高中數學福爾摩斯破案記集合素材新人教A版必修.doc

福爾摩斯破案記-集合盡管集合對于大家多不陌生，但集合與元素的關系，元素的特征，初學者理解卻常犯錯。下面借助福爾摩斯破案記-集合與元素進行說明，以期對讀者有所幫助。線索一：集合是整體，但整體未必是集合集合是原始不定義的概念，一般地，在數學中，我們把所有的研究對象集在一起，叫構成了集合。實際上，從上述描述性的定義可以看出，集合就是一個整體。例：判斷下列哪些能構成集合（1）高一（9）班所有的近視眼的同學構成集合。（2）所有的平行四邊形構成集合。錯解：（1）（2）都能構成集合。剖析：（1）（2）都是整體。（1）很多同學認為戴眼鏡就是近視眼的標準，眼睛度數多少度為近視眼無法說清，近視眼就是模棱兩可的，是不可以衡量的。所以不能構成集合。（2）平行四邊形是確定的，因為平行四邊形是指在平面內，對邊平行且相等的四邊形。因此，可以構成集合。正解：（1）不能構成集合，（2）能構成集合。點評：集合有其特殊性：（1）構成集合的對象必須是“確定的”，其中確定是指構成集合的對象不是模棱兩可的，是可以衡量的。（2）集合一般用大括號表示。而整體只是把研究對象看成一個不同于研究對象的個體，里面的研究對象是任意的。線索二：抓住元素的含義和特征元素的特征：（1）確定性。指構成集合的元素必須是“確定的”，其中確定是指構成集合的元素不是模棱兩可的，是可以衡量的（2）互異性。指構成集合的元素必須是“互不相同的，相同的只能出現一次”（3）無序性。指構成集合的元素必須是“出現順序是任意的”。是同一集合嗎？錯解：集合A和集合B是同一集合。剖析;此題初學者非常容易犯錯。很容易認為屬性都是，因此是相同集合。其實，元素并不一樣，集合A的元素是y,集合B的元素是點（x,y），另外，從幾何角度講，集合A表示的是函數的函數值的所有取值；集合B表示的是函數圖像上所有點構成的集合。正解：集合A的元素是y,集合B的元素是點（x,y），集合A表示的是函數的函數值的所有取值，由于函數是二次函數，開口向下，所以有最大值4，實際上，；集合B表示的是函數圖像上所有點構成的集合。所以集合A與B不是同一集合。點評：識別描述法表示下的集合元素是什么，關鍵在于看中“”左側，右側是元素的特征或性質。具體有以下幾類： -元素是x； -元素分別為x與t(x)； -元素為點（x,y）例：判斷下列說法是否正確，并說明理由。錯解：（1）（2）均正確。剖析：利用集合元素的三大特征，不難作出判斷。正解：（1）不正確，故（1）中的數構成的集合只有三個元素。（2）正確。點評：解決此類題，關鍵是應用集合的概念和集合元素的特征。度重視。，必須在學習中引起高最易被忽視確與否，特別是互異性要利用他們檢驗解正性解題，確定性，互異性和無序點評：應用元素的綜上所述，都舍去，和。由上可知，或，則若，符合。時，集合為當，舍去。時，集合為當。，則若互異性，舍去。，不符合集合中元素的此時集合為，則正解：若。，由互異性可知或110101,0,111,0,11110,0,1.00.0,1,1,02222-=-=xxxxxxxxxxxxxxxx剖析：由確定性可知，線索三：元素與集合的關系和集合與集合的關系按照描述性定義：構成集合的研究對象叫做集合的元素。所以研究對象要么在給定集合中，要么不在給定集合中，即元素屬于給定集合或者元素不屬于給定集合。如，下面舉例說明元素的含義、元素與集合的關系和集合與集合的關系。1.元素的含義、元素與集合的關系：錯解：剖析：集合A中的元素都在集合B中，所以集合A是集合B的子集，即；元素與集合關系是屬于與不屬于的關系。正解; 點評：元素與集合關系是屬于與不屬于的關系；2.集合與集合的關系：集合與集合的關系包括：包含關系；相等關系。（1）包含關系例.已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，則實數p的取值范圍是_錯解：由x23x100得2x5 欲使BA，只須 p的取值范圍是3p3剖析：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結論，即B=時，符合題設應分二類：當B當B=正解：由題意有：當B時，即p12p1p2由BA得：2p1且2p15由3p3 2p3.當B=時，即p1>2p1p2由、得：p3點評：解決有關BA等集合問題易忽視空集的情況而出現漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題，進行準確的分類討論 同時須記住，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（2）相等關系例.已知集合A=,b, 2b，B=,c, c2若A=B，求c的值錯解：b=c且2b=c2，消去b得：c22c=0，=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故0c22c1=0，即c=1，但c=1時，B中的三元素又相同，故此題無解剖析：要解決c的求值問題，關鍵是要有方程的數學思想，此題應根據相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關系式 分兩種情況進行討論（1）b=c且2b=c2 （2）b=c2且2b=c，正解;（1）若b=c且2b=c2，消去b得：c22c=0，=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故0c22c1=0，即c=1，但c=1時，B中的三元素又相同，此時無解（2）若b=c2且2b=c，消去b得：2c2c=0，0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c =點評：解決集合相等的問題易產生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進行檢驗和修正。通過認真分析以上線索，福爾摩斯順利揭開了集合與元素，集合與集合這一錯綜復雜的案情的本質，完美的偵破了不少高一新偵查員們日思夢想想征破的懸案。