高中數學福爾摩斯破案記集合素材新人教A版必修.doc
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高中數學福爾摩斯破案記集合素材新人教A版必修.doc
福爾摩斯破案記-集合盡管集合對于大家多不陌生,但集合與元素的關系,元素的特征,初學者理解卻常犯錯。下面借助福爾摩斯破案記-集合與元素進行說明,以期對讀者有所幫助。線索一:集合是整體,但整體未必是集合集合是原始不定義的概念,一般地,在數學中,我們把所有的研究對象集在一起,叫構成了集合。實際上,從上述描述性的定義可以看出,集合就是一個整體。例:判斷下列哪些能構成集合(1)高一(9)班所有的近視眼的同學構成集合。(2)所有的平行四邊形構成集合。錯解:(1)(2)都能構成集合。剖析:(1)(2)都是整體。(1)很多同學認為戴眼鏡就是近視眼的標準,眼睛度數多少度為近視眼無法說清,近視眼就是模棱兩可的,是不可以衡量的。所以不能構成集合。(2)平行四邊形是確定的,因為平行四邊形是指在平面內,對邊平行且相等的四邊形。因此,可以構成集合。正解:(1)不能構成集合,(2)能構成集合。點評:集合有其特殊性:(1)構成集合的對象必須是“確定的”,其中確定是指構成集合的對象不是模棱兩可的,是可以衡量的。(2)集合一般用大括號表示。而整體只是把研究對象看成一個不同于研究對象的個體,里面的研究對象是任意的。線索二:抓住元素的含義和特征元素的特征:(1)確定性。指構成集合的元素必須是“確定的”,其中確定是指構成集合的元素不是模棱兩可的,是可以衡量的(2)互異性。指構成集合的元素必須是“互不相同的,相同的只能出現一次”(3)無序性。指構成集合的元素必須是“出現順序是任意的”。是同一集合嗎?錯解:集合A和集合B是同一集合。剖析;此題初學者非常容易犯錯。很容易認為屬性都是,因此是相同集合。其實,元素并不一樣,集合A的元素是y,集合B的元素是點(x,y),另外,從幾何角度講,集合A表示的是函數的函數值的所有取值;集合B表示的是函數圖像上所有點構成的集合。正解:集合A的元素是y,集合B的元素是點(x,y),集合A表示的是函數的函數值的所有取值,由于函數是二次函數,開口向下,所以有最大值4,實際上,;集合B表示的是函數圖像上所有點構成的集合。所以集合A與B不是同一集合。點評:識別描述法表示下的集合元素是什么,關鍵在于看中“”左側,右側是元素的特征或性質。具體有以下幾類: -元素是x; -元素分別為x與t(x); -元素為點(x,y)例:判斷下列說法是否正確,并說明理由。錯解:(1)(2)均正確。剖析:利用集合元素的三大特征,不難作出判斷。正解:(1)不正確,故(1)中的數構成的集合只有三個元素。(2)正確。點評:解決此類題,關鍵是應用集合的概念和集合元素的特征。度重視。,必須在學習中引起高最易被忽視確與否,特別是互異性要利用他們檢驗解正性解題,確定性,互異性和無序點評:應用元素的綜上所述,都舍去,和。由上可知,或,則若,符合。時,集合為當,舍去。時,集合為當。,則若互異性,舍去。,不符合集合中元素的此時集合為,則正解:若。,由互異性可知或110101,0,111,0,11110,0,1.00.0,1,1,02222-=-=xxxxxxxxxxxxxxxx剖析:由確定性可知,線索三:元素與集合的關系和集合與集合的關系按照描述性定義:構成集合的研究對象叫做集合的元素。所以研究對象要么在給定集合中,要么不在給定集合中,即元素屬于給定集合或者元素不屬于給定集合。如,下面舉例說明元素的含義、元素與集合的關系和集合與集合的關系。1.元素的含義、元素與集合的關系:錯解:剖析:集合A中的元素都在集合B中,所以集合A是集合B的子集,即;元素與集合關系是屬于與不屬于的關系。正解; 點評:元素與集合關系是屬于與不屬于的關系;2.集合與集合的關系:集合與集合的關系包括:包含關系;相等關系。(1)包含關系例.已知集合A=x|x23x100,集合B=x|p1x2p1若BA,則實數p的取值范圍是_錯解:由x23x100得2x5 欲使BA,只須 p的取值范圍是3p3剖析:上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結論,即B=時,符合題設應分二類:當B當B=正解:由題意有:當B時,即p12p1p2由BA得:2p1且2p15由3p3 2p3.當B=時,即p1>2p1p2由、得:p3點評:解決有關BA等集合問題易忽視空集的情況而出現漏解,這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題,進行準確的分類討論 同時須記住,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。(2)相等關系例.已知集合A=,b, 2b,B=,c, c2若A=B,求c的值錯解:b=c且2b=c2,消去b得:c22c=0,=0時,集合B中的三元素均為零,和元素的互異性相矛盾,故0c22c1=0,即c=1,但c=1時,B中的三元素又相同,故此題無解剖析:要解決c的求值問題,關鍵是要有方程的數學思想,此題應根據相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性,無序性建立關系式 分兩種情況進行討論(1)b=c且2b=c2 (2)b=c2且2b=c,正解;(1)若b=c且2b=c2,消去b得:c22c=0,=0時,集合B中的三元素均為零,和元素的互異性相矛盾,故0c22c1=0,即c=1,但c=1時,B中的三元素又相同,此時無解(2)若b=c2且2b=c,消去b得:2c2c=0,0,2c2c1=0,即(c1)(2c1)=0,又c1,故c =點評:解決集合相等的問題易產生與互異性相矛盾的增解,這需要解題后進行檢驗和修正。通過認真分析以上線索,福爾摩斯順利揭開了集合與元素,集合與集合這一錯綜復雜的案情的本質,完美的偵破了不少高一新偵查員們日思夢想想征破的懸案。