章算術(shù)是中國古代數(shù)學(xué)著作之一，書中有這樣一個(gè)問題:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重.問：每只雀、燕的重量各為多少？設(shè)一只雀的重量為x斤，一只燕的重量為y斤，則可列方程為 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根據(jù)題目條件找出等量關(guān)系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y1(2) 互換其中一只，恰好一樣重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y5y+x，故選C. 二、填空題：6. 如圖，寬為50 cm的長方形圖案由10個(gè)相同的小長方形拼成，其中一個(gè)小長方形的面積為_cm2.【答案】10×40400(cm2)【解析】：設(shè)小長方形的長為x cm，則寬為(50x)cm，根據(jù)題意可得：2xx4(50x)，解得：x40，故50x10(cm)則一個(gè)小長方形的面積為：10×40400(cm2) 7. 一組“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”按下面的程序計(jì)算，如果輸入的數(shù)是36，則輸出的結(jié)果為106，要使輸出的結(jié)果為127，則輸入的最小正整數(shù)是_【答案】15【解答】當(dāng)y=127時(shí)，解得：x=43；當(dāng)y=43時(shí)，解得：x=15；當(dāng)x=15時(shí),解得不符合條件。則輸入的最小正整數(shù)是15.故答案為：15.8. （2019湖南岳陽4分）我國古代的數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有下列問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會(huì)織布，每日加倍增長，5日共織布5尺問每日各織多少布？根據(jù)此問題中的已知條件，可求得該女子第一天織布尺【答案】【解答】解：設(shè)第一天織布x尺，則第二天織布2x尺，第三天織布4x尺，第四天織布8x尺，第五天織布16x尺，根據(jù)題意可得：x+2x+4x+8x+16x5，解得：x，即該女子第一天織布尺故答案為：9. 當(dāng)y=3時(shí)，二元一次方程3x+5y=3和3y2ax=a+2（關(guān)于x，y的方程）有相同的解，則a的值是 【答案】【解答】：當(dāng)y=3時(shí)，3x+5×（3）=3，解得：x=4，把y=3，x=4代入3y2ax=a+2中得，3×（3）2a×4=a+2，解得：a=三、解答題：10. (2018·嘉興)用消元法解方程組時(shí)，兩位同學(xué)的解法如下：解法一：由，得3x3.解法二：由，得3x(x3y)2，把代入，得3x52.(1)反思：上述兩個(gè)解題過程中有無計(jì)算錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)阱e(cuò)誤處打“×”；(2)請(qǐng)選擇一種你喜歡的方法，完成解答【解析(1)解法一中的解題過程有錯(cuò)誤，由，得3x3“×”應(yīng)為由，得3x3.(2)由，得3x3，解得x1.把x1代入，得13y5，解得y2.故原方程組的解是11. 已知n邊形的內(nèi)角和(n2)×180°.(1)甲同學(xué)說，能取360°；而乙同學(xué)說，也能取630°.甲、乙的說法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n；若不對(duì)，說明理由；(2)若n邊形變?yōu)?nx)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x.【解析(1)甲對(duì)，乙不對(duì)理由：360°，(n2)×180°360°.解得n4.630°，(n2)×180°630°.解得n.n為整數(shù)，不能取630°.(2)依題意，得(n2)×180°360°(nx2)×180°.解得x2.12. (2017·海南)在某市“棚戶區(qū)改造”建設(shè)工程中，有甲、乙兩種車輛參加運(yùn)土，已知5輛甲種車和2輛乙種車一次共運(yùn)土64立方米，3輛甲種車和1輛乙種車一次共運(yùn)土36立方米，求甲、乙兩種車每輛一次分別運(yùn)土多少立方米【解答】解：方法一：設(shè)甲種車每輛一次運(yùn)土x立方米，乙種車每輛一次運(yùn)土y立方米，由題意，得解得答：甲種車每輛一次運(yùn)土8立方米，乙種車每輛一次運(yùn)土12立方米方法二：設(shè)甲種車每輛一次運(yùn)土x立方米，則乙種車每輛一次運(yùn)土(363x)立方米，由題意，得5x2(363x)64，解得x8.則363x 12.答：甲種車每輛一次運(yùn)土8立方米，乙種車每輛一次運(yùn)土12立方米方法三：設(shè)乙種車每輛一次運(yùn)土x立方米，則甲種車每輛一次運(yùn)土立方米，由題意，得5×2x64，解得x12.則8.答：甲種車每輛一次運(yùn)土8立方米，乙種車每輛一次運(yùn)土12立方米方法四：設(shè)甲種車每輛一次運(yùn)土x立方米，則乙種車每輛一次運(yùn)土立方米，由題意，得3x36，解得x8.則12.答：甲種車每輛一次運(yùn)土8立方米，乙種車每輛一次運(yùn)土12立方米方法五：設(shè)乙種車每輛一次運(yùn)土x立方米，則甲種車每輛一次運(yùn)土立方米，由題意，得3×x36，解得x12.則8.答：甲種車每輛一次運(yùn)土8立方米，乙種車每輛一次運(yùn)土12立方米13. (2019安徽)（8分）為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工甲工程隊(duì)獨(dú)立工作2天后，乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進(jìn)26米已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多掘進(jìn)2米，按此速度完成這項(xiàng)隧道貫穿工程，甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作多少天？【分析】設(shè)甲工程隊(duì)每天掘進(jìn)x米，則乙工程隊(duì)每天掘進(jìn)（x2）米根據(jù)“甲工程隊(duì)獨(dú)立工作2天后，乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進(jìn)26米”列出方程，然后求工作時(shí)間【解答】解：設(shè)甲工程隊(duì)每天掘進(jìn)x米，則乙工程隊(duì)每天掘進(jìn)（x2）米，由題意，得2x+（x+x2）26，解得x7，所以乙工程隊(duì)每天掘進(jìn)5米，=10（天）答：甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作10天14. 如圖，已知數(shù)軸上一枚硬幣恰好與原點(diǎn)O相切，將這枚硬幣沿?cái)?shù)軸向右無滑動(dòng)滾動(dòng)一周，點(diǎn)O恰好到達(dá)點(diǎn)A處(1)將這枚硬幣從點(diǎn)A開始沿坐標(biāo)軸向左滾動(dòng)兩周，到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是3；(2)將這枚硬幣從表示數(shù)a的點(diǎn)C處開始，先向左滾動(dòng)1周，得到點(diǎn)D，再向右滾動(dòng)5周得到點(diǎn)E，最后向左滾動(dòng)2周得到點(diǎn)F.若點(diǎn)D，E，F(xiàn)所代表的數(shù)字之和為8，求a的值【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)C表示的數(shù)為a，向左滾動(dòng)1周得到點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為a3，再向右滾動(dòng)5周得到點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為a33×5，再向左滾動(dòng)2周得到點(diǎn)F，則點(diǎn)F表示的數(shù)為a33×53×2，a3(a315)(a3156)8，解得a.10