2020年中考數(shù)學考點總動員 第06講 一次方程（組）及其應用（含解析）

第6講　一次方程(組)及其應用 1．等式的基本性質 性質1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結果仍相等，即：如果a＝b，c為任意數(shù)(或式子)，那么a±c＝b±c； 性質2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等，即：①如果a＝b，那么ac＝bc；②如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．方程及方程的解 (1)方程：含有未知數(shù)的等式． (2)方程的解：能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解．求方程解的過程叫做解方程． 3．一元一次方程 (1)定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程． (2)解一元一次方程主要有以下步驟：①去分母(注意不要漏乘不含分母的項)；②去括號(注意括號外是負號時，去括號后括號內各項均要變號)；③移項(注意移項要變號)；④合并同類項；⑤系數(shù)化1. 4．二元一次方程 (1)定義：含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)為1的整式方程． (2)二元一次方程的解：適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值． 注意：二元一次方程的解是滿足方程的一對數(shù)值，即，任何一個二元一次方程都有無數(shù)多個解． (3)解法：解二元一次方程時，先用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，然后給一個未知數(shù)取值，求另一個未知數(shù)的值，即可得到該二元一次方程的一個解． 5．二元一次方程組 (1)定義：將兩個或兩個以上的方程聯(lián)立在一起，就構成了一個方程組，方程組中含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，這樣的方程組叫二元一次方程組． (2)解二元一次方程組的基本思想是消元，有代入消元法與加減消元法兩種方法. ①方程組中一個方程里有一個未知數(shù)的系數(shù)是1或－1，選擇代入消元法較簡單； ②方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍，選擇加減消元法． 6．三元一次方程組 (1)定義：方程組中含有三個未知數(shù)，且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程組叫三元一次方程組． (2)三元一次方程組的解法： 7．列方程(組)解應用題的一般步驟 (1)審：審清題意，分清題中的已知量、未知量； (2)設：設關鍵未知數(shù)； (3)找：找出各量之間的等量關系； (4)列：根據(jù)等量關系列方程(組)； (5)解：解方程(組)； (6)驗：檢驗所解出的答案是否正確，是否符合題意； (7)答：規(guī)范作答，注意單位名稱． 8．常見一次方程實際應用常見類型及關系式 (1)行程問題：路程＝速度×時間； 相遇問題：兩者路程之和＝全程； 追及問題：快者路程＝慢者先走的路程(或相距路程)＋慢者后走的路程； 水中航行問題： - (2)工程問題：工作量＝工作效率×工作時間 ，各部分部分工作量之和＝總工作量． (3)利潤問題： 利潤＝售價－進價＝進價×利潤率； 售價＝標價×折扣率＝進價×(1＋利潤率)； 總利潤＝總售價－總進價＝單件利潤×銷量 ． (4)利息問題： 利息＝本金×利率×期數(shù)； 本息和＝本金＋利息． 考點1：一元一次方程(組)的解法 【例題1】(2017·廣州)解方程組： 【解答】　解：方法一：由①，得x＝5－y.③ 把③代入②，得2(5－y)＋3y＝11.解得y＝1. 把y＝1代入③，得x＝5－1＝4. ∴原方程組的解為 方法二：由①，得y＝5－x.③ 把③代入②，得2x＋3(5－x)＝11.解得x＝4. 把x＝4代入③，得y＝5－4＝1. ∴原方程組的解為 方法三：①×3－②，得x＝4. 把x＝4代入①，得y＝1. ∴原方程組的解為 方法四：②－①×2，得y＝1. 把y＝1代入①，得x＝4. ∴原方程組的解為 考點2：一元一次方程(組)的應用 【例題2】（2019?湖北黃石?8分）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算術》）意思是：同樣時間段內，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定兩者步長相等，據(jù)此回答以下問題： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，問孰至于前，兩者幾何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人開始追趕，當走路慢的人再走600步時，請問誰在前面，兩人相隔多少步？ （2）今不善行者先行兩百步，善行者追之，問幾何步及之？即：走路慢的人先走200步，請問走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【分析】（1）設當走路慢的人再走600步時，走路快的人的走x步，根據(jù)同樣時間段內，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可； （2）設走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根據(jù)同樣時間段內，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及問題可列方程求解． 【解答】解：（1）設當走路慢的人再走600步時，走路快的人的走x步，由題意得 x：600＝100：60 ∴x＝1000 ∴1000﹣600﹣100＝300 答：當走路慢的人再走600步時，走路快的人在前面，兩人相隔300步． （2）設走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由題意得 y＝200+y ∴y＝500 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 歸納：1.列方程(組)解應用題的關鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的數(shù)量關系，并根據(jù)題意或生活實際建立等量關系；2.可根據(jù)公式尋找數(shù)量關系，如周長、面積、體積等；3.在有倍數(shù)、和差關系的應用題中，應抓住兩種量的關系，建立等量關系，這類題目中常有“一共是…”、“比…多(少)”、“是…的幾倍”、“比…幾倍多(少)”等；4.涉及幾何圖形的應用問題時，等量關系一般隱藏在圖形的性質中，如矩形對邊相等，正方形四邊相等或裁剪拼接和折疊前后的對應關系等． 考點3：二元一次方程(組)的解法 【例題3】（2018?德州）對于實數(shù)a，b，定義運算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因為4＞3．所以4◆3==5．若x，y滿足方程組，則x◆y=　 ?。? 【分析】根據(jù)二元一次方程組的解法以及新定義運算法則即可求出答案． 【解答】：由題意可知：， 解得： ∵x＜y， ∴原式=5×12=60 故答案為：60 考點4：二元一次方程(組)的應用 【例題4】(2019甘肅省隴南市)（6分）小甘到文具超市去買文具．請你根據(jù)如圖中的對話信息，求中性筆和筆記本的單價分別是多少元？ 【分析】根據(jù)對話分別利用總錢數(shù)得出等式求出答案． 【解答】解：設中性筆和筆記本的單價分別是x元、y元，根據(jù)題意可得： ， 解得：， 答：中性筆和筆記本的單價分別是2元、6元． 一、選擇題： 1. （2019?湖南懷化?4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1 【答案】A 【解答】解：x﹣2＝0， 解得：x＝2． 故選：A． 2. 若方程組的解x、y的值相等，則a的值為（　?。? A．﹣4 B．4 C．2 D．1 【考點】解三元一次方程組． 【答案】C 【解答】：由題意可得方程x=y，將此方程代入原方程組的第二個方程得：4x+3x=14，則x=y=2； 然后代入第一個方程得：2a+2（a﹣1）=6； 解得：a=2． 故選C． 3. （2019，四川巴中，4分）已知關于x、y的二元一次方程組的解是，則a+b的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 【答案】B 【解答】解：將代入得： ， ∴a+b＝2； 故選：B． 4. （2019?浙江寧波?4分）小慧去花店購買鮮花，若買5支玫瑰和3支百合，則她所帶的錢還剩下10元；若買3支玫瑰和5支百合，則她所帶的錢還缺4元．若只買8支玫瑰，則她所帶的錢還剩下（　?。? A．31元 B．30元 C．25元 D．19元 【答案】A 【解答】解：設每支玫瑰x元，每支百合y元， 依題意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4， ∴y＝x+7， ∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31． 故選：A． 5. ( 2019甘肅省蘭州市) （4分）?九章算術?是中國古代數(shù)學著作之一，書中有這樣一個問題:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重.問：每只雀、燕的重量各為多少？設一只雀的重量為x斤，一只燕的重量為y斤，則可列方程為 （ ） A. B. C. D. 【答案】C． 【解析】根據(jù)題目條件找出等量關系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互換其中一只，恰好一樣重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y＝5y+x，故選C. 二、填空題： 6. 如圖，寬為50 cm的長方形圖案由10個相同的小長方形拼成，其中一個小長方形的面積為_______cm2. 【答案】10×40＝400(cm2) 【解析】：設小長方形的長為x cm，則寬為(50－x)cm，根據(jù)題意可得： 2x＝x＋4(50－x)， 解得：x＝40， 故50－x＝10(cm)． 則一個小長方形的面積為：10×40＝400(cm2) 7. 一組“數(shù)值轉換機”按下面的程序計算，如果輸入的數(shù)是36，則輸出的結果為106，要使輸出的結果為127，則輸入的最小正整數(shù)是__________． 【答案】15 【解答】∵ 當y=127時，解得：x=43； 當y=43時，解得：x=15； 當x=15時,解得不符合條件。 則輸入的最小正整數(shù)是15. 故答案為：15. 8. （2019?湖南岳陽?4分）我國古代的數(shù)學名著《九章算術》中有下列問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺．問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會織布，每日加倍增長，5日共織布5尺．問每日各織多少布？根據(jù)此問題中的已知條件，可求得該女子第一天織布　　尺． 【答案】 【解答】解：設第一天織布x尺，則第二天織布2x尺，第三天織布4x尺，第四天織布8x尺，第五天織布16x尺，根據(jù)題意可得： x+2x+4x+8x+16x＝5， 解得：x＝， 即該女子第一天織布尺． 故答案為：． 9. 當y=﹣3時，二元一次方程3x+5y=﹣3和3y﹣2ax=a+2（關于x，y的方程）有相同的解，則a的值是 ． 【答案】﹣． 【解答】：當y=﹣3時， 3x+5×（﹣3）=﹣3， 解得：x=4， 把y=﹣3，x=4代入3y﹣2ax=a+2中得， 3×（﹣3）﹣2a×4=a+2， 解得：a=﹣． 三、解答題： 10. (2018·嘉興)用消元法解方程組時，兩位同學的解法如下： 解法一：由①－②，得3x＝3. 解法二：由②，得3x＋(x－3y)＝2，③ 把①代入③，得3x＋5＝2. (1)反思：上述兩個解題過程中有無計算錯誤？若有錯誤，請在錯誤處打“×”； (2)請選擇一種你喜歡的方法，完成解答． 【解析(1)解法一中的解題過程有錯誤， 由①－②，得3x＝3“×”． 應為由①－②，得－3x＝3. (2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1. 把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2. 故原方程組的解是 11. 已知n邊形的內角和θ＝(n－2)×180°. (1)甲同學說，θ能取360°；而乙同學說，θ也能取630°.甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n；若不對，說明理由； (2)若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內角和增加了360°，用列方程的方法確定x. 【解析(1)甲對，乙不對．理由： ∵θ＝360°，∴(n－2)×180°＝360°. 解得n＝4. ∵θ＝630°，∴(n－2)×180°＝630°.解得n＝. ∵n為整數(shù)，∴θ不能取630°. (2)依題意，得 (n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°. 解得x＝2. 12. (2017·海南)在某市“棚戶區(qū)改造”建設工程中，有甲、乙兩種車輛參加運土，已知5輛甲種車和2輛乙種車一次共運土64立方米，3輛甲種車和1輛乙種車一次共運土36立方米，求甲、乙兩種車每輛一次分別運土多少立方米． 【解答】　解：方法一：設甲種車每輛一次運土x立方米，乙種車每輛一次運土y立方米，由題意，得 解得 答：甲種車每輛一次運土8立方米，乙種車每輛一次運土12立方米． 方法二：設甲種車每輛一次運土x立方米，則乙種車每輛一次運土(36－3x)立方米，由題意，得 5x＋2(36－3x)＝64，解得x＝8.則36－3x ＝12. 答：甲種車每輛一次運土8立方米，乙種車每輛一次運土12立方米． 方法三：設乙種車每輛一次運土x立方米，則甲種車每輛一次運土立方米，由題意，得 5×＋2x＝64，解得x＝12.則＝8. 答：甲種車每輛一次運土8立方米，乙種車每輛一次運土12立方米． 方法四：設甲種車每輛一次運土x立方米，則乙種車每輛一次運土立方米，由題意，得 3x＋＝36，解得x＝8.則＝12. 答：甲種車每輛一次運土8立方米，乙種車每輛一次運土12立方米． 方法五：設乙種車每輛一次運土x立方米，則甲種車每輛一次運土立方米，由題意，得 3×＋x＝36，解得x＝12.則＝8. 答：甲種車每輛一次運土8立方米，乙種車每輛一次運土12立方米． 13. (2019安徽)（8分）為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負責施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作多少天？ 【分析】設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x﹣2）米．根據(jù)“甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米”列出方程，然后求工作時間． 【解答】解：設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x﹣2）米， 由題意，得2x+（x+x﹣2）＝26， 解得x＝7， 所以乙工程隊每天掘進5米， =10（天） 答：甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作10天． 14. 如圖，已知數(shù)軸上一枚硬幣恰好與原點O相切，將這枚硬幣沿數(shù)軸向右無滑動滾動一周，點O恰好到達點A處． (1)將這枚硬幣從點A開始沿坐標軸向左滾動兩周，到達點B，則點B對應的數(shù)是－3； (2)將這枚硬幣從表示數(shù)a的點C處開始，先向左滾動1周，得到點D，再向右滾動5周得到點E，最后向左滾動2周得到點F.若點D，E，F(xiàn)所代表的數(shù)字之和為8，求a的值． 【解析】根據(jù)題意，點C表示的數(shù)為a，向左滾動1周得到點D， 則點D表示的數(shù)為a－3，再向右滾動5周得到點E， 則點E表示的數(shù)為a－3＋3×5，再向左滾動2周得到點F， 則點F表示的數(shù)為a－3＋3×5－3×2， ∴a－3＋(a－3＋15)＋(a－3＋15－6)＝8， 解得a＝－. 10