線性方程組的消元解法.ppt

文科數(shù)學 1線性方程組的消元解法 第三章線性代數(shù)初步 2矩陣及其運算 文科數(shù)學 線性代數(shù)作為獨立的學科分支直到20世紀才形成 然而它的歷史卻非常久遠 最古老的線性代數(shù)問題是線性方程組的求解 在中國古代的數(shù)學著作 九章算術(shù) 方程 章中 已經(jīng)作了比較完整的敘述 其中所述方法實質(zhì)上相當于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換 消去未知量的方法 文科數(shù)學 線性代數(shù)的含義隨數(shù)學的發(fā)展而不斷擴大 線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學的許多分支 比如 以直代曲 是人們處理很多數(shù)學問題時一個很自然的想法 此外 很多實際問題的處理 最后往往歸結(jié)為線性問題 它比較容易處理 同時它也是研究理論物理和理論化學等不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識 隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入 矩陣在18 19世紀期間應運而生 為處理線性問題提供了有力的工具 從而推動了線性代數(shù)的發(fā)展 文科數(shù)學 本節(jié)的主要內(nèi)容 1 線性方程組 解的討論及其求解方法 m n未必相等 文科數(shù)學 2 數(shù)表 的線性運算 重要的工具 文科數(shù)學 對二元一次方程組 我們在中學已經(jīng)學過它的解法 但是實際問題中會遇到未知量個數(shù)和方程個數(shù)都很多的一次方程組 且未知量個數(shù)和方程個數(shù)未必相同 1線性方程組的消元解法 由于二元一次方程表示平面上的一條直線 所以將一次方程稱為線性方程 將一次方程組稱為線性方程組 文科數(shù)學 線性方程組的一般形式 否則稱為非齊次線性方程組 則稱方程組為 1 其中有n個未知量 m個方程 是未知量的系數(shù) 是常數(shù)項 若右端常數(shù)項均為零 齊次線性方程組 文科數(shù)學 1 線性方程組是否有解 將要研究的問題 3 有解時 如何求出全部的解 2 若有解 解是否唯一 研究的思路和途徑1 在中學代數(shù)中的加減消元法的基礎(chǔ)上 結(jié)合具體的線性方程組 導出求解一般方程組的通用方法 高斯消元法 2 從實際例子出發(fā) 利用高斯消元法觀察解存在與否的判斷方法 文科數(shù)學 求解線性方程組 解 首先 用 2 消去 1 3 中的未知量x1 2 2 1 4 2 3 得 由 該方程組比原方程組少一個未知量 文科數(shù)學 由 5 4 得 由 1 2 6 得 最后 將 7 代回 4 中 即消去 4 中的x3 由2 7 4 得 其次 用 4 消去 5 中的未知量x2 這比原方程組又少了一個未知量 文科數(shù)學 由 1 3 8 得 將 7 9 代回 2 中 即消去 2 中的x2 x3 由 2 7 2 2 9 得 故原方程組的解為 文科數(shù)學 從上述求解過程可以看出加減消元法的基本思想就是 利用方程之間的算術(shù)運算 每次消去一個未知量 得到一個比原方程組少一個未知量的方程組 一次一次進行下去 直至得到便于求解的一個形式簡單的方程 為了便于將此方法應用到任意形式的方程組的求解 仍以例1為例 完整規(guī)范的寫出它的解題步驟 文科數(shù)學 解 第一步 為了便于運算 互換 1 與 2 的位置 第二步 消去第一個方程下面的各個方程中的x1 1 2 2 3 4 2 得 求解線性方程組 1 文科數(shù)學 1 2 2 3 4 2 得 第三步 消去第二個方程下面的各個方程中的x2 5 4 得 文科數(shù)學 此時方程組中下一個方程比上一個方程少一個未知量 形狀如階梯 稱此方程組為階梯形方程組 第三步 消去第二個方程下面的各個方程中的x2 5 4 得 文科數(shù)學 第四步 使 6 中的x3的系數(shù)變?yōu)? 1 2 6 得 第五步 消去 2 4 中的x3 2 2 7 4 2 7 文科數(shù)學 第五步 消去 2 4 中的x3 2 2 7 4 2 7 1 3 9 得 第六步 使 9 中的x2的系數(shù)變?yōu)? 文科數(shù)學 1 3 9 得 第六步 使 9 中的x2的系數(shù)變?yōu)? 第七步 消去 8 中的x2 8 10 得 文科數(shù)學 第七步 消去 8 中的x2 8 10 得 由此得到了方程組的解 思考 上述求解過程用到了哪些方法 從而逐步對原方程組進行消元變簡 文科數(shù)學 用到了如下三種變換 1 交換兩個方程的順序 3 用一個數(shù)乘某個方程后加到另一個方程上 2 用一個非零常數(shù)乘某個方程 稱上述三種變換為線性方程組的初等變換 初等變換的作用在于將方程組的形式變的簡單易求 且新方程組與原方程組是同解方程組 用消元法求解線性方程組的實質(zhì)對方程組施行一系列同解的初等變換 將它逐步化簡以求其解 文科數(shù)學 思考 方程組的解和未知量符號有沒有關(guān)系 那和什么有關(guān)呢 沒有 和未知量的系數(shù)以及右端的常數(shù)項有關(guān) 問題 在用初等變換求解方程組時 本質(zhì)上是對什么在運算 什么在變化 未知量的系數(shù)以及右端的常數(shù)項 基于此 在解題時可將未知量舍去不寫 此時就出現(xiàn)了由未知量系數(shù)以及右端常數(shù)項組成的數(shù)表 經(jīng)初等變換求解線性方程組的這一思路 反映了一般線性方程組的求解規(guī)律 文科數(shù)學 此數(shù)表是按各數(shù)在方程組中的相對位置排成的 加上常數(shù)項得數(shù)表 1 2 稱上述矩形表為矩陣 橫的排稱為行 豎的排稱為列 其中的數(shù)稱為矩陣的元素 矩陣 1 稱為方程組的系數(shù)矩陣 記為A 矩陣 2 稱為方程組的增廣矩陣 記為 文科數(shù)學 對于一般的線性方程組 文科數(shù)學 增廣矩陣可以看成線性方程組的簡便寫法 因此對于方程組的加減消元法用到的三種初等變換也只對增廣矩陣進行 反映在矩陣上即為 3 用一個數(shù)乘矩陣的某一行后加到另一行上 1 交換矩陣的某兩行 記為 2 用一個非零常數(shù)乘矩陣的某一行 記為 記為 稱此三種變換為矩陣的行初等變換 文科數(shù)學 由此對方程組的消元過程就可寫成對方程組的增廣矩陣的行初等變換 求解線性方程組 解 方程組的增廣矩陣 文科數(shù)學 互換 1 與 2 的位置得 2 2 1 3 4 1 得 文科數(shù)學 2 2 1 3 4 1 得 3 2 得 文科數(shù)學 3 2 得 行階梯形矩陣 階梯形方程組 1 2 3 得 文科數(shù)學 1 2 3 得 1 2 3 2 2 3 得 文科數(shù)學 1 2 3 2 2 3 得 1 3 2 得 文科數(shù)學 1 3 2 得 1 2 得 文科數(shù)學 1 2 得 行最簡階梯形矩陣 階梯上第一個元素為1 同列的其它元素都為零 從而原方程組的解為 文科數(shù)學 上述解法的基本思路和步驟反復利用矩陣的行初等變換 逐步將線性方程組的增廣矩陣化成行最簡階梯形矩陣 從而求出方程組的解 此種方法稱為高斯消元法 它是解線性方程組的最一般 最有效的方法 將一個矩陣化為行最簡階梯形矩陣共分兩步化行階梯形 從上到下 從左到右 化行最簡階梯形 從下到上 從右到左 文科數(shù)學 在我國古代數(shù)學經(jīng)典著作 九章算術(shù) 約公元3世紀 第八章 方程 線性方程組 中有如下一問 今有上禾三秉 束 中禾二秉 下禾一秉 實 產(chǎn)量 三十九斗 上禾二秉 中禾三秉 下禾一秉 實三十四斗 上禾一秉 中禾二秉 下禾三秉 實二十六斗 問上 中 下禾一秉幾何 該書中列出了如下的方程組 中國古代的書寫形式是自上而下 從右到左 試列出此問題的方程組 并用高斯消元法求出其解 文科數(shù)學 文科數(shù)學 文科數(shù)學 上禾一秉 九斗四分斗之一 中禾一秉 四斗四分斗之一 下禾一秉 二斗四分斗之三 文科數(shù)學 討論下列線性方程組解的情況 并從幾何上給以說明 1 無解 平行但不重合 2 無窮多解 平行且重合 3 唯一解 相交但不重合 4 同 2 文科數(shù)學 解線性方程組 解 方程組的增廣矩陣 文科數(shù)學 有何特點 文科數(shù)學 則同解方程組為 即 則原方程組的解為 有何特點 令x3 k 顯然方程組有無窮多解 稱上述含任意常數(shù)的解為方程組的通解 文科數(shù)學 解線性方程組 解 方程組的增廣矩陣 文科數(shù)學 文科數(shù)學 文科數(shù)學 同解方程組最后一個方程0 2是矛盾方程 所以方程組無解 此時稱該方程組是不相容的或矛盾的 有何特點 文科數(shù)學 由以上3例思考1 線性方程組都有解嗎 若有解 解一定唯一嗎 2 如何判斷解的各種情況 不一定 唯一解 無窮多解 無解 文科數(shù)學 線性方程組解的判定方法將線性方程組的增廣矩陣化為行階梯形矩陣后 1 若出現(xiàn) 0 0 d 0的非零行 則無解 2 若不出現(xiàn) 0 0 d 0的非零行 則有解 且 非零行行數(shù)等于未知量個數(shù) 則有唯一解 非零行行數(shù)小于未知量個數(shù) 則有無窮多解 無解 唯一解 無窮多解 文科數(shù)學 求解齊次線性方程組 解 對系數(shù)矩陣施行行初等變換化為行最簡階梯形 齊次線性方程組解的情況 文科數(shù)學 齊次線性方程組解的情況 有何特點 文科數(shù)學 齊次線性方程組解的情況 有何特點 寫出等價方程組并移項 文科數(shù)學 齊次線性方程組解的情況 寫出等價方程組并移項 則方程組的通解為 事實上 齊次線性方程組總有零解 稱其為平凡解 令 文科數(shù)學 齊次線性方程組解的判定方法將線性方程組的系數(shù)矩陣化為行階梯形矩陣后 1 若非零行行數(shù)等于未知量個數(shù) 則有唯一解 2 若非零行行數(shù)小于未知量個數(shù) 則有無窮多解 文科數(shù)學 線性方程組的解題步驟 線性方程組 增廣矩陣 行最簡形 同解方程組 得其解 判斷是否有解 結(jié)束 文科數(shù)學 討論下面的線性方程組何時無解 何時有無窮多解 d3 0時無解 d3 0時有無窮多解 文科數(shù)學 小結(jié)本節(jié)主要圍繞解一般線性方程組的問題 從運用加減消元法去求解特殊的線性方程組入手 一步一步的提出問題 分析問題 逐步探索出求解任意線性方程組的一般方法 高斯消元法 高斯消元法的基本思想 逐步將原方程組化簡 直至易于求解的形式 使用的手段 施行矩陣的行初等變換 將增廣矩陣化為行最簡階梯形矩陣 理論依據(jù) 變形后的方程組與原方程組同解 文科數(shù)學 作業(yè)P120 線性方程組的消元解法 1 2 3