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第6章無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設(shè)計 6 1數(shù)字濾波器的基本概念6 2模擬濾波器的設(shè)計6 3用脈沖響應不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器6 4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器6 5數(shù)字高通 帶通和帶阻濾波器的設(shè)計 6 1數(shù)字濾波器的基本概念 數(shù)字濾波器 輸入輸出均為數(shù)字信號 經(jīng)過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件 優(yōu)點 與模擬濾波器比 精度高 穩(wěn)定 體積小 重量輕 靈活 不要求阻抗匹配 能實現(xiàn)模擬濾波器 AF 無法實現(xiàn)的特殊濾波功能 1 數(shù)字濾波器的分類2 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求3 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述 1 數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器 輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶 通過選頻濾波器達到目的 現(xiàn)代濾波器 如維納濾波器 卡爾曼濾波器 自適應濾波器等最佳濾波器 按隨機信號內(nèi)部的統(tǒng)計分布規(guī)律 從干擾中最佳提取信號 數(shù)字濾波器的頻響函數(shù)都以為周期 濾波器的低通頻帶處于整數(shù)倍處 高頻頻帶處于的奇數(shù)倍附近 從功能上分類 低通 高通 帶通 帶阻濾波器 其他較復雜的特性可以由基本濾波器組合 數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應分類 無限脈沖響應 IIR 濾波器 有限脈沖響應 FIR 濾波器 2 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器 1 數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H ej 其中 幅頻特性 信號通過濾波器后的各頻率成分衰減情況相頻特性 各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況 低通濾波器的技術(shù)要求 選頻濾波器 一般要求幅頻特性 相頻特性一般不要求 但若對輸出波形有要求 則需要考慮相頻特性的技術(shù)指標 如語音合成 波形傳輸 若對輸出波形有嚴格要求 則需設(shè)計線性相位數(shù)字濾波器 實用濾波器 通帶 不一定完全水平阻帶 不一定絕對衰減到零過渡帶 通帶 阻帶之間設(shè)置一定寬度的過渡帶 2 數(shù)字濾波器的幅頻特性 H ej 的指標 p 通帶截止頻率 通帶頻率范圍 0 p S 阻帶截止頻率 阻帶頻率范圍 s C 3dB截止頻率 P 通帶最大衰減 S 阻帶最小衰減 1 通帶內(nèi)幅度響應誤差范圍 2 阻帶內(nèi)幅度響應誤差范圍 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示 p和 s分別定義為 如將 H ej0 歸一化為1 上兩式則表示成當幅度衰減到 2 2倍時 所對應頻率 c 此時 P 3dB 稱 c為3dB截止頻率 1 通帶邊界頻率2 阻帶截止頻率 過渡帶 一般單調(diào)下降 通帶內(nèi)允許的最大衰減 阻帶內(nèi)允許的最小衰減 3dB通帶截止頻率 3dB時的 邊界頻率 例 低通濾波器的技術(shù)要求 IIR濾波器設(shè)計方法借助模擬濾波器設(shè)計方法 直接設(shè)計法 直接在頻域或時域設(shè)計 需計算機輔助設(shè)計 FIR濾波器設(shè)計方法窗函數(shù)法頻率采樣法等波紋逼近法 需計算機輔助設(shè)計 線性相位濾波器設(shè)計方法FIR濾波器 常用 相位特性嚴格線性 這是AF無法達到的 IIR濾波器 必須使用全通網(wǎng)絡(luò)對其非線性相位特性進行相位校正 3 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述 3 數(shù)字濾波器設(shè)計方法IIR濾波器設(shè)計方法 1 先設(shè)計模擬濾波器 AF 的傳輸函數(shù)Ha s 然后按某種變換 將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 2 借助計算機輔助設(shè)計在頻域或時域直接進行設(shè)計 FIR濾波器設(shè)計方法 1 經(jīng)常采用的是窗函數(shù)設(shè)計法和頻率采樣法 2 用計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設(shè)計 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當成熟 且有若干典型的模擬濾波器可以選擇 如 巴特沃斯 Butterworth 濾波器 切比雪夫 Chebyshev 濾波器 橢圓 Kllipse 濾波器 貝塞爾 Bessel 濾波器等這些濾波器都有嚴格的設(shè)計公式 現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用 6 2模擬濾波器的設(shè)計 各種理想模擬濾波器的幅度特性 1 模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法 1 模擬低通濾波器的設(shè)計指標有 p s p s其中 p和 s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率 p是通帶 0 p 中的最大衰減系數(shù) s是阻帶 s的最小衰減系數(shù) p和 s一般用dB數(shù)表示 對于單調(diào)下降的幅度特性 可表示成 Ha j0 2 Ha j0 2 如果 0處幅度已歸一化到1 即 Ha j0 1 c稱為3dB截止頻率 因 2 用模擬濾波器逼近方法設(shè)計數(shù)字IIR濾波器步驟 給出模擬濾波器的技術(shù)指標 設(shè)計傳輸函數(shù)Ha s 使其幅度平方函數(shù)滿足給定指標 p和 s Ha j 2 Ha j Ha j Ha s Ha s S j 確定Ha s 系統(tǒng)Ha s 應是穩(wěn)定的系統(tǒng) 因此 極點應位于S左半平面內(nèi) 6 2模擬濾波器的設(shè)計 模擬濾波器若干典型濾波器 巴特沃斯 Butterworth 濾波器切比雪夫 Chebyshev 濾波器橢圓 Cauer 濾波器貝塞爾 Bessel 濾波器等 模擬濾波器的分類 按幅頻特性 低通 高通 帶通 帶阻 圖6 2 1各種理想濾波器的幅頻特性 1 p 通帶截止頻率2 s 阻帶截止頻率 1 模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法 模擬低通濾波器的設(shè)計指標 低通濾波器的幅度特性 3 通帶 0 p 內(nèi)允許的最大衰減 p4 阻帶 s內(nèi)允許的最小衰減 s5 3dB通帶截止頻率 p 3dB時的 c 6 歸一化的 p和 s如果 0處幅度已歸一化到1 即 Ha j0 1 對于單調(diào)下降的幅度特性 濾波器的技術(shù)指標給定后 需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha s 希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標 p和 s 一般濾波器的單位沖激響應為實數(shù) 因此 傳輸函數(shù)設(shè)計方法 注意 Ha s 必須是穩(wěn)定的 因此其極點落在s平面的左半平面 6 3用脈沖響應不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器 1 從模擬濾波器到數(shù)字濾波器的設(shè)計過程 按照設(shè)計要求設(shè)計一個模擬低通濾波器 得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha s 再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H Z 關(guān)鍵問題 將s平面上的Ha s 轉(zhuǎn)換成Z平面上的H Z 為了保證轉(zhuǎn)換后的H z 穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求 對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 仍是因果穩(wěn)定的 即S平面的左半平面Re s 0必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部 z 1 2 數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響 s平面的虛軸映射z平面的單位圓 相應的頻率之間成線性關(guān)系 通過對連續(xù)函數(shù)等間隔采樣得到離散序列使 T為采樣間隔 它是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法 2 脈沖響應不變法的轉(zhuǎn)換原理 核心原理 轉(zhuǎn)換步驟 設(shè)模擬濾波器Ha s 只有單階極點 且分母多項式的階次高于分子多項式的階次 將Ha s 用部分分式表示 6 3 1 將Ha s 進行逆拉氏變換得到ha t 6 3 2 si為Ha s 的單階極點 u t 是單位階躍函數(shù) 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha s 相應的單位沖激響應是ha t 6 3 3 對上式進行Z變換 得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 6 3 4 對ha t 進行等間隔采樣 采樣間隔為T 得到 設(shè)ha t 的采樣信號用表示 1 拉氏變換與Z變換的映射關(guān)系 6 3 5 對進行拉氏變換 得到 ha nT 是ha t 在采樣點t nT時的幅度值 它與序列h n 的幅度值相等 即h n ha nT 因此得到 上式表示采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示 6 3 6 標準映射關(guān)系 按照 6 3 6 式 得到 因此得到 6 3 10 設(shè) 2 s平面與Z平面的映射 那么 0 r 1 0 r 1另外 注意到z esT是一個周期函數(shù) 可寫成 為任意整數(shù) 圖6 3 1z esT s平面與z平面之間的映射關(guān)系 模擬信號ha t 的傅里葉變換Ha j 和其采樣信號的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足 6 3 7 將s j 代入上式 得 由 6 3 5 式和 6 3 8 式得到 6 3 8 6 3 9 表明將模擬信號ha t 的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期 s 2 T延拓后 再按照 6 3 6 式映射關(guān)系 映射到z平面上 就得到H z 圖6 3 2脈沖響應不變法的頻率混疊現(xiàn)象 3 混疊失真 假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象 即滿足按照 6 3 9 式 并將關(guān)系式s j 代入 T 代入得到 令 4 與的關(guān)系 那么 此時 極點為 6 3 11 可以推導出相應的數(shù)字濾波器二階基本節(jié) 只有實數(shù)乘法 的形式為 6 3 12 3 二階基本節(jié) 一般Ha s 的極點si是一個復數(shù) 且以共軛成對的形式出現(xiàn) 在 6 3 1 式中將一對復數(shù)共軛極點放在一起 形成一個二階基本節(jié) 如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 極點為 6 3 13 6 3 14 則對應的數(shù)字濾波器的二階基本階的形式為 6 總結(jié) 脈沖響應不變法的優(yōu)點 1 頻率坐標變換是線性的 即 T 如果不考慮頻率混疊現(xiàn)象 用這種方法設(shè)計的數(shù)字濾波器會很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性 2 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應 時域特性逼近好 脈沖響應不變法的缺點 會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象 適合低通 帶通濾波器的設(shè)計 不適合高通 帶阻濾波器的設(shè)計 5 例6 3 1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha s 為用脈沖響應不變法將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 極點為 那么H z 的極點為 解 首先將Ha s 寫成部分分式 轉(zhuǎn)換時 也可以直接按照 6 3 13 6 3 14 式進行轉(zhuǎn)換 首先將Ha s 寫成 6 3 13 式的形式 如極點s1 s2 1 j 1 則 按照 6 3 4 式 并經(jīng)過整理 得到 設(shè)T 1s時用H1 z 表示 T 0 1s時用H2 z 表示 則 再按照 6 3 14 式 H z 為 圖6 3 3例6 3 1的幅度特性 復習 數(shù)字濾波器的幅頻響應函數(shù)濾波器的指標常常在頻域給出 數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)H ej 一般為復函數(shù) 所以通常表示為H ej H ej ej 其中 H ej 稱為幅頻特性函數(shù) 稱為相頻特性函數(shù) 常用的典型濾波器 H ej 是歸一化的 即 H ej max 1 對IIR數(shù)字濾波器 通常用幅頻響應函數(shù) H ej 來描述設(shè)計指標 注意 H ej 是以2 為周期的 這是數(shù)字濾波器與模擬濾波器的最大區(qū)別 只給出主值區(qū) 區(qū)間上的設(shè)計指標描述即可 1和 2分別稱為通帶波紋幅度和阻帶波紋幅度 p為通帶邊界頻率 p為通帶最大衰減 dB s為阻帶邊界頻率 s為阻帶最小衰減 dB 一般要求 當0 p時 20lg Hej p 當 s 時 s 20lg H ej 當 p 3dB時 記 p為 c 稱 c為3dB截止頻率 脈沖響應不變法的缺點 頻譜混疊 使DF的頻響偏離AF的頻響特性原因 模擬低通濾波器不是帶限于 T 在數(shù)字化后產(chǎn)生頻譜混疊 再通過標準映射關(guān)系 使數(shù)字濾波器在 附近形成頻譜混疊 解決辦法 采用非線性頻率壓縮方法 將整個頻率軸壓縮到 T T 再利用z esT轉(zhuǎn)換到Z平面上 脈沖響應不變法的特點 1 優(yōu)點 1 數(shù)字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能 2 頻率坐標的變換是線性的 3 如果H s 是穩(wěn)定的 映射后得到的H Z 也是穩(wěn)定的2 缺點 有頻譜周期延拓效應 只能用于帶限的頻響特性高頻衰減越大 頻響的混淆效應越小 3 解決的辦法 1 增加一保護濾波器 濾掉高于折疊頻率的頻帶會增加設(shè)計的復雜性和濾波器階數(shù) 2 克服標準映射關(guān)系的多值對應關(guān)系設(shè)想變換分為兩步 第一步 將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里 第二步 通過標準變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去 由此建立S平面與Z平面一一對應的單值關(guān)系 消除多值性 也就消除了混疊現(xiàn)象 6 4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器 1 雙線性變換法的基本原理 S平面的整個j 軸被壓縮到S1平面的2 T一段 6 4 3 6 4 4 圖6 4 1雙線性變換法的映射關(guān)系 2 模擬頻率 和數(shù)字頻率 之間的關(guān)系 令s j z ej s平面上 與z平面上的 成非線性關(guān)系 在零頻率附近 接近于線性關(guān)系 進一步增加時 增長變得緩慢 終止于折疊頻率處 所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象 3 雙線性變換法的缺點 與 成非線性關(guān)系 導致 1 數(shù)字濾波器的頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器的曲線形狀 發(fā)生畸變 例如 一個模擬微分器 它的幅度與頻率是直線關(guān)系 但通過雙線性變換后 就不可能得到數(shù)字微分器 2 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后 得到的數(shù)字濾波器為非線性相位 3 要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段恒定的 故雙線性變換只能用于設(shè)計低通 高通 帶通 帶阻等選頻濾波器 目前仍是使用得最普遍 最有成效的一種設(shè)計工具 原因 大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性 它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性 在阻帶部分要求逼近一個衰減為 的常數(shù)特性 這種特性的濾波器通過雙線性變換后 雖然頻率發(fā)生了非線性變化 但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性 4 預畸變校正 模擬濾波器H s 雙線性變換后 得到的H z 在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的起伏特性 只是截止頻率 以及起伏的峰點 谷點頻率等臨界頻率點發(fā)生了非線性變化 即畸變 校正方法 將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變 然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上 利用關(guān)系式 將所要設(shè)計的數(shù)字濾波器臨界頻率點變換成對應的模擬域頻率臨界頻率點 設(shè)計模擬濾波器 再通過雙線性變換 即可得到所需的數(shù)字濾波器 5 計算H z 雙線性變換比脈沖響應法的設(shè)計計算更直接和簡單 由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系 所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) 置換過程 頻響 例6 4 1試分別用脈沖響應不變法和雙線性不變法將圖示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 利用脈沖響應不變法轉(zhuǎn)換 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1 z 為 解 首先寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha s 為 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2 z 為 H1 z 和H2 z 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6 4 5 a b 所示 圖6 4 5例6 4 1圖 H1 z 和H2 z 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) a H1 z b H2 z 數(shù)字濾波器H1 z 和H2 z 的幅頻特性 如果采用雙線性變換法 邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 6 利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟 1 確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標 通帶截止頻率 p 通帶衰減 p 阻帶截止頻率 s 阻帶衰減 s 2 將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標 3 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器 4 將模擬濾波器Ha s 從s平面轉(zhuǎn)換到z平面 得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H z 如果采用脈沖響應不變法 邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 7 T的選擇 脈沖響應不變法 如采用脈沖響應不變法 為避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象 要求所設(shè)計的模擬低通濾波器帶限于之間 由于實際濾波器都有一定寬度過渡帶 可選擇T滿足公式 若先給定數(shù)字低通的技術(shù)指標時 由于數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)以2 為周期 最高頻率在 處 因此 按照線性關(guān)系 那么一定滿足 這樣T可以任選 雙線性變換法 不存在頻率混疊現(xiàn)象 尤其對于設(shè)計片斷常數(shù)濾波器 T可任選 1 用脈沖響應不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器 數(shù)字低通的技術(shù)指標為 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 模擬低通的技術(shù)指標為T 1s p 0 2 rad s p 1dB s 0 3 rad s s 15dB 例6 4 2設(shè)計低通數(shù)字濾波器 要求在通帶內(nèi)頻率低于0 2 rad時 容許幅度誤差在1dB以內(nèi) 在頻率0 3 到 之間的阻帶衰減大于15dB 指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器 試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器 解 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器 先計算階數(shù)N及3dB截止頻率 c 取N 6 為求3dB截止頻率 c 將 p和 p代入得到 c 0 7032rad s 顯然此值滿足通帶技術(shù)要求 同時給阻帶衰減留一定余量 這對防止頻率混疊有一定好處 為去歸一化 將p s c代入Ha p 中 得到實際的傳輸函數(shù)Ha s 根據(jù)階數(shù)N 6 查表6 2 1 得到歸一化傳輸函數(shù)為 用脈沖響應不變法將Ha s 轉(zhuǎn)換成H z 首先將Ha s 進行部分分式 并按照 6 3 11 式 6 3 12 式 或者 6 3 13 式和 6 3 14 式 得到 圖6 4 7例6 4 2圖 用脈沖響應不變法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 2 用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器 數(shù)字低通技術(shù)指標仍為 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 模擬低通的技術(shù)指標為 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器 階數(shù)N計算如下 取N 6 為求 c 將 s和 s代入 6 2 18 式中 得到 c 0 7662rad s 這樣阻帶技術(shù)指標滿足要求 通帶指標已經(jīng)超過 根據(jù)N 6 查表6 2 1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha p 與脈沖響應不變法得到的相同 為去歸一化 將p s c代入Ha p 得實際的Ha s 用雙線性變換法將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H z 圖6 4 8例6 4 2圖 用雙線性變換法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 2 將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標 轉(zhuǎn)換公式為 6 5數(shù)字高通 帶通和帶阻濾波器的設(shè)計 具體設(shè)計步驟如下 1 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標 3 將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標 具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6 2節(jié) 4 設(shè)計模擬低通濾波器 5 將模擬低通通過頻率變換 轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器 6 采用雙線性變換法 將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器 例6 5 1設(shè)計一個數(shù)字高通濾波器 要求通帶截止頻率 p 0 8 rad 通帶衰減不大于3dB 阻帶截止頻率 s 0 44 rad 阻帶衰減不小于15dB 希望采用巴特沃斯型濾波器 解 1 數(shù)字高通的技術(shù)指標為 p 0 8 rad p 3dB s 0 44 rad s 15dB 2 模擬高通的技術(shù)指標計算如下 令T 1 則有 3 模擬低通濾波器的技術(shù)指標計算如下 將 p和 s對3dB截止頻率 c歸一化 這里 c p 4 設(shè)計歸一化模擬低通濾波器G p 模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下 為去歸一化 將p s c代入上式得到 5 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通 將上式中G s 的變量換成1 s 得到模擬高通Ha s 查表6 2 1 得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G p 為 6 用雙線性變換法將模擬高通H s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H z 實際上 5 6 兩步可合并成一步 即 例6 5 2設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器 通帶范圍為0 3 rad到0 4 rad 通帶內(nèi)最大衰減為3dB 0 2 rad以下和0 5 rad以上為阻帶 阻帶內(nèi)最小衰減為18dB 采用巴特沃斯型模擬低通濾波器 解 1 數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標為通帶上截止頻率 u 0 4 rad通帶下截止頻率 l 0 3 rad 阻帶上截止頻率 s2 0 5 rad阻帶下截止頻率 s1 0 2 rad通帶內(nèi)最大衰減 p 3dB 阻帶內(nèi)最小衰減 s 18dB 2 模擬帶通濾波器技術(shù)指標如下 設(shè)T 1 則有 通帶中心頻率 帶寬 將以上邊界頻率對帶寬B歸一化 得到 u 3 348 l 2 348 s2 4 608 s1 1 498 0 2 804 3 模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標 歸一化阻帶截止頻率 歸一化通帶截止頻率 p 1 p 3dB s 18dB 4 設(shè)計模擬低通濾波器 查表6 2 1 得到歸一化低通傳輸函數(shù)G p 5 將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通 6 通過雙線性變換法將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H z 下面將 5 6 兩步合成一步計算 將上式代入 5 中的轉(zhuǎn)換公式 得 將上面的p等式代入G p 中 得 例6 5 3設(shè)計一個數(shù)字帶阻濾波器 通帶下限頻率 l 0 19 阻帶下截止頻率 s1 0 198 阻帶上截止頻率 s2 0 202 通帶上限頻率 u 0 21 阻帶最小衰減 s 13dB l和 u處衰減 p 3dB 采用巴特沃斯型 解 1 數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標 l 0 19 rad u 0 21 rad p 3dB s1 0 198 rad s2 0 202 rad s 13dB 2 模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標 設(shè)T 1 則有 阻帶中心頻率平方為 20 l u 0 421阻帶帶寬為B u l 0 07rad s 將以上邊界頻率對B歸一化 l 8 786 u 9 786 s1 9 186 s2 9 386 20 l u 85 98 3 模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標 按照 6 2 48 式 有 p 1 p 3dB 4 設(shè)計模擬低通濾波器 5 將G p 轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha s 6 將Ha s 通過雙線性變換 得到數(shù)字阻帶濾波器H z 6 6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法 1 零極點累試法 2 在確定零極點位置時要注意 極點必須位于z平面單位圓內(nèi) 保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定 復數(shù)零極點必須共軛成對 保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實的 1 定義 根據(jù)幅度特性先確定零極點位置 再按照確定的零極點寫出系統(tǒng)函數(shù) 畫出其幅度特性 并與希望的進行比較 如不滿足要求 可通過移動零極點位置或增加 減少 零極點 進行修正 這種修正是多次的 因此稱為零極點累試法 圖6 6 1例6 6 1圖 a 零極點分布 b 幅度特性 6 6 1 Hd ej 是希望設(shè)計的濾波器頻響 如果在 0 區(qū)間取N點數(shù)字頻率 i i 1 2 N 在這N點頻率上 比較 Hd ej 和 H ej 寫出兩者的幅度平方誤差E為 6 6 2 2 在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 設(shè)IIR濾波器由K個二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)而成 系統(tǒng)函數(shù)用H z 表示 A是常數(shù) ai bi ci di是待求的系數(shù) 中共有 4K 1 個待定的系數(shù) 求它們的原則是使E最小 6 6 3 下面我們研究采用 6 6 1 式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 如何求出 4K 1 系數(shù) 按照 6 6 2 式 E是 4K 1 個未知數(shù)的函數(shù) 用下式表示 表示4K個系數(shù)組成的系數(shù)向量 為推導公式方便 令 為選擇A使E最小 令 6 6 4 設(shè) k是 的第k個分量 ak或bk或ck或dk 6 6 5 因為 式中H i表示對Hi函數(shù)共軛 6 6 6 將上式具體寫成對ak bk ck dk的偏導 得到 6 6 7 同理求得 6 6 8 6 6 9 6 6 10 由于系統(tǒng)函數(shù)是一個有理函數(shù) 極 零點均以共軛成對的形式存在 對于極點z1 一定有下面關(guān)系 6 6 11 圖6 6 2例6 6 2圖 a 要求的幅度特性 b k 1 2時的幅度特性 例6 6 2設(shè)計低通數(shù)字濾波器 其幅度特性如圖6 6 2 a 所示 截止頻率 s 0 1 rad 解 考慮到通帶和過渡帶的重要 在0 0 2 區(qū)間 每隔0 01 取一點 i值 在0 2 區(qū)間每隔0 1 取一點 i值 并增加一點過渡帶 在 0 1 處 Hd ej 0 51 0 0 0 01 0 02 0 09 0 5 0 1 0 0 0 11 0 12 0 19 0 0 0 2 0 3 N 29 取k 1 系統(tǒng)函數(shù)為 待求的參數(shù)是A a1 b1 c1 d1 設(shè)初始值 0000 25 T經(jīng)90次迭代 求得E 1 2611 系統(tǒng)函數(shù)零 極點位置為零點0 67834430 j0 73474418 極點0 75677793 j1 3213916為使濾波器因果穩(wěn)定 將極點按其倒數(shù)搬入單位圓內(nèi) 再進行62次優(yōu)化迭代 求得結(jié)果為零點0 82191163 j0 56961501 極點0 89176390 j0 19181084 Ag 0 11733978 E 0 56731 誤差函數(shù)用下式表示 6 6 12 6 6 13 3 在時域直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 設(shè)濾波器是因果性的 系統(tǒng)函數(shù)為 a0 1 未知系數(shù)ai和bi共有N M 1個 取h n 的一段 0 n p 1 使其充分逼近hd n 用此原則求解M N 1個系數(shù) 將 6 6 13 式改寫為 令p M N 1 則 6 6 14 h 0 b0h 0 a1 h 1 b1h 0 a2 h 1 a1 h 2 b2 6 6 15 6 6 16 令上面等式兩邊z的同冪次項的系數(shù)相等 可得到N M 1個方程 上式表明h n 是系數(shù)ai bi的非線性函數(shù) 考慮到i M時 bi 0 一般表達式為 設(shè)x n 為給定的輸入信號 yd n 是相應的希望的輸出信號 x n 和yd n 長度分別為M和N 實際濾波器的輸出用y n 表示 下面我們按照y n 和yd n 的最小均方誤差求解濾波器的最佳解 設(shè)均方誤差用E表示 6 6 17 6 6 18 為選擇h n 使E最小 令 x n 0 n M1 yd n 0 n N 1 由 6 6 18 式得到 6 6 20 例6 6 2設(shè)計數(shù)字濾波器 要求在給定輸入x n 3 1 的情況下 輸出yd n 1 0 25 0 1 0 01 0 解 設(shè)h n 長度為p 4 按照 6 6 20 式 得 列出方程 10h 0 3h 1 3 253h 0 10h 1 3h 2 0 853h 1 10h 2 3h 3 0 313h 2 9h 3 0 03 解聯(lián)立方程 得h n 0 3333 0 0278 0 0426 0 0109將h n 以及M 1 N 2代入 6 6 15 6 6 16 式中 得a1 0 1824 a2 0 1126b0 0 3333 b1 0 0330濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 相應的差分方程為y n 0 3333x n 0 0330 x n1 0 1824y n1 0 1126y n2 當x n 3 1時 輸出y n 為y n 0 9999 0 2499 0 1 0 0099 0 0095 0 0006 0 0012 將y n 與給定yd n 比較 y n 的前五項與yd n 的前五項很相近 y n 在五項以后幅度值很小 作業(yè) P1934 5 6