人教版數(shù)學(xué)七年級上冊4.3角 備課教案及同步練習(xí)

第四章4.3角年 級初一學(xué) 科數(shù)學(xué)版 本人教版課程標題4.3角 一、學(xué)習(xí)目標：1、理解角的概念、表示方法、測量方法和畫法．2、認識角的度量單位度、分、秒，會進行簡單的換算和角度計算．3、學(xué)會比較兩個角的大小，會分析圖中角的和差關(guān)系．4、認識角的平分線及角的等分線，會畫角的平分線．二、重點、難點：重點：角度的換算，分析角的和差關(guān)系，認識角平分線．難點：認識復(fù)雜圖形中角的和差關(guān)系，比較兩個角的大?。R梳理1、角（1）定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩邊．角也可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形．（2）表示方法：角的四種表示方法如下表：表示方法圖示記法適用范圍①用三個大寫字母表示∠AOB或∠BOA任何情況都適用，表示頂點的字母寫在中間②用一個大寫字母表示∠O以某一點為頂點的角只有一個時③用一個阿拉伯數(shù)字表示∠1任何情況都適用④用一個希臘字母表示∠α任何情況都適用（3）平角和周角：如果角的終邊是由始邊旋轉(zhuǎn)半周而得到的（這時的始邊與終邊互為反向延長線），這樣的角叫做平角；如果角的終邊是由始邊旋轉(zhuǎn)一周而得到的（這時終邊與始邊重合），這樣的角叫做周角．2、角的度量單位及角度制（1）角的度量單位：角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．（2）角度制的換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．（3）角度制是60進位的，它和時間的小時、分鐘、秒間的度量相類似．時鐘被分成12格，相當于把圓周12等分，每一等份等于30°，時針每小時走一格為30°，每分鐘走0.5°；分針每小時走一圈是360°，每分鐘走6°．3、角的比較與運算（1）角的大小的比較方法：①疊合法；②度量法．（2）角的和差：把兩個角的一邊重合，另兩邊在重合邊的兩側(cè)，則另兩邊的夾角即為這兩角之和；若另兩邊在重合邊的同側(cè)，則另兩邊的夾角即為兩角之差．4、角的平分線（1）定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線．（2）符號語言敘述：如左圖所示，因為∠AOC＝∠BOC，所以O(shè)C是∠AOB的平分線．反之，如果OC是∠AOB的平分線，那么∠AOC＝∠BOC，并且有∠AOC＝∠AOB或∠BOC＝∠AOB，以及∠AOB＝2∠AOC或∠AOB＝2∠BOC．（3）類似地，還有角的三等分線（如右圖）．【典型例題】知識點一：角的表示例1. 如圖所示，角的表示法正確的個數(shù)是（ ）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個思路分析：1）題意分析：區(qū)別平角與直線、周角與射線，要抓住角的兩個元素：頂點和兩邊．2）解題思路：角的表示方法中，要注意用三個大寫字母和一個大寫字母表示的適用范圍．②、⑤、⑥是正確的．解答過程：C解題后的思考：①表示一個角時，角的符號“∠”不能省略．②理解角的兩個要素和角的表示方法是解本題的關(guān)鍵．例2. 如圖所示，在直線AB上有一點O，作射線OC、OD、OE、OF，則圖中共有多少個小于平角的角？思路分析：1）題意分析：本題要求數(shù)出小于平角的角的個數(shù)，∠AOB是平角，不能計算在內(nèi)．2）解題思路：數(shù)小于平角的角的個數(shù)的方法應(yīng)是：以O(shè)A為一邊的有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF；以O(shè)C為一邊的有∠COD、∠COE、∠COF、∠COB；以O(shè)D為一邊的有∠DOE、∠DOF、∠DOB；以O(shè)E為一邊的有∠EOF、∠EOB；以O(shè)F為一邊的有∠FOB．解答過程：圖中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF；∠COD、∠COE、∠COF、∠COB；∠DOE、∠DOF、∠DOB；∠EOF、∠EOB；∠FOB．共有4＋4＋3＋2＋1＝14個．解題后的思考：尋找計數(shù)的規(guī)律，不可遺漏、也不可重復(fù)．例3. 觀察下圖，回答問題．（1）在∠AOB內(nèi)部任意畫1條射線OC，則圖①中有__________個不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部任意畫2條射線OC、OD，則圖②中有__________個不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部任意畫3條射線OC、OD、OE，則圖③中有__________個不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部任意畫10條射線OC、OD、…，則圖中有__________個不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部任意畫n條射線OC、OD、OE、…，則圖中有__________個不同的角．思路分析：1）題意分析：正確數(shù)出角的個數(shù)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)角的個數(shù)，得到一列有規(guī)律的數(shù)，尋找規(guī)律，推廣到一般．2）解題思路：數(shù)角的個數(shù)時，注意不能重，也不能漏．如圖①中，按逆時針方向，以O(shè)A為邊的角有∠AOC，∠AOB；以O(shè)C為邊的角有∠COB．共3個．解答過程：（1）2＋1＝3；（2）3＋2＋1＝6；（3）4＋3＋2＋1＝10；（4）11＋10＋9＋…＋2＋1＝66；（5）（n＋1）＋n＋（n－1）＋…＋2＋1＝（n＋1）（n＋2）．解題后的思考：這類題與線段計數(shù)的方法類似，運用分類思想來研究問題．小結(jié)：對角的表示方法的考查主要有兩個方面：一是角的四種表示方法分別適合在什么情況下使用；二是在有規(guī)律的圖形中數(shù)角的個數(shù)．知識點二：角的比較和運算例4. 鐘表上12時15分鐘時，時針與分針的夾角是（ ）A．90° B．82.5° C．67.5° D．60°思路分析：1）題意分析：如圖所示，12時15分時分針正對著數(shù)字“3”，而時針走過了數(shù)字“12”一點點．2）解題思路：鐘表上，每一個小格的度數(shù)為＝6°；每一個大格的度數(shù)為＝30°．解答過程：12時15分鐘時，時針偏轉(zhuǎn)的角度為×30°＝7.5°，分針偏轉(zhuǎn)的角度為3×30°＝90°，所以兩針之間的夾角為90°－7.5°＝82.5°．所以應(yīng)選B．解題后的思考：由本題可知分針每分鐘走6°，時針每分鐘走0.5°．例5. 如圖所示，將書頁的一角折過去，使角的頂點落在A’處，BC為折痕，BD為∠A’BE的平分線，則∠CBD＝__________．思路分析：1）題意分析：理解折疊的結(jié)果是∠ABC＝∠CBA’＝∠ABA’，即BC為∠ABA’的平分線．2）解題思路：由BD平分∠A’BE知∠A’BD＝∠A’BE，所以∠CBD＝（∠ABA’＋∠A’BE）＝∠ABE＝90°．解答過程：90°解題后的思考：由本題知，用折疊的方法可將一個角分成兩個相等的角．例6. 從射線OA的端點O引兩條射線OB、OC，如果∠AOB＝75°12′，∠BOC＝26°32′．求∠AOC的度數(shù)．思路分析：1）題意分析：先根據(jù)題意畫圖，再求∠AOC的度數(shù)．2）解題思路：∠AOB是確定的，射線OC與∠AOB有兩種可能的位置關(guān)系．解答過程：本題有兩種情況，如圖所示：①OC在∠AOB的外部，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝75°12′＋26°32′＝101°44′；②OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝75°12′－26°32′＝48°40′．所以∠AOC的度數(shù)為101°44′或48°40′．解題后的思考：考慮問題要全面．例7. 如圖所示，∠AOB＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)．思路分析：1）題意分析：本題應(yīng)根據(jù)角的和差關(guān)系求∠MON的度數(shù)．2）解題思路：從圖中可以得到∠MON＝∠MOC－∠NOC，而∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，由此可求∠MON的度數(shù)．解答過程：因為OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，因為∠MON＝∠MOC－∠NOC，∠AOB＝90°，所以∠MON＝∠AOC－∠BOC＝（∠AOC－∠BOC）＝∠AOB＝45°．解題后的思考：本題中角的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，解題時所分析的數(shù)據(jù)要找和已知與所求有關(guān)聯(lián)的數(shù)量關(guān)系．例8. 如圖所示，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求∠AOB、∠BOC、∠COD的度數(shù)．思路分析：1）題意分析：所求的三個角和已知的角∠AOD正好組成一個周角．2）解題思路：本題中涉及到的四個角的和是周角360°，合理設(shè)出未知數(shù)，列方程求解．解答過程：設(shè)∠AOB＝3x，則∠BOC＝2x，∠COD＝4x，則3x＋2x＋4x＋108°＝360°，解得x＝28°．所以3x＝84°，2x＝56°，4x＝112°即∠AOB＝84°，∠BOC＝56°，∠COD＝112°．解題后的思考：用方程解決角的計算問題時，關(guān)鍵是合理設(shè)出未知數(shù)，找出相等關(guān)系，這類問題的相等關(guān)系一般是幾個角的和或差等于已知角（或平角或周角等）．小結(jié)：在角的計算問題中，一般都是利用角的和差關(guān)系求角的度數(shù)，這里應(yīng)重點掌握角的平分線的性質(zhì)和運用．【預(yù)習(xí)】余角與補角（4.3.3）一、預(yù)習(xí)新知1、余角和補角2、方位角二、預(yù)習(xí)點撥探究與反思探究任務(wù)一：余角和補角【反思】（1）怎樣理解互為余角和互為補角？ （2）余角和補角的性質(zhì)是什么？探究任務(wù)二：方位角【反思】（1）什么是方位角？ （2）怎樣用方位角確定方向？【練習(xí)】（答題時間：60分鐘）一、選擇題．1、如圖所示，圖中小于平角的角的個數(shù)是（ ）A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個2、下列各角中，不可能是鈍角的角是（ ）A. 周角 B. 平角 C. 鈍角 D. 直角3、已知射線OA、OB，能判定OC是∠AOB的平分線的是（ ）A. ∠AOC＝∠BOC B. ∠AOB＝2∠AOCC. ∠BOC＝∠AOB D. A、B、C都能4、如果∠1－∠2＝∠3，且∠4＋∠2＝∠1，那么∠3和∠4間的關(guān)系是（ ）A. ∠3＞∠4 B. ∠3＝∠4 C. ∠3＜∠4 D. 不確定5、用一副三角板不能畫出（ ）A. 75°角 B. 135°角 C. 160°角 D. 105°角6、如圖所示，若∠AOB＝∠COD，那么（ ）A. ∠1＞∠2 B. ∠1＝∠2 C. ∠1＜∠2 D. 不確定*7、在鐘表上，1點30分時，時針與分針所成的角是（ ）A. 150° B. 165° C. 135° D. 120°*8、如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是（ ）A. ∠COD＝∠AOC B. ∠AOD＝∠AOBC. ∠BOD＝∠AOB D. ∠BOC＝∠AOB二、填空題．9、如圖所示，把圖中用數(shù)字表示的角，改用大寫字母表示分別是__________．10、（）°＝__________′＝__________″；6000″＝__________′＝__________°．11、如果∠1＝∠2，∠1＋∠3＝90°，則∠2＋∠3＝__________．12、如圖所示，用“＝”或“＞”或“＜”填空：（1）∠AOC_______∠AOB＋∠BOC；（2）∠AOC_______∠AOB；（3）∠BOD－∠BOC______∠DOC；（4）∠AOD______∠AOC＋∠BOD．*13、時鐘從3點10分走到3點35分，它的分針轉(zhuǎn)過__________度．*14、如下圖，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，則圖中相等的角有__________；∠AOD＝______∠AOC＝______∠AOB．三、解答題．15、計算：（1）49°38′＋66°22′；（2）180°－79°19′；（3）22°16′×5．16、把一個周角7等分，每一等份是多少度的角？（精確到分）17、如下圖，分別確定四個城市相應(yīng)鐘表上時針與分針所成角的度數(shù)．18、如下圖，已知OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOC＝80°，∠DOE＝30°．求（1）∠AOB；（2）∠COD；（3）∠BOD．**19、如下圖，已知∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，∠AOB是∠COD的3倍，求∠AOB的度數(shù)．**20、（1）如圖所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)．（2）如果（1）中∠AOB＝∠α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)．（3）你從（1）、（2）的結(jié)果中能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？一、選擇題：1、C 2、D 3、A 4、B 5、C 6、B7、C 解析：1點30分時，分針正對著數(shù)字“6”，時針在數(shù)字“1”和“2”正中間，此時時針與分針所成的角是135°．8、A 解析：根據(jù)題意，∠COD＝∠BOC，又因為∠BOC＝∠AOC，所以∠COD＝∠AOC．所以選A．選項B、C、D不一定成立．二、填空題：9、∠ADE，∠BDE，∠CED，∠B，∠AED10、7.5′ 450″ 100′ （）11、90°12、（1）＝（2）＞（3）＝（4）＜13、150 解析：分針從3點10分走到3點35分，共走過了25分鐘，轉(zhuǎn)過的角度是360°×＝150°．14、∠AOC＝∠BOC、∠AOD＝∠COD， 三、解答題：15、解：（1）原式＝115°60′＝116°；（2）原式＝100°41′；（3）原式＝110°80′＝111°20′．16、解：根據(jù)題意，360°÷7≈51°26′．17、解：巴黎時間是1點整，時針與分針所成的角是：360°×＝30°；倫敦時間是12點整，時針與分針所成的角是0°；北京時間是8點整，時針與分針所成的角是30°×4＝120°；東京時間是9點整，時針與分針所成的角是30°×3＝90°．18、解：（1）∠AOB＝∠AOC＝40°；（2）∠COD＝∠DOE＝30°；（3）∠BOD＝∠COD＋∠BOC＝∠COD＋∠AOB＝70°19、解：∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOC－∠COD．因為∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，所以∠AOB＝90°＋60°－∠COD．又因為∠AOB是∠COD的3倍，所以∠COD＝∠AOB．所以∠AOB＝90°＋60°－∠AOB．解得∠AOB＝112.5°．20、解：（1）因為OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠AOC－∠BOC＝（∠AOC－∠BOC）＝∠AOB．因為∠AOB＝90°，所以∠MON＝45°．（2）當∠AOB＝∠α，其他條件不變時，總有∠MON＝∠AOB＝．（3）由（1）、（2）的結(jié)果和（1）的解答過程，可以得出結(jié)論：∠MON的大小與∠BOC的大小無關(guān)，它總等于∠AOB的一半．11 / 11。