微積分 課后習(xí)題答案.doc

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蚇羃羇荿蒀衿羆蒁蚅螅羅膁蒈蟻羄芃蚄薆肅莆蒆裊肅肅螞螁肂膈蒅螇肁莀螀蚃肀蒂薃羂聿膂莆袈肈芄薁螄肇莆莄蝕膇肆薀薆膆膈莂襖膅芁薈袀膄蒃莁螆膃膃蚆螞膂芅葿羈膁莇蚄袇膁蒀蕆螃芀腿蚃蠆袆節(jié)蒆薅裊莄蟻羃裊膃蒄衿襖芆蝿螅袃莈薂蟻袂蒀蒞羀袁膀薀袆羀節(jié)莃螂罿蒞蕿蚈罿肄莂薄羈芇蚇羃羇荿蒀衿羆蒁蚅螅羅膁蒈 習(xí)題11解答 1 設(shè)f(x,y)=xy+x11x1，求f(-x,-y),f(,),f(xy,), yxyyf(x,y)11xy1xyyxxy22解f(-x,-y)=xy+xy；f(,)=+;f(xy,)=x+y;1f(x,y)=yxy2+x 2 設(shè)f(x,y)=lnxlny，證明：f(xy,uv)=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v)f(xy,uv)=ln(xy)ln(uv)=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v) 3 求下列函數(shù)的定義域，并畫出定義域的圖形： （1）f(x,y)=-x2+2y-1;2（2）f(x,y)=4x-y2ln(1-x-y)xa222;（3）f(x,y)=1-yb22-zc22;（4）f(x,y,z)=x+2y+2z2.-x-y-z解（1）D=(x,y)x1,y1 （2）D=(x,y)0<x2+y2<1,y 222xy （3）D=(x,y)2+2+ab（4）D=(x,y,z)x0,y0,z0,x2+y2+z2<1 4求下列各極限： （1）lim1-xyx+y221-00+1=1x0y1=（2）limln(x+ex+y2-2y)2x1y0=ln(1+e)+0(2- =ln2（3）limxy+4xyx0y0=limxy+4)(2+xy(2+xy+4)x0y0xy+4)=-14 （4）limsin(xy)yx2y0=limsin(xy)xyx2y0x=25證明下列極限不存在： （1）limx0y0x+yx-y; （2）limxy22222x0y0xy+(x-y) （1）證明 如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)沿y=2x趨向(0,0) 則limx+yx-yx+2xx-2x=-3；x0y=2x0=limx0如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)沿x=2y趨向(0,0)，則limx+yx-yy0x=2y0=lim3yyy0=3所以極限不存在。（2）證明 如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)沿y=x趨向(0,0)xy22222則limx0y=x0xy+(x-y)=limxx44x0=1；如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)沿y=2x趨向(0,0)，則lim所以極限不存在。6指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)： （1）f(x,y)=y+2xy-2x2xy22222x0y=2x0xy+(x-y)=lim4x442x04x+x=0； （2）z=lnx-y。解 （1）為使函數(shù)表達(dá)式有意義，需y2-2x0，所以在y2-2x=0處，函數(shù)間斷。 （2）為使函數(shù)表達(dá)式有意義，需xy，所以在x=y處，函數(shù)間斷。 習(xí)題12 1（1）z=zxxy+yx,zx=1y-yx2，zy=1x-xy2.(2)=ycos(xy)-2ycos(xy)sin(xy)=ycos(xy)-sin(2xy)zy=xcos(xy)-2xcos(xy)sin(xy)=xcos(xy)-sin(2xy)(3)zx=y(1+xy)y-1y=y(1+xy)2y-1,1zzyx1+xy,lnz=yln，兩邊同時(shí)對(duì)y求偏導(dǎo)得=ln(1+xy)+yzy=zln1(+xy)+xy1+xy=(1+xy)ln1(+xy)+yxy1+xy;(4)zx1-=x+2yxxy31y2=x-2yx(x+y)33z,y=xx+2yx2=;3x+y1u(5)x=yzxz-1,uy=1zyxzlnx,uz=-yz2yxzlnx;(6)ux=z(x-y)z-12z1+(x-y),uy=-z(x-y)z-12z1+(x-y),uz=(x-y)ln(x-y)1+(x-y)2zz;2.(1)zx=y,zy=x,zxx=0,zxy=1,zyy=;(2) zx=asin2(ax+by),zy=bsin2(ax+by),zxx=2acos2(ax+by),zxy=2abcos2(ax+by),zyy=2bcos2(ax+by).223 fx=y+2xz,fy=2xy+z,fz=2yz+x,fxx=2z,fxz=2x,fyz=2z,fxx(0,0,1)=2,fxz(1,0,2)=2,fyz(0,-1,0)=0.2224zx=-2sin2(x-t2),zt=sin2(x-t2yt2),zxt=2cos2(x-t2)=0.t2),ztt=-cos2(x-t2)2ztt+zxt=-2cos2(x-)+2cos2(x-5.(1) zx=-12yx2ye, zy=x1xex,dz=-yx2yedx+x1xyexdy;(2) z=ln(x2+y),zx=2xx+y22,zy=yx+y22,dz=xx+y22dx+yx+y22dy;(3)zx2yx=-2 , zy=2y2x+y1+()1+x-y1-ydx+xdyxx=2dz= ,; 222y2x+yx+y()xyz(4) ux=yzxyz-1,uy=zxyz-1yzlnx,uz=yxyzlnx, lnxdz.du=yzxdx+zxlnxdy+yxyz6. 設(shè)對(duì)角線為z,則z=22x+y,zx=xx+y22,zy=yx+y22, dz=xdx+ydyx+y22 當(dāng)x=6,y=8,Dx=0.05,Dy=-0.1時(shí),Dzdz=60.05+8(-0.1)6+822=-0.05(m).7. 設(shè)兩腰分別為x、y,斜邊為z,則z=zx=xx+y22x+y,22，zy=yx+y22, dz=xdx+ydyx+y22,設(shè)x、y、z的絕對(duì)誤差分別為dx、dy、dz,當(dāng)x=7,y=24,Dxdx=0.1,DydDzdz70.1+240.17+2422y=0.1時(shí), z=7+2422=25=0.124,z的絕對(duì)誤差dz=0.124z的相對(duì)誤差Dzz0.12425=0.496%.8. 設(shè)內(nèi)半徑為r，內(nèi)高為h，容積為V，則V=prh,Vr=2prh,Vh=pr,dV=2prhdr+prdh,222當(dāng)r=4,h=20,Dr=0.1,Dh=0.1時(shí),DVdV=23.144200.1+3.1440.1=55.264(cm).23習(xí)題13yx+ )21.dudx=fdxxdx+fdyydx+fdzzdx=1+(zxyzax41+(22zxyz-xyzxyz2ae)2ax+1+(2a(ax+1)2=yz+axz-2axy(ax+1)z+xy=fxxx3222=(ax+1)e(1+ax)22ax(ax+1)+xe.342.zx+fhhx=h-x222-x-x-y22+arcsinx4x4x+y=4xarcsin4-x-y4x+yzy=fxxy+-xln(x+y)(1-x-y)(x+y)222244 4y434fhhy2=h-x2-y-x-y422+arcsinxx+y=4yarcsin43-x-y42x+y-yln(x+y)(1-x-y)(x+y)22224.3. (1)uxuxux=2xf1+yexyf2,uy=-2yf1+xe1zxyf2.(2) =1yf1,uy=-xy2f1+f2,uz=-yz2f2.(3)=f1+yf2+yzf3,uy=xf2+xzf3,uz=xyf3.(4)uxzx2=2xf1+yf2+f3uy=2yf1+xf2+f3,uz=f3.4 .(1)=yf1,zy=xf1+f2,zx22=yf11,2zxy2=f1+y(xf11+f12)=f1+xyf11+yf12,zy2=x(xf11+f12)+xf21+f22=xf11+2xf12+f222(2)zx=yf1+2xyf2,2zy=2xyf1+xf2,2zx22=y(yf11+2xyf432212)+2yf2+2xy(yf21+2xyf22222).=2yf2+yf11+4xyf12+4xyf22zxy2=2yf1+y(2xyf3211+xf12)+2xf2+2xy(2xyf322221+xf22)2 =2yf1+2xf2+2xyf11+2xyf22+5xyf12zy22=2xf1+2xy(2xyf2211+xf12)+x(2xyf42221+xf22)2 =2xf1+4xyf11+4xyf12+xf2235 Qus2=uxxs+uyys=1u2x+3uuuxuy3u1u, ,=+=-+2ytxtyt2x2y(usus)=1u23uu3u2u23u23uu1u2()+(),()=()-+(), 4x2xy4yt4x2xy4yut)2()+(2=(ux)+(2uy).26 (1) 設(shè)F(x,y,z)=x+y+z-eFz=1+e-(x+y+z)-(x+y+z)-(x+y+z), Fx=1+e,Fy=1+e-(x+y+z),zyFyFzzx=-FxFz=-1,=-=-1(2)設(shè)F(x,y,z)=z-xx-y22x-yz22tanzx-y22,zx-y22Fx=-tanx-y22-x-y22sec2(-12)(x-y)22-322xz=-xx-y22tanzx-yzx-y2222+xzx-y2222sec2zx2,2-yFy=yx-y22tan-x-ysec22zx-y2(-12)(x-y)22-32(-2yz)=-yx-y22tanzx-y22-yzx-y22sec2zx2,2-yFz=1-FxFzFyFzx2-y2sec2zx212-yx-yz+22=-tan22zx-y2,zx=-=-xx-y22cotxzx-yyzx222x-ycotxz222(1+cot22zx-y2),zy=-=-xy2-y2-y2-y2(1+cot2zx2-y2).(3) 設(shè)F(x,y,z)=x+2y+z-2xyz,Fx=1-FxFzyz-xyzFyFzyzxFy=2-xzyFx=1-xyz,zx=-=xyz-xyyxz-lnzy=,z=-=xz-2xyzxyz-xy.(4) 設(shè)F(x,y,z)=xz-lnz+lny,Fx=21z,Fy=1yFz=-xz2-1z,zx=-FxFz=zx+zy,z=-FyFz=zy(x+z),7.設(shè)F(x,y,z)=x+2y-3z-2sin(x+2y-3z),Fx=1-2cos(x+2y-3z),QFy=2-4cos(x+2y-3z),Fz=-3+6cos(x+2y-3z),zx =-FxFz=Fy1z2-=, =,Fz33yzx+zy=1.8.設(shè)F(x,y,z)=f(cx-az,cy-bz),Fx=cf1,Fy=cf2,Fz=-af1-bf2,zx=-FxFz=cf1af1+bf2+b,zy=-FyFz=cf2af1+bf2, azxzy=c.9. (1)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得x(6z+1)dydydz=-,=2x+2y,dx2y(3z+1) dx解之得dxdydzdyx2x+4y+6z=0,=dxdx3z+1dx(2) 方程兩邊同時(shí)對(duì)z求導(dǎo)得 dxdydz+dz+1=0, 解之得dydx2x+2y+2z=0dzdzy-zdx=,dzx-ydyz-x=.x-ydz(3) 方程兩邊同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)得 u1=e 0=euusinvu=,+sinv+ucosv,uxe(sinv-cosv)+1xxx解之得 uuuvvcosv-e-cosv+usinv,=.uxxxue(sinv-cosv)+1xuv同理方程兩邊同時(shí)對(duì)y求偏導(dǎo)得 u0=e 1=eu-cosvu=,+sinv+ucosv,uxe(sinv-cosv)+1yyy解之得 uuuvvsinv+e-cosv+usinv,=.uyyyue(sinv-cosv)+1xuuv習(xí)題1-41。求下列函數(shù)的方向?qū)?shù)222ulp0(1)u=x+2y+3z,p0(1,1,0),l=(1,-1,2)u解xuyuz0p0p0p0=2x=4y=6zp0p0=2,=4,=0,1=-2p0p0l=ul-1=2*+4*(-yz(2)u=(),p0(1,1,1),l=(2,1,-1);xu解xuyuz0p0p0p0yz-1y=z()(-2)xxyz-11=z()()xxyzy=()ln()xxp0p0p0=-1,=1,=0,p0l=ul-21*1=-1=(-1)*22(3)u=ln(x+y),p0(1,1),l與ox軸夾角為u解xuyulp0p0p3；p0=2xx+y2yx+y=cos22p022p0=1,=1,p3+sinp3=2 uuuur(4)u=xyz,p0(5,1,2),p1(9,4,14),l=p0p1.u解xuyuzp0p0p0=yz=xz=xyp0=2,=10,=5,0p0p0l=(4,3,12),l=(ulp0312,),131313,313+5*1213=9813.4=2*4132+10*2.求下列函數(shù)的梯度gradf.(1)f(x,y)=sin(xy)+cos(xy);f222解=cos(xy)*(2xy)-sin(xy)y,xfy=cos(xy)*y-sin(xy)*(2xy),2222222222gradf=(cos(xy)*(2xy)-sin(xy)y,cos(xy)*y-sin(xy)*(2xy).(2)f(x,y)=yxxe.xxxyfyyy11yyy解=(-2)e+e=e(1-),xxxyxxfyx=e+yyxyxe(-xyxyxy)=e(21x-1y),1y1gradf=(),e(-).xxy3.山坡的高度z由公式z=5-x-2y近似，其中x和y是水平直角坐標(biāo)，他決定按最陡的道路上登，問(wèn)應(yīng)當(dāng)沿什么方向上登。z解xzy33(-)242233(-)24=-2x33(-)24=3,=-4y33(-24=4,按最陡的道路上登,應(yīng)當(dāng)沿(3,4)方向上登。 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