平行線的性質(zhì) 習(xí)題 (含問題詳解)

word 2019年4月16日初中數(shù)學(xué)作業(yè) 學(xué)校:___________：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題 1．如圖，AC∥BE，∠ABE=70°，則∠A的度數(shù)為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可，兩直線平行，錯(cuò)角相等． 【詳解】 解：∵AC∥BE， ∴∠A=∠ABE=70°， 故選：A． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了平行的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩條平行線被第三條直線所截，錯(cuò)角相等． 2．如圖在中，已知，，，則（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根據(jù)∠1+∠EFD=180°和∠1+∠2=180°可以證明∠EFD=∠2，再根據(jù)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥EF，進(jìn)而得到∠ADE=∠3，再結(jié)合條件∠3=∠B可得∠ADE=∠B，進(jìn)而得到DE∥BC，再由平行線的性質(zhì)可得∠AED=∠C． 【詳解】 ∵∠1+∠EFD=180°，∠1+∠2=180°， ∴∠EFD=∠2， ∴AB∥EF ∴∠ADE=∠3， ∵∠3=∠B， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC， ∴∠AED=∠C， ∵∠AED=58°， ∴∠C=58°， 故選B. 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理． 3．如圖，已知直線c與a、b分別交于點(diǎn)A、B，且∠1=120°，當(dāng)∠2=（　?。r(shí)，直線a∥b． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先根據(jù)對頂角相等求出∠3的度數(shù)，再由平行線的判定即可得出結(jié)論． 【詳解】 解：∵∠1=120°，∠1與∠3是對頂角， ∴∠1=∠3=120°， ∵∠2=∠3=120°， ∴直線a∥b， 故選B． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是平行線的判定，用到的知識點(diǎn)為：同位角相等，兩直線平行． 4．如圖a∥b,∠1與∠2互余，∠3=115°，則∠4等于（） A．115° B．155° C．° D．125° 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)兩直線平行同旁角互補(bǔ)以及互余互補(bǔ)的定義可計(jì)算出∠4的值． 【詳解】 如圖，∵∠3與∠5是對頂角， ∴∠5=∠3=115°， ∵a∥b， ∴∠2+∠4=180°，∠1+∠5=180°， ∴∠1=180°-115°=65°， 又∵∠1與∠2互余， ∴∠2=90°-∠1=25°， ∴∠4=180°-∠2=180°-25°=155°， 故選B． 【點(diǎn)睛】 本題考查了平行線的性質(zhì)以及余角和補(bǔ)角的知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 5．如圖，給出如下推理：①∠1＝∠3．∴AD∥BC；②∠A+∠1+∠2＝180°，∴AB∥CD；③∠A+∠3+∠4＝180°，∴AB∥CD；④∠2＝∠4，∴AD∥BC其中正確的推理有（　?。? A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定解答即可. 【詳解】 即錯(cuò)角相等.故①錯(cuò)誤;即同旁角互補(bǔ).故②正確;,故③錯(cuò)誤;故④正確，即②④正確， 故選D. 【點(diǎn)睛】 此題主要考察平行線的性質(zhì)與判定,正確理解條件與結(jié)論之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 6．如圖AB∥CD,∠ABE=120°,∠ECD=25°,則∠E=（） A．75° B．80° C．85° D．95° 【答案】C 【解析】 【分析】 過點(diǎn)E作EF∥CD，根據(jù)AB∥CD可得EF∥AB，利用兩直線平行，同旁角互補(bǔ)和錯(cuò)角相等，分別求出∠BEF和∠FEC的度數(shù)，二者相加即可． 【詳解】 過點(diǎn)E作EF∥CD，如圖所示： ∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=60°，∵EF∥CD，∠ECD=25°，∴∠FEC=∠ECD=25°，∴∠E=∠BEF+∠ECD=60°+25°=85°．故選：C． 【點(diǎn)睛】 考查了平行線性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是利用兩直線平行，分別求出∠BEF和∠FEC的度數(shù)． 7．如圖，l1∥l2，∠1＝50°，則∠2等于( ) A．° B．130° C．50° D．40° 【答案】B 【解析】 【分析】 兩直線平行，同旁角互補(bǔ)，據(jù)此進(jìn)行解答． 【詳解】 ∵l1∥l2，∠1=50°， ∴∠2=180°-∠1=180°-50°=130°， 故選B． 【點(diǎn)睛】 本題應(yīng)用的知識點(diǎn)為：兩直線平行，同旁角互補(bǔ)． 8．如圖，將三角形ABC沿AB方向平移后，到達(dá)三角形BDE的位置．若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，則∠1的度數(shù)為( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)平移的性質(zhì)得出AC∥BE，以及∠CAB=∠EBD=50°，進(jìn)而求出∠1的度數(shù)． 【詳解】 ∵將△ABC沿直線AB向右平移后到達(dá)△BDE的位置， ∴AC∥BE， ∴∠CAB=∠EBD=50°， ∵∠ABC=100°， ∴∠1的度數(shù)為：180°-50°-100°=30°． 故選A． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了平移的性質(zhì)，得出∠CAB=∠EBD=50°是解決問題的關(guān)鍵． 二、填空題 9．如果兩邊與的兩邊互相平行，且，，則的度數(shù)為__． 【答案】35°或55° 【解析】 【分析】 根據(jù)：∠1兩邊與∠2的兩邊互相平行得出∠1=∠2或∠1+∠2=180°，代入求出x，即可得出答案． 【詳解】 ∵∠1兩邊與∠2的兩邊互相平行， ∴∠1=∠2或∠1+∠2=180°， ∵∠1=（3x+20）°，∠2=（8x-5）°， ∴3x+20=8x-5或3x+20+8x-5=180， 解得：x=5，或x=15， 當(dāng)x=5時(shí)，∠1=35°， 當(dāng)x=15時(shí)，∠1=65°， 故答案為：35°或65°． 【點(diǎn)睛】 本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能知道“如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”是解此題的關(guān)鍵． 10．如圖，∠1=70°，a∥b，則∠2=_____________， 【答案】110° 【解析】 【分析】 如圖，根據(jù)對頂角相等可得∠3=∠1=70°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠2的度數(shù). 【詳解】 如圖，∵∠1=70°， ∴∠3=∠1=70°， ∵a ∥ b， ∴∠2+∠3=180°， ∴∠2=180°-70°=110°， 故答案為：110°． 【點(diǎn)睛】 本題考查了平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 11．如圖,，則的度數(shù)是_________. 【答案】60 【解析】 【分析】 如圖，先利用鄰補(bǔ)角求出∠4=70°，再根據(jù)得∠4+∠2+∠3=180°，即可求出∠2的度數(shù). 【詳解】 ∵， ∴∠4=180°-110°=70°， ∵， ∴∠4+∠2+∠3=180°， 則∠2=60°. 故填60. 【點(diǎn)睛】 此題主要考察平行線的性質(zhì). 12．如圖，工程隊(duì)鋪設(shè)一公路，他們從點(diǎn)A處鋪設(shè)到點(diǎn)B處時(shí)，由于水塘擋路，他們決定改變方向經(jīng)過點(diǎn)C，再拐到點(diǎn)D，然后沿著與AB平行的DE方向繼續(xù)鋪設(shè)，如果∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，則∠BCD的度數(shù)是________． 【答案】80°. 【解析】 【分析】 過C作MN∥AB，根據(jù)平行線的判定可得DE∥NM∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1和∠2的度數(shù)，進(jìn)而可得∠BCD的度數(shù)． 【詳解】 解：過C作MN∥AB， ∵AB∥DE，∴MN∥DE，∴∠2+∠D=180°，∵∠CDE=140°，∴∠2=40°，∵M(jìn)N∥AB，∴∠1+∠B=180°，∵∠ABC=120°，∴∠1=60°，∴∠BCD=180°-60°-40°=80°，故答案為：80°． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁角互補(bǔ)． 13．如圖,直線l1、l2分別與直線l3、l4相交,∠1與∠3互余,∠3余角與∠2互補(bǔ),∠4=125°,則∠3=______． 【答案】55°． 【解析】 【分析】 求出∠5的度數(shù)，根據(jù)∠1與∠3互余和∠3的余角與∠2互補(bǔ)求出∠1+∠2=180°，根據(jù)平行線的判定得出l1∥l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可． 【詳解】 解：∵∠4=125°，∴∠5=180°-125°=55°，∵∠1與∠3互余，∠3的余角與∠2互補(bǔ)，∴∠1+∠2=180°，∴l(xiāng)1∥l2，∴∠3=∠5=55°，故答案是：55°． 【點(diǎn)睛】 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出l1∥l2是解此題的關(guān)鍵，注意：兩直線平行，錯(cuò)角相等． 14．點(diǎn)D、E、F分別在AB、AC、BC上 （1）_______ ∴ （2）________ ∴ （3） ∴_______________ （4） ∴_______________ 【答案】(1) ;(2) ;(3) ; (4);. 【解析】 【分析】 在解答此類問題時(shí)一定要對平行線的性質(zhì)和判定定理有一個(gè)明確的認(rèn)識和把握，在此基礎(chǔ)上結(jié)合題設(shè)的相關(guān)要求和已知條件，就可以解答出正確的結(jié)論. 【詳解】 （1）∴ （2）∠3, ∴ （3）∴ACDF （4）∴DEBC 【點(diǎn)睛】 本題考查的是平行線的性質(zhì)和判定的相關(guān)知識,解題關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)和判定定理. 15．小明到工廠去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖所示的零件，工人師傅告訴它，∠A=，且AB∥CD．小明馬上運(yùn)用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識得出了∠C的度數(shù)，聰明的你一定知道∠C=_______． 【答案】1400 【解析】 【分析】 根據(jù)“兩直線平行，同旁角互補(bǔ)”即可解答. 【詳解】 解：∠C=40° 理由：∵AB∥CD． ∴∠A+∠C=180°（兩直線平行，同旁角互補(bǔ)） ∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140° 故答案為：140°. 【點(diǎn)睛】 本題考查平行線的性質(zhì). 16．一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后又回到原來的方向（即AB∥CD，如圖所示），第一次轉(zhuǎn)彎時(shí)的∠B=，那么∠C應(yīng)是_______． 【答案】140° 【解析】 【分析】 根據(jù)兩直線平行，錯(cuò)角相等即可解答． 【詳解】 解：∵AB∥CD，∴∠B=∠C=140°． 【點(diǎn)睛】 本題考查兩直線平行，錯(cuò)角相等． 三、解答題 17．如圖，已知，分別探討下面的四個(gè)圖形中、和的關(guān)系，并請你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)，說明成立的理由. （1）圖①的關(guān)系是_____________；（2）圖②的關(guān)系是_____________； （3）圖③的關(guān)系是_____________；（4）圖④的關(guān)系是_____________； 【答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PCD=∠APC+∠PAB；（4）∠PAB=∠APC+∠PCD. 【解析】 【分析】 （1）過點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，再根據(jù)兩直線平行同旁角互補(bǔ)即可解答； （2）過點(diǎn)P作l∥AB，則AB∥CD∥l，再根據(jù)兩直線錯(cuò)角相等即可解答； （3）根據(jù)AB∥CD，可得出∠PEB=∠PCD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答； （4）根據(jù)AB∥CD，可得出∠PAB=∠PFD，再根據(jù)∠PFD是△CPF的外角，由三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答； 【詳解】 （1）過點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD， ∴∠1+∠PAB=180°， ∠2+∠PCD=180°， ∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°； （2）過點(diǎn)P作直線l∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4， ∴∠APC=∠PAB+∠PCD； （3）∵AB∥CD， ∴∠PEB=∠PCD， ∵∠PEB是△APE的外角， ∴∠PEB=∠PAB+∠APC， ∴∠PCD=∠APC+∠PAB； （4）∵AB∥CD， ∴∠PAB=∠PFD， ∵∠PFD是△CPF的外角， ∴∠PCD+∠APC=∠PFD， ∴∠PAB=∠APC+∠PCD． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助線，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵． 18．如圖，已知AC∥ED，ED∥GF，∠BDF=90°． （1）若∠ABD=150°，求∠GFD的度數(shù)； （2）若∠ABD=θ，求∠GFD-∠CBD的度數(shù)． 【答案】（1）∠GFD=120°；（2）∠GFD-∠CBD =90°． 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD+∠BDE=180°，進(jìn)而可得∠BDE=30°，然后再計(jì)算出∠EDF的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDF+∠F=180°，進(jìn)而可得∠GFD的度數(shù)； （2）與（1）類似，表示出∠F的度數(shù)，再表示出∠CBD的度數(shù)，再求差即可． 【詳解】 解：（1）∵AC∥ED， ∴∠ABD+∠BDE=180°， ∵∠ABD=150°， ∴∠BDE=30°， ∵∠BDF=90°， ∴∠EDF=60°， ∵ED∥GF， ∴∠EDF+∠F=180°， ∴∠F=120°； （2）∵AC∥ED， ∴∠ABD+∠BDE=180°， ∵∠ABD=θ， ∴∠BDE=180°-θ， ∵∠BDF=90°， ∴∠EDF=90°-（180°-θ）=θ-90°， ∵ED∥GF， ∴∠EDF+∠F=180°， ∴∠F=180°-（θ-90°）=270°-θ， ∵∠ABD=θ， ∴∠CBD=180°-θ， ∴∠GFD-∠CBD=270°-θ-180°+θ=90°． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁角互補(bǔ)． 19．如圖，已知∠1=∠2，∠GFA=40°，∠HAQ=15°，∠ACB=70°，AQ平分∠FAC，求證：BD∥GE∥AH． 【答案】見解析； 【解析】 【分析】 由同位角∠1=∠2，推知AH∥GE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義證得錯(cuò)角∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，所以BD∥AH，最后由平行線的遞進(jìn)關(guān)系證得BD∥GE∥AH． 【詳解】 證明：∵∠1=∠2， ∴AH∥GE， ∴∠GFA=∠FAH． ∵∠GFA=40°， ∴∠FAH=40°， ∴∠FAQ=∠FAH+∠HAQ， ∴∠FAQ=55°． 又∵AQ平分∠FAC， ∴∠QAC=∠FAQ=55°， ∵∠HAC=∠QAC+∠HAQ， ∴∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB， ∴BD∥AH， ∴BD∥GE∥AH． 【點(diǎn)睛】 本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用． 20．如圖，AB∥CD∥EF，且∠ABE=70°，∠ECD=150°，求∠BEC的度數(shù)． 【答案】∠BEC =40°． 【解析】 【分析】 根據(jù)∠BEC=∠BEF-∠ECF，求出∠BEF，∠CEF即可解決問題． 【詳解】 ∵AB∥EF， ∴∠ABE=∠BEF=70°， ∵CD∥EF， ∴∠ECD+∠CEF=180°， ∵∠ECD=150°， ∴∠CEF=30°， ∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°． 【點(diǎn)睛】 本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型． 21．已知：如圖，直線EF與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn). (1)如圖1，若∠1＝120°，∠2＝60°，則AB和CD的位置關(guān)系為； (2)在(1)的情況下，若點(diǎn)P是平面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三個(gè)角之間的關(guān)系： ①當(dāng)點(diǎn)P在圖2的位置時(shí)，可得∠EPF＝∠PEB＋∠PFD； 請閱讀下面的解答過程，并填空(理由或數(shù)學(xué)式)： 解：如圖2，過點(diǎn)P作MN∥AB， 則∠EPM＝∠PEB(兩直線平行，錯(cuò)角相等). ∵AB∥CD(已知)，MN∥AB(作圖)， ∴MN∥CD(平行于同一條直線的兩條直線互相平行). ∴∠MPF＝∠PFD. ∴∠EPM＋∠MPF＝∠PEB＋∠PFD(等式的性質(zhì))， 即∠EPF＝∠PEB＋∠PFD； ②當(dāng)點(diǎn)P在圖3的位置時(shí)，∠EPF，∠PEB，∠PFD三個(gè)角之間有何關(guān)系并證明； ③當(dāng)點(diǎn)P在圖4的位置時(shí)，請直接寫出∠EPF，∠PEB，∠PFD三個(gè)角之間的關(guān)系. 【答案】（1）見解析；（2）①見詳解；②∠PEB＋∠EPF＋∠PFD＝360°，③∠EPF＋∠PFD＝∠PEB. 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)對頂角相等可得∠BEF的度數(shù)，根據(jù)同旁角互補(bǔ)，兩直線平行，即可得出結(jié)論；（2）①過點(diǎn)P作MN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性質(zhì)易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．②③的解題方法與①一樣，分別過點(diǎn)P作MN∥AB，然后利用平行線的性質(zhì)得到三個(gè)角之間的關(guān)系． 【詳解】 （1）∵∠1=120°，∴∠BEF=120°，又∵∠2=60°，∴∠2+∠BEF=180°，∴AB∥CD；（2）①如圖2，過點(diǎn)P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，錯(cuò)角相等）．∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作圖），∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∴∠MPF=∠PFD，∴∠EPM+∠FPM=∠PEB+∠PFD（等式的性質(zhì)），即∠EPF=∠PEB+∠PFD，故答案為：兩直線平行，錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；∠EPM，∠MPF；②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；證明：如圖3，過作PM∥AB，∵AB∥CD，MP∥AB，∴MP∥CD，∴∠BEP+∠EPM=180°，∠DFP+∠FPM=180°，∴∠BEP+∠EPM+∠FPM+∠PFD=360°，即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；③∠EPF+∠PFD=∠PEB．理由：如圖4，過作PM∥AB，∵AB∥CD，MP∥AB，∴MP∥CD，∴∠PEB=∠MPE，∠PFD=∠MPF，∵∠EPF+∠FPM=∠MPE，∴∠EPF+∠PFD=∠PEB． 【點(diǎn)睛】 考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系；平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系． 22．如圖，已知直線a∥b且被直線l所截，∠2＝85°，求∠1的度數(shù)．請?jiān)跈M線上補(bǔ)全求解的過程或依據(jù)． 【答案】見解析. 【解析】 【分析】 根據(jù)平行線的性質(zhì)和對頂角相等的性質(zhì)填空． 【詳解】 解：∵a∥b(已知)， ∴∠1＝∠3(兩直線平行，同位角相等)． ∵∠2＝∠3(對頂角相等)，∠2＝85°(已知)， ∴∠1＝85°(等量代換)． 【點(diǎn)睛】 考查了平行線的性質(zhì)，學(xué)會(huì)書寫證明過程是所要訓(xùn)練的重點(diǎn)． 23．如圖，點(diǎn)D、E在AB上，點(diǎn)F、G分別在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2． (1)求證：DC∥EF； (2)若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度數(shù)． 【答案】（1）見解析（2）35° 【解析】 【分析】 （1）由知∠1=∠DCF，則∠2=∠DCF，即可證明； （2）由得∠B=90°-∠2=35°，再根據(jù)（1）可知的度數(shù). 【詳解】 ∵ ∴∠1=∠DCF， ∵ ∴∠2=∠DCF， ∴； （2）∵，∴∠BEF=90°， ∴∠B=90°-∠2=35°， 又∵ ∴=∠B=35°. 【點(diǎn)睛】 此題主要考察平行線的性質(zhì)與判定. 24．如圖，AB∥DE，C為BD上一點(diǎn)，∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD，求證：CE⊥CA. 【答案】詳見解析. 【解析】 【分析】 首先根據(jù)AB∥DE，判斷出∠B+∠D=180°；然后判斷出∠BCA+∠ECD=90°，即可推得CE⊥CA． 【詳解】 證明　∵AB∥DE， ∴∠B＋∠D＝180°， ∵∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD， ∴∠B＝180°－2∠BCA，∠D＝180°－2∠ECD， ∴(180°－2∠BCA)＋(180°－2∠ECD)＝180°， ∴∠BCA＋∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∴CE⊥CA. 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握平行線性質(zhì)的3個(gè)定理． 25．(1)完成下面的推理說明： 已知：如圖，BE∥CF，BE、CF分別平分∠ABC和∠BCD.求證：AB∥CD. (2)說出(1)的推理中運(yùn)用了哪兩個(gè)互逆的真命題． 【答案】（1）詳見解析；（2）兩個(gè)互逆的真命題為：兩直線平行，錯(cuò)角相等；錯(cuò)角相等，兩直線平行． 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠1=∠2，根據(jù)角平分線的定義，可得∠ABC=∠BCD，再根據(jù)平行線的判定，即可得出AB∥CD,（2）在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的結(jié)論和題干是另一個(gè)命題的題干和結(jié)論，則稱它們?yōu)榛ツ婷}． 【詳解】 (1)∵BE、CF分別平分∠ABC和∠BCD(已知)， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD(角平分線的定義)， ∵BE∥CF(已知)， ∴∠1＝∠2(兩直線平行，錯(cuò)角相等)， ∴∠ABC＝∠BCD(等量代換)， ∴∠ABC＝∠BCD(等式的性質(zhì))， ∴AB∥CD(錯(cuò)角相等，兩直線平行)． (2)兩個(gè)互逆的真命題為：兩直線平行，錯(cuò)角相等；錯(cuò)角相等，兩直線平行． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系；平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)． 26．如圖，已知：，則BC與EF平行嗎？為什么？ 【答案】平行 【解析】 【分析】 根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可解答. 【詳解】 解：BC//EF 證明：∵AB∥DE，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴BC∥EF． 故答案為： BC//EF 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵. 27．如圖，已知∠A=∠C，AD⊥BE于點(diǎn)F，BC⊥BE，點(diǎn)E，D，C在同一條直線上. (1)判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由； (2)若∠ABC=120°，求∠BEC的度數(shù). 【答案】(1)AB∥CD；(2)∠E=30°. 【解析】 【分析】 (1)先根據(jù)AD⊥BE，BC⊥BE，得出AD∥BC ,故可得出∠C＝∠ADE ,再由∠A＝∠C得出∠A＝∠ADE ,故可得出結(jié)論; (2)由AB∥CD得出∠C的度數(shù),再由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論. 【詳解】 (1)AB∥CD， ∵AD⊥BE，BC⊥BE， ∴AD∥BC， ∴∠C＝∠ADE. ∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠ADE， ∴AB∥CD. (2)∵AB∥CD，∠ABC＝120°， ∴∠C＝60°， ∵∠CBE＝90°， ∴∠E＝30°. 【點(diǎn)睛】 本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，先根據(jù)題意得出AD∥BC是解答此題的關(guān)鍵. 28．如圖，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，EF⊥BC于點(diǎn)F，AD平分∠BAC.求證：∠E＝∠1. 【答案】見解析 【解析】 【分析】 由AD垂直于BC，EF垂直于BC，得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到AD與EF平行，利用兩直線平行錯(cuò)角相等得到一對角相等，再由AD為角平分線得到一對角相等，等量代換即可得證． 【詳解】 證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)， ∴∠ADC＝∠EFC＝90°(垂直的定義)． ∴AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)． ∴∠1＝∠BAD(兩直線平行，錯(cuò)角相等)， ∠E＝∠CAD(兩直線平行，同位角相等)． 又∵AD平分∠BAC(已知)， ∴∠BAD＝∠CAD． ∴∠1＝∠E(等量代換)． 【點(diǎn)睛】 此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 29．如圖，根據(jù)圖形填空： 已知：∠DAF＝∠F，∠B＝∠D，AB與DC平行嗎？ 解：∠DAF＝∠F （） ∴AD∥BF（）， ∴∠D＝∠DCF（） ∵∠B＝∠D （） ∴∠B＝∠DCF （） ∴AB∥DC（） 【答案】見解析. 【解析】 【分析】 首先根據(jù)已知，應(yīng)用錯(cuò)角相等，兩直線平行，證得AD∥BF；利用兩直線平行，錯(cuò)角相等，證得∠D＝∠DCF，又由已知，利用等量代換，證得∠B＝∠DCF，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，證得AB∥DC． 【詳解】 解：∠DAF＝∠F （ 已知）， ∴AD∥BF（ 錯(cuò)角相等，兩直線平行）， ∴∠D＝∠DCF（ 兩直線平行，錯(cuò)角相等）， ∵∠B＝∠D （ 已知）， ∴∠B＝∠DCF （ 等量代換）， ∴AB∥DC（ 同位角相等，兩直線平行）． 【點(diǎn)睛】 本題考查了平行線的性質(zhì)與判定．解答本題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用． 30．如圖，已知，，求證：AC平分． 【答案】證明見解析. 【解析】 【分析】 由∠4＝∠B，推出CD∥AB，再由兩直線平行，錯(cuò)角相等，推出∠3＝∠2，然后通過等量代換推出∠1＝∠2，即可推出結(jié)論． 【詳解】 解：∵∠4＝∠B， ∴CD∥AB， ∴∠3＝∠2，又∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AC平分∠BAD． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)、等量代換、角平分線的定義，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理推出AC平分∠BAD． 31 / 31