山東大學(xué)數(shù)值分析課現(xiàn)代數(shù)值分析第1章引論.ppt

山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 現(xiàn)代數(shù)值分析 教材 TextBook 現(xiàn)代數(shù)值分析藺小林 蔣耀林編著 國防工業(yè)出版社 參考書目 Reference NumericalAnalysis MathematicsofScientificComputing ThirdEdition 數(shù)值分析 英文版第3版 DavidKincaid WardCheney 機(jī)械工業(yè)出版社 NumericalAnalysis SeventhEdition 數(shù)值分析 第七版影印版 RichardL Burden J DouglasFaires 高等教育出版社 工程數(shù)值分析王立秋等編著 山東大學(xué)出版社 工程數(shù)值分析題解 基礎(chǔ)知識(shí) 微積分 線性代數(shù) 掌握一種語言 會(huì)用Matlab 學(xué)習(xí)方法 1 注意掌握各種方法的基本原理2 注意各種方法的構(gòu)造手法3 重視各種方法的誤差分析4 做一定量的習(xí)題5 注意與實(shí)際問題相聯(lián)系 NumericalAnalysis 數(shù)值分析 學(xué)習(xí)和了解科學(xué)計(jì)算的橋梁 數(shù)值分析能夠做什么 Introduction 研究使用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法 近似方法 對(duì)求得的解的精度進(jìn)行評(píng)估 以及如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)求解等 一 計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的步驟建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法編寫程序上機(jī)計(jì)算 現(xiàn)代數(shù)值分析是一門內(nèi)容豐富 研究方法深刻 實(shí)用性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程 研究對(duì)象 從科學(xué)與工程問題中抽象歸納出來的數(shù)學(xué)問題 通信衛(wèi)星覆蓋地球面積 將地球考慮成一個(gè)球體 設(shè)R為地球半徑 h為衛(wèi)星高度 D為覆蓋面在平面的投影 舉例 1 求下列方程的根或零點(diǎn) 第四章的內(nèi)容 非線性方程的數(shù)值解法 Canyousolve Canyousolve 2 怎么求解下列積分 第八章的內(nèi)容 數(shù)值積分 三種常用的技術(shù) 1 求未知數(shù)據(jù)的迭代計(jì)算技術(shù) 2 連續(xù)模型離散化處理技術(shù) 3 離散數(shù)據(jù)的連續(xù)化處理技術(shù) Def 算法 為了用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題而構(gòu)造的能夠用數(shù)值計(jì)算的實(shí)施方法 即把對(duì)數(shù)學(xué)問題的解法歸結(jié)為只有加 減 乘 除等基本運(yùn)算 并有確定運(yùn)算次序的完整而準(zhǔn)確的描述 算法的特點(diǎn) 構(gòu)造性能夠通過數(shù)值演算一種實(shí)施方法 算法的可用性 算法的穩(wěn)定性 理論上很完美的算法 在計(jì)算機(jī)上未必可用 例1 Gramer法則解線性方程組 n階方程組需計(jì)算n 1個(gè)行列式的值 每一個(gè)行列式的值需次乘法 共需次乘法 例2 如建立 的遞推公式并作實(shí)際計(jì)算 解 1 易知 2 因?yàn)?算法的優(yōu)劣 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 1 計(jì)算量的大小 例 計(jì)算 直接計(jì)算 需n n 1 2次乘法和n次加法 迭代計(jì)算 按下列迭代公式計(jì)算 只需n次乘法和n次加法 2 存儲(chǔ)量的多少 3 邏輯結(jié)構(gòu)是否簡單 二 數(shù)值分析的特點(diǎn) 1 近似 由此產(chǎn)生 誤差 在計(jì)算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)有趣的問題 什么是零 原點(diǎn)附近 在純數(shù)學(xué)中 認(rèn)為此矩陣為滿秩矩陣 但在計(jì)算數(shù)學(xué)中 它卻是降秩矩陣 2 與計(jì)算機(jī)不能分離 上機(jī)實(shí)習(xí) 掌握一門語言 C語言 會(huì)用Matlab 1 2誤差 Error 1誤差的背景介紹 Introduction 1 來源與分類 Source Classification 模型誤差 ModelingError 從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 觀測誤差 MeasurementError 通過測量得到模型中參數(shù)的值 方法誤差 截?cái)嗾`差TruncationError 求近似解 求解數(shù)學(xué)模型時(shí) 用簡單代替復(fù)雜 或者用有限過程代替無限過程所引起的誤差 舍入誤差 RoundoffError 機(jī)器字長有限 通常用四舍五入的辦法取近似值 由此引起的誤差 1 2 4誤差與有效數(shù)字 ErrorandSignificantDigits 絕對(duì)誤差 absoluteerror 其中x 為精確值 x為x 的近似值 例如 工程上常記為 的上限記為 稱為絕對(duì)誤差限 accuracy 相對(duì)誤差 relativeerror 稱 r x 為相對(duì)誤差限 由于精確值x 一般是未知的 如果存在一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù) r 使得 x的相對(duì)誤差限常定義為 有效數(shù)字 significantdigits 用科學(xué)計(jì)數(shù)法 記 其中 若 即的截取按四舍五入規(guī)則 則稱為有n位有效數(shù)字 精確到 有效數(shù)字和相對(duì)誤差的關(guān)系 Th1 若近似數(shù)x有n位有效數(shù)值 則其相對(duì)誤差限為 反之 若x的相對(duì)誤差限滿足 則x至少有n位有效數(shù)字 證 記則所以 反之易得 注 定理表明 有效數(shù)字的位數(shù)越多 相對(duì)誤差越小 1 一元函數(shù)y f x 誤差分析 準(zhǔn)確值y f x 由Taylor公式 同理 所以 反問題 估計(jì) 2 多元函數(shù)z f x1 x2 xn 誤差分析 1 3 2 數(shù)據(jù)誤差對(duì)算術(shù)運(yùn)算影響 例 二次方程x2 16x 1 0 取求使具有4位有效數(shù) 解 直接計(jì)算x1 8 7 937 0 063 計(jì)算出的x1具有兩位有效數(shù)字 例2 圓面積計(jì)算的誤差估計(jì) 圓面積計(jì)算公式 全微分近似 取r 50cm 則有cm 2 1 2 150cm2 反問題 估計(jì) 數(shù)值計(jì)算中的基本原則 1 避免絕對(duì)值小的數(shù)做除數(shù) 2 避免兩相近數(shù)相減 3 防止大數(shù) 吃 小數(shù)現(xiàn)象 a 109 b 9 設(shè)想在8位浮點(diǎn)數(shù)系中相加a b 1 0000000 109 0 000000009 109由于只保留8位有效數(shù) 數(shù)據(jù)09被舍去 實(shí)際加法操作a b計(jì)算結(jié)果是將a的數(shù)據(jù)作為計(jì)算結(jié)果賦值給a b 4 盡量減少計(jì)算工作量 乘 除法次數(shù) 例計(jì)算P x 1 2x 3x2 4x3 5x4的值P x 1 x 2 x 3 x 4 5x 一個(gè)應(yīng)用 2進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制數(shù) 11101110 2 27 26 25 0 23 22 2 0 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 0 238 求多項(xiàng)式值的秦九韶算法 P x a0 a1x a2x2 anxn 注 初值誤差在算法執(zhí)行過程中不斷增大 這種算法稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法 初始誤差在算法執(zhí)行過程中不斷減小 這種算法稱為數(shù)值穩(wěn)定算法 注 在算法執(zhí)行過程中 舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大的一類算法被稱為數(shù)值穩(wěn)定算法 否則稱為不穩(wěn)定算法