2014高考數學一輪匯總訓練《數列求和》理新人教A版.doc

備考方向要明了考 什 么怎 么 考熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式.1.以選擇題或填空題的形式考查可轉化為等差或等比數列的數列求和問題，如2012年新課標全國T16等2.以解答題的形式考查利用錯位相減法、裂項相消法或分組求和法等求數列的前n項和，如2012年江西T16，湖北T18等.歸納知識整合數列求和的常用方法1公式法直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和(1)等差數列的前n項和公式：Snna1d；(2)等比數列的前n項和公式：Sn2倒序相加法如果一個數列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和即是用此法推導的3錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和就是用此法推導的4裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和探究1.應用裂項相消法求和的前提條件是什么？提示：應用裂項相消法求和的前提條件是數列中的每一項均可分裂成一正一負兩項，且在求和過程中能夠前后抵消2利用裂項相消法求和時應注意哪些問題？提示：(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應的兩項之差；(2)在正負項抵消后，是否只剩下了第一項和最后一項，或前面剩下兩項，后面也剩下兩項5分組求和法一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后再相加減6并項求和法一個數列的前n項和，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.自測牛刀小試1.等于()A.B.C1 D3解析：選A，.2已知數列an的通項公式是an，其前n項和Sn，則項數n等于()A13B10C9D6解析：選Dan1，Snnnnn1.n15，解得n6.3(教材習題改編)(2351)(4352)(2n35n)_.解析：(2351)(4352)(2n35n)(242n)3(51525n)3n(n1)n2n5n.答案：n2n5n4若Sn1234(1)n1n，則S100_.解析：S10012345699100(12)(34)(56)(99100)50.答案：505已知數列an的前n項和為Sn且ann2n，則Sn_.解析：ann2n，Sn121222323n2n.2Sn122223(n1)2nn2n1.得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.Sn2n1(n1)2.答案：(n1)2n12分組轉化求和例1(2012山東高考)在等差數列an中，a3a4a584，a973.(1)求數列an的通項公式；(2)對任意mN*，將數列an中落入區(qū)間(9m,92m)內的項的個數記為bm，求數列bm的前m項和Sm.自主解答(1)因為an是一個等差數列，所以a3a4a53a484，a428.設數列an的公差為d，則5da9a4732845，故d9.由a4a13d，得28a139，即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對mN*，若9m<an<92m，則9m8<9n<92m8.因此9m11n92m1.故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).分組轉化求和的通法數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列或可求數列的前n項和的數列求和1已知an是各項均為正數的等比數列，且a1a22，a3a4a564.(1)求an的通項公式；(2)設bn2，求數列bn的前n項和Tn.解：(1)設公比為q，則ana1qn1，且q>0，a1>0.由已知有化簡得又a1>0，故q2，a11.所以an2n1.(2)由(1)知，bn2a24n12.因此Tn(144n1)2n2n(4n41n)2n1.裂項相消法求和例2設數列an的前n項和為Sn，已知a11，Snnann(n1)(n1,2,3，)(1)求證：數列an為等差數列，并寫出an關于n的表達式；(2)若數列的前n項和為Tn，問滿足Tn>的最小正整數n是多少？自主解答(1)當n2時，anSnSn1nan(n1)an12(n1)，得anan12(n2,3,4，)所以數列an是以1為首項，2為公差的等差數列所以an2n1.(2)Tn，由Tn>，得n>，所以滿足Tn>的最小正整數n為12.用裂項相消法求和應注意的問題利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差與系數相乘后與原項相等2等比數列an的各項均為正數，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數列an的通項公式；(2)設bnlog3a1log3a2log3an，求數列的前n項和解：(1)設數列an的公比為q.由a9a2a6得a9a，所以q2.由條件可知q>0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故數列an的通項公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2.2.所以數列的前n項和為.錯位相減法求和例3(2012天津高考)已知an是等差數列，其前n項和為Sn，bn是等比數列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數列an與bn的通項公式；(2)記Tna1b1a2b2anbn，nN*，證明Tn8an1bn1(nN*，n2)自主解答(1)設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)證明：由(1)得Tn22522823(3n1)2n，2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由，得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18，即Tn8(3n4)2n1.而當n2時，an1bn1(3n4)2n1，所以Tn8an1bn1，nN*，n2.若本例(2)中Tnanb1an1b2a1bn，nN*，求證：Tn122an10bn(nN*)證明：由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.，得Tn2(3n1)32232332n2n22n26n2102n6n10.而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10，故Tn122an10bn，nN*. 用錯位相減法求和應注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解3已知等差數列an的前3項和為6，前8項和為4.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數列bn的前n項和Sn.解：(1)設an的公差為d.由已知得解得a13，d1.故an3(n1)(1)4n.(2)由(1)得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，將上式兩邊同乘以q有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.兩式相減得到(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，Sn.若q1，則Sn123n.所以Sn1種思想轉化與化歸思想數列求和把數列通過分組、變換通項、變換次序、乘以常數等方法，把數列的求和轉化為能使用公式求解或者能通過基本運算求解的形式，達到求和的目的2個注意“裂項相消法求和”與“錯位相減法求和”應注意的問題(1)使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點(2)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解4個公式常見的拆項公式(1)；(2)；(3)；(4)().答題模板利用錯位相減法解決數列求和典例(2012江西高考)(本小題滿分12分)已知數列an的前n項和Snn2kn(其中kN)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數k，求an；(2)求數列的前n項和Tn.快速規(guī)范審題第(1)問1審條件，挖解題信息觀察條件：Snn2kn及Sn的最大值為8當nk時，Sn取得最大值2審結論，明確解題方向觀察所求結論：求k的值及anSn的最大值為8，即Sk8，k4. Snn24n.3建聯系，找解題突破口根據已知條件，可利用an與Sn的關系求通項公式：求通項公式anSnSn1n(n2)，a1S1ann.第(2)問1審條件，挖解題信息觀察條件：ann及數列.2審結論，明確解題方向觀察所求結論：求數列的前n項和Tn可利用錯位相減法求和3建聯系，找解題突破口條件具備，代入求和：Tn12Tn22：2TnTn214.準確規(guī)范答題(1)當nkN時，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，(2分)利用anSnSn1時，易忽視條件n2.故k216，因此k4，(3分)從而anSnSn1n(n2)(4分)又a1S1，(5分)所以ann.(6分)(2)因為，錯位相減時，易漏項.所以Tn1，(7分)所以2Tn22，(8分)：2TnTn2144.(11分)所以Tn4.(12分)答題模板速成用錯位相減法解決數列求和的步驟：第一步判斷結構第二步乘公比第三步錯位相減第四步求和若數列anbn是由等差數列an與等比數列(公比q)的對應項之積構成的，則可用此法求和設anbn的前n項和為Tn，然后兩邊同乘以q乘以公比q后，向后錯開一位，使含有qk(kN*)的項對應，然后兩邊同時作差將作差后的結果求和，從而表示出Tn一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1已知an是首項為1的等比數列，Sn是an的前n項和，且9S3S6，則數列的前5項和為()A.或5B.或5C. D.解析：選C設數列an的公比為q.由題意可知q1，且，解得q2，所以數列是以1為首項，為公比的等比數列，由求和公式可得S5.2數列1，3，5，7，(2n1)，的前n項和Sn的值等于()An21 B2n2n1Cn21 Dn2n1解析：選A該數列的通項公式為an(2n1)，則Sn135(2n1)n21.3設Sn為等差數列an的前n項和，若S830，S47，則a4的值等于()A. B.C. D.解析：選C由題意可得解得故a4a13.4.等于()A. B.C. D.解析：選B令Sn，則 Sn，得：Sn，故Sn.5已知數列an的通項公式為ann2cos n(nN*)，Sn為它的前n項和，則等于()A1 005 B1 006C2 011 D2 012解析：選B注意到cos n(1)n(nN*)，故an(1)nn2.因此有S2 012(1222)(3242)(2011220122)1232 0112 0121 0062 013，所以1 006.6(2013錦州模擬)設函數f(x)xmax的導函數f(x)2x1，則數列(nN*)的前n項和是()A. B.C. D.解析：選Af(x)mxm1a，m2，a1.f(x)x2x，f(n)n2n.，令Sn1.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7(2012江西高考)等比數列an的前n項和為Sn，公比不為1.若a11，且對任意的nN*都有an2an12an0，則S5_.解析：由an2an12an0，得anq2anq2an0，顯然an0，所以q2q20.又q1，解得q2.又a11，所以S511.答案：118對于數列an，定義數列an1an為數列an的“差數列”，若a12，an的“差數列”的通項公式為2n，則數列an的前n項和Sn_.解析：an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.答案：2n12.9數列an的通項ann(nN*)，其前n項和為Sn，則S2 013_.解析：annncos n，a11，a22，a33，a44，S2 013(1)2(3)4(5)6(2 009)2 010(2 011)2 012(2 013)(1)2(3)4(5)6(2 009)2 010(2 011)2 012(2013)11112 0131 0062 0131 007.答案：1 007三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10(2012湖北高考)已知等差數列an前三項的和為3，前三項的積為8.(1)求等差數列an的通項公式；(2)若a2，a3，a1成等比數列，求數列|an|的前n項和解：(1)設等差數列an的公差為d，則a2a1d，a3a12d，由題意得解得或所以由等差數列通項公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)當an3n5時，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數列；當an3n7時，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數列，滿足條件故|an|3n7|記數列|an|的前n項和為Sn.當n1時，S1|a1|4；當n2時，S2|a1|a2|5；當n3時，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.當n2時，滿足此式綜上可知，Sn11(2013合肥模擬)數列an的前n項和記為Sn，a1t，點(Sn，an1)在直線y3x1上，nN*.(1)當實數t為何值時，數列an是等比數列(2)在(1)的結論下，設bnlog4an1，cnanbn，Tn是數列cn的前n項和，求Tn.解：(1)點(Sn，an1)在直線y3x1上，an13Sn1，an3Sn11(n>1，且nN*)an1an3(SnSn1)3an，即an14an，n>1.又a23S113a113t1，當t1時，a24a1，數列an是等比數列(2)在(1)的結論下，an14an，an14n，bnlog4an1n.cnanbn4n1n，Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).12已知數列an的前n項和為Sn，且滿足Snn2an(nN*)(1)證明：數列an1為等比數列，并求數列an的通項公式；(2)若bn(2n1)an2n1，數列bn的前n項和為Tn.求滿足不等式>2 013的n的最小值解：(1)證明：因為Snn2an，即Sn2ann，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*)兩式相減化簡，得an2an11.所以an12(an11)(n2，nN*)所以數列an1為等比數列因為Snn2an，令n1，得a11.a112，所以an12n，即an2n1.(2)因為bn(2n1)an2n1，所以bn(2n1)2n.所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以Tn2(2n1)2n1.若>2 013，則>2 013，即2n1>2 013.由于2101 024,2112 048，所以n111，即n10.所以滿足不等式>2 013的n的最小值是10.1設f(x)，若Sfff，則S_.解析：f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.Sfff，Sfff，得2S2 012，S1 006.答案：1 0062求和Sn.解：Sn(123n)n1.3在數列an中，a11，當n2時，其前n項和Sn滿足San.(1)求Sn的表達式；(2)設bn，求bn的前n項和Tn.解：(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得2，數列是首項為1，公差為2的等差數列12(n1)2n1.Sn.(2)又bn，故Tnb1b2bn.4設數列an滿足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數列an的通項；(2)設bn，求數列bn的前n項和Sn.解：(1)a13a232a33n1an，當n2時，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a1，適合an，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1，Sn.