山東省棗莊市2018中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 聚焦棗莊 專題三 圓的證明與計(jì)算試題

專題三 圓的證明與計(jì)算類型一 切線的判定判定某直線是圓的切線，首先看圓的半徑是否過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，有半徑則證垂直；沒(méi)有半徑，則連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造半徑證垂直 (2016·黃石)如圖，O的直徑為AB，點(diǎn)C在圓周上(異于A，B)，ADCD.(1)若BC3，AB5，求AC的長(zhǎng)；(2)若AC是DAB的平分線，求證：直線CD是O的切線【分析】 (1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，利用勾股定理求AC的長(zhǎng)；(2)連接OC，利用AC是DAB的平分線，證得OACCAD，再結(jié)合半徑相等，可得OCAD，進(jìn)而結(jié)論得證1(2016·六盤水)如圖，在O中，AB為直徑，D，E為圓上兩點(diǎn)，C為圓外一點(diǎn)，且EC90°.(1)求證：BC為O的切線；(2)若sin A，BC6，求O的半徑2(2017·濟(jì)寧)如圖，已知O的直徑AB12，弦AC10，D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEAC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：DE是O的切線；(2)求AE的長(zhǎng)類型二 切線的性質(zhì)已知某條直線是圓的切線，當(dāng)圓心與切點(diǎn)有線段連接時(shí)，直接利用切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；當(dāng)圓心與切點(diǎn)沒(méi)有線段相連時(shí)，則作輔助線連接圓心與切點(diǎn)，再利用切線的性質(zhì)解題 (2016·資陽(yáng))如圖，在O中，點(diǎn)C是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作O的切線，切點(diǎn)為D，連接BD.(1)求證：ABDC；(2)若CM平分ACD，且分別交AD，BD于點(diǎn)M，N，當(dāng)DM1時(shí)，求MN的長(zhǎng)【分析】 (1)連接OD，由切線的性質(zhì)可得CDBODB90°，由AB是直徑，可得ADB90°，進(jìn)而可得AABD90°，從而證得ABDC；(2)由角平分線及三角形外角性質(zhì)可得AACMBDCDCM，即DMNDNM，再根據(jù)勾股定理求得MN的長(zhǎng)3(2016·南平)如圖，PA，PB是O切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在PB上，OCAP，CDAP于點(diǎn)D.(1)求證：OCAD；(2)若P50°，O的半徑為4，求四邊形AOCD的周長(zhǎng)(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin 50°0.766，cos 50°0.643，tan 50°1.92)4(2017·長(zhǎng)沙)如圖，AB與O相切于點(diǎn)C，OA，OB分別交O于點(diǎn)D，E，.(1)求證：OAOB；(2)已知AB4，OA4，求陰影部分的面積類型三 圓與相似的綜合圓與相似的綜合主要體現(xiàn)在圓與相似三角形的綜合，一般結(jié)合切線的性質(zhì)及判定綜合考查，求線段長(zhǎng)或半徑一般的解題思路是利用切線的性質(zhì)構(gòu)造角相等，進(jìn)而構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出所求線段或半徑 (2016·荊門)如圖，AB是O的直徑，AD是O的弦，點(diǎn)F是DA延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，AC平分FAB交O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CEDF，垂足為點(diǎn)E.(1)求證：CE是O的切線；(2)若AE1，CE2，求O的半徑【分析】 (1)連接CO，證得OCACAE，由平行線的判定得到OCFD，再證得OCCE即可；(2)連接BC，由圓周角定理得到BCA90°，再證得ABCACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得半徑5(2017·德州)如圖，已知RtABC，C90°，D為BC的中點(diǎn)以AC為直徑的O交AB于點(diǎn)E.(1)求證：DE是O的切線；(2)若AEEB12，BC6，求AE的長(zhǎng)6(2017·黃岡)如圖，已知MN為O的直徑，ME是O的弦，MD垂直于過(guò)點(diǎn)E的直線DE，垂足為點(diǎn)D，且ME平分DMN.求證：(1)DE是O的切線；(2)ME2MD·MN.參考答案【聚焦棗莊】【例1】 (1)AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，ACB90°，AC4.(2)如圖，連接OC，AC平分DAB，OACCAD.OAOC，OACOCA，OCACAD，OCAD.ADCD，OCCD.OC是O的半徑，直線CD是O的切線變式訓(xùn)練 1(1)證明：A與E所對(duì)的弧都是，AE.EC90°，AC90°，ABC180°AC90°，即ABBC.AB是直徑，BC為O的切線(2)解：sin A，BC6，AC10.在RtABC中，AB8，AOAB4，即O的半徑是4.2(1)證明：如圖，連接OD.D是的中點(diǎn)，BODBAE，ODAE.DEAC，AED90°，ODE90°.ODDE，DE是O 的切線(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OFAC于點(diǎn)F.AC10，AFCFAC×105.OFEDEFODE90°，四邊形OFED是矩形，F(xiàn)EODAB6，AEAFFE5611.【例2】 (1)如圖，連接OD，CD是O的切線，ODC90°，BDCODB90°.AB是O的直徑，ADB90°，AABD90°.OBOD，OBDODB，AODB90°，ABDC.(2)CM平分ACD，DCMACM.ABDC，AACMBDCDCM，即DMNDNM.ADB90°，DM1，DNDM1，MN.變式訓(xùn)練3(1)證明：PA是O的切線，A為切點(diǎn)，OAPA，即OAD90°.OCAP，COA180°OAD180°90°90°.CDPA，CDAOADCOA90°，四邊形AOCD是矩形，OCAD.(2)解：PB切O于點(diǎn)B，OBP90°.OCAP，BCOP50°.在RtOBC中，sinBCO，OB4，OC5.22，矩形OADC的周長(zhǎng)為2(OAOC)2×(45.22)18.4.4(1)證明：如圖，連接OC.AB與O相切于點(diǎn)C，ACO90°.，AOCBOC，AB，OAOB.(2)解：由(1)可知OAB是等腰三角形，BCAB2，sinCOB，COB60°，B30°，OCOB2，S扇形OCE，SOCB×2×22，S陰影SOCBS扇形OCE2.【例3】 (1)如圖，連接CO，OAOC，OCAOAC.AC平分FAB，OACFAC，OCAFAC，OCFD.CEFD，CEOC.OC是O的半徑，CE是O的切線(2)如圖，連接BC，在RtACE中，AC.AB是O的直徑，BCA90°，BCACEA.CAEBAC，ACEABC，即，AB5，AOAB2.5，即O的半徑是2.5.變式訓(xùn)練 5(1)證明：如圖，連接OE，CE.AC是O的直徑，AECBEC90°.D是BC的中點(diǎn)，EDBCDC，12.OEOC，34，1324，即OEDACD.ACD90°，OED90°，即OEDE.又E是O上一點(diǎn)，DE是O的切線(2)解：由(1)知BEC90°.在RtBEC與RtBCA中，B為公共角，BECBCA，即BC2BE·BA.AEEB12，設(shè)AEx，則BE2x，BA3x.又BC6，622x·3x，x，即AE.6證明：(1)ME平分DMN，OMEDME.OMOE，OMEOEM，DMEOEM，OEDM.DMDE，OEDE.OE是O的半徑，DE是O的切線(2)如圖，連接EN，DMDE，MN為O的直徑，MDEMEN90°，NMEDME，MDEMEN，ME2MD·MN.8