《雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》說課教案

?雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程?說課教案 姜萍各位專家，各位老師：大家好！我叫姜萍，來自于牡丹江市第一高級中學(xué)。很快樂能在這里和大家進(jìn)行交流。 我說課的題目是?雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程?，內(nèi)容選自于北師大版?高中數(shù)學(xué)實驗教材?高二下冊第九章第二單元第一小節(jié)，課時安排為兩課時，本課為第一課時。下面我將從教材分析與處理、教學(xué)方法與手段、教學(xué)過程與設(shè)計、教學(xué)設(shè)計想法說明四大方面來闡述我的教學(xué)設(shè)想。一、教材分析與處理一教材的地位與作用學(xué)生初步認(rèn)識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學(xué)習(xí)是對其研究內(nèi)容的進(jìn)一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學(xué)習(xí)就會順理成章。所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下根底。 二學(xué)生狀況分析 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已掌握了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，也曾經(jīng)嘗試過探究式的學(xué)習(xí)方式，所以說從知識和學(xué)習(xí)方式上來說學(xué)生已具備了自行探索和推導(dǎo)方程的根底。另外，高二學(xué)生思維活潑，敢于表現(xiàn)自己，不喜歡被動地接受別人現(xiàn)成的觀點，但同時也缺乏發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的意識。 根據(jù)以上對教材和學(xué)生的分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知規(guī)律，我希望學(xué)生能到達(dá)以下三個教學(xué)目標(biāo)。 三教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：理解雙曲線的定義并能獨立推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程；2、過程與方法：通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究 ，使學(xué)生進(jìn)一步體驗類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運用，提高學(xué)生的觀察與探究能力；3、情感態(tài)度與價值觀：通過教師指導(dǎo)下的學(xué)生交流探索活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點認(rèn)識問題。 四教學(xué)重點、難點依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，確定本節(jié)課的重點為理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。難點為雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。 五教材處理 我對教學(xué)內(nèi)容作了一點調(diào)整：教材中是借用細(xì)繩畫出的雙曲線圖形，而我改用幾何畫板畫出雙曲線圖形。因為相比之下，幾何畫板更為形象直觀。通過幾何畫板，學(xué)生不僅可看到雙曲線形成的過程，而且較易看出橢圓與雙曲線的聯(lián)系和區(qū)別。二、教學(xué)方法與教學(xué)手段一教學(xué)方法著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗，所以本節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究式的教學(xué)方式，重點突出以下兩點：1、以類比思維作為教學(xué)的主線2、以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方式二教學(xué)手段采用多媒體輔助教學(xué)，表達(dá)在用幾何畫板畫雙曲線。但不是單純用動畫給學(xué)生看，而是通過動畫啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。三、教學(xué)過程與設(shè)計為到達(dá)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更好地突出重點，分散難點，我將教學(xué)過程分為四個階段。（一） 知識引入- 知識回憶、觀察動畫、概括定義在課的開始我設(shè)置了這樣幾個問題，以幫助學(xué)生進(jìn)行知識回憶：1、橢圓的第一定義是什么？定義中哪些字非常關(guān)鍵？2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？3、如何判斷焦點位置？a、b、c是何種關(guān)系？通過回憶，既檢測了學(xué)生對前面知識的掌握情況，同時又為下面雙曲線的學(xué)習(xí)做好鋪墊。之后，告訴學(xué)生：今天要學(xué)習(xí)一種新的曲線。翻開幾何畫板，首先通過動畫讓學(xué)生再一次回憶橢圓的生成過程，然后改變圖中的條件，將距離變大，動畫生成一種新的曲線，學(xué)生易看出該曲線為雙曲線。雙曲線的定義其實就是動點所滿足的關(guān)系，那么雙曲線的定義是什么？也就是動點所滿足的關(guān)系是什么？這個問題可讓學(xué)生進(jìn)行探究。解決這個問題有兩個難點：一是距離的運算關(guān)系的得出；二是運算關(guān)系的簡化。在探究中，學(xué)生類比橢圓會想到動點到兩定點的距離差為定值，會認(rèn)為這個定值必是正值，而會無視距離差為負(fù)值的情況，其實這只能得到雙曲線的一支。對于這種情況，我會采取啟發(fā)引導(dǎo)，把P從一支移到另一支，然后讓學(xué)生再次思考自己得到的關(guān)系是否正確。在引導(dǎo)下，學(xué)生會想到動點到兩定點的距離差為正值或正值的相反數(shù)。但這個關(guān)系能不能加以簡化？學(xué)生這個時候會聯(lián)想到可利用絕對值進(jìn)行簡化。這樣就得到了動點所滿足的較為精煉的關(guān)系，也就是得到了雙曲線的定義。這一設(shè)計讓學(xué)生先形象直觀地看到橢圓與雙曲線的形成過程，在此根底上，再通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生就可在觀察思考中一步一步地由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，最終得到雙曲線定義，從而培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力及概括能力。另外，這一設(shè)計也在形的方面實現(xiàn)了橢圓與雙曲線的比擬，也為下面雙曲線定義的挖掘及兩種曲線的比照打下根底。隨著雙曲線定義的得出，教學(xué)進(jìn)入第二階段-知識探索二 知識探索- 定義的挖掘、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、方程的比照1、定義的挖掘在這一環(huán)節(jié)中，我們要認(rèn)識到定義中的絕對值和兩點間距離與常數(shù)的大小關(guān)系二者對曲線的影響。首先，我設(shè)置了這樣兩個問題：1類比橢圓尋找雙曲線定義中的關(guān)鍵字；2假設(shè)分別去掉這幾個關(guān)鍵字曲線會發(fā)生怎樣變化？然后讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行合作探究，教師可適當(dāng)引導(dǎo)，對于學(xué)生難以理解的地方適時給予幫助指導(dǎo)。雖然學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓定義時也接觸過類似問題，但雙曲線較為復(fù)雜，比方 ：增加了“絕對值等等。學(xué)生要獨立完成會較為困難，所以采取合作探究。這個過程既可以加深學(xué)生對定義的理解，又讓可學(xué)生在相互交流中互相啟發(fā)、鼓勵、共同進(jìn)步提高，從而培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力和協(xié)作能力。在得出結(jié)論后，我又為學(xué)生提供了以下題目：請說出以下方程對應(yīng)曲線的名稱3 | 4 5 6這些題目由淺入深，前面兩題學(xué)生可由雙曲線定義直接認(rèn)識到動點的幾何含義，后四題需根據(jù)兩點間距離公式及橢圓雙曲線定義間接認(rèn)識到動點的幾何含義。這樣設(shè)置有了過渡，學(xué)生不會覺得跨度很大，處理起來比擬順手。通過這些題的練習(xí)可以加深學(xué)生對定義的理解，更重要的這些題目就是學(xué)生對自己研究結(jié)果的應(yīng)用。讓學(xué)生體驗到應(yīng)用自己探究果實的喜悅，對學(xué)生來說是一種鼓勵，一舉兩得。2、 標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點，為了突破它，我設(shè)置了這樣幾個問題讓其貫穿推導(dǎo)過程以將難點分解：1回憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟及方法；2類比橢圓試著推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3換元處理與橢圓有沒有區(qū)別？4猜證雙曲線焦點在 y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程。然后讓學(xué)生獨立完成推導(dǎo)過程。這樣設(shè)置的目的是考慮到由定義求方程，其實就是求軌跡方程的問題，并且雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程與橢圓十分類似，學(xué)生有能力獨立完成。但在化簡根式時由于運算量較大，學(xué)生可能會出現(xiàn)一些運算錯誤。另外，變形時絕大多數(shù)學(xué)生會想到先移項再平方，少局部學(xué)生會直接平方。假設(shè)直接平方，就會出現(xiàn)4次方，較為復(fù)雜。如果在實際教學(xué)中，有學(xué)生提出這種做法，我會讓讓大家參與分析討論，看看哪種做法更為簡便。以讓學(xué)生認(rèn)識到今后在變形時要考慮清楚不要盲目去做。整個這個推導(dǎo)過程，不僅提高了學(xué)生的變形能力、運算能力，而且也提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。3、方程的比照此時，學(xué)生接觸的方程已比擬多，很容易混淆，有必要加以比照。我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下兩組比照：1雙曲線方程的兩種形式的比照；2橢圓方程與雙曲線方程的比照。比照時會讓學(xué)生注意方程結(jié)構(gòu)的區(qū)別和聯(lián)系，比方說：到底是平方差還是平方和。另外，還要注意橢圓方程和雙曲線方程都涉及到的三個量a、b、c它們的區(qū)別和聯(lián)系。比照后，學(xué)生可初步的分清四個標(biāo)準(zhǔn)方程及知道如何判斷a、b 、c。之后，我又準(zhǔn)備了這樣一組題，以檢測學(xué)生對四個方程的掌握程度。請說出以下方程所表示曲線的焦點位置及a、 b 、c的值： 三知識應(yīng)用-例題與穩(wěn)固練習(xí) 1、例題：首先，我為學(xué)生準(zhǔn)備了兩道例題，例題可由學(xué)生講解，教師指導(dǎo)補充。例1、雙曲線焦點的坐標(biāo)為 ，雙曲線上一點P到的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。這道題學(xué)生可直接利用定義求標(biāo)準(zhǔn)方程，也可以按求軌跡方程的方法求標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生不會出現(xiàn)太大問題。但是要向?qū)W生指明，如果某種軌跡適合某種曲線的定義，就不必再用列方程求解，只要利用定義求出常規(guī)待定函數(shù)即可。例2、雙曲線的焦點在y 軸上，并且雙曲線上兩點的坐標(biāo)為3，-4， ，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。這道題可采用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程。此題中雙曲線焦點在y軸上，學(xué)生在求解過程中很可能會無視這個條件，易將方程設(shè)成焦點在x軸的。教師可及時加以強調(diào)，讓學(xué)生注意審題，以培養(yǎng)學(xué)生緊密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。設(shè)置兩道題是考慮到他們都來源于教材，而且緊緊圍繞雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，題目典型也有梯度，可使學(xué)生初步掌握定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。2、穩(wěn)固練習(xí)練習(xí)是學(xué)習(xí)活動中不可缺少的環(huán)節(jié)，通過練習(xí)可穩(wěn)固對知識的理解，在這一環(huán)節(jié)我為學(xué)生準(zhǔn)備了三道練習(xí)題。1雙曲線的實軸長為6，焦距為10，那么該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 A、 B、 C、或 D、 或第1題是求焦點不確定的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生易無視焦點在y軸的情況，通過此題的練習(xí)可以提醒學(xué)生考慮問題要全面。2 方程表示雙曲線，求m取值范圍。第2題限制條件為m+2 和m+1同號，即二者乘積大于0，學(xué)生易認(rèn)為二者均大于0，而無視了均小于0的情況，因此會丟解，所以通過這道題的練習(xí)會提醒學(xué)生考慮問題要認(rèn)真、全面，同時又可加深學(xué)生對定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的理解。3相距2km的兩個哨所A，B都聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲，當(dāng)時的聲速為330ms，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B處遲4s。試判斷爆炸點在什么上，并求出曲線的方程。第3題是從生活中提煉出的數(shù)學(xué)問題，可以加強學(xué)生的應(yīng)用能力及應(yīng)用意識，以讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)是源于生活，效勞于生活的辨證唯物主義觀點。四知識小結(jié)-知識總結(jié)與布置作業(yè)1、知識總結(jié)： 1雙曲線的定義 與橢圓的區(qū)別2標(biāo)準(zhǔn)方程 兩種形式3焦點位置的判斷 與橢圓的區(qū)別4a 、b、 c的關(guān)系與橢圓的區(qū)別片在課的尾聲，我讓學(xué)生對本節(jié)課進(jìn)行了總結(jié)。目的是幫助他們認(rèn)清這節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)， 培養(yǎng)他們的歸納總結(jié)能力。 2、作業(yè)：（1） 用表格形式整理雙曲線與橢圓的區(qū)別和聯(lián)系（2） 142頁第1、2題（3） 選做M是雙曲線上一點，是雙曲線的焦點， ，求的面積。假設(shè)使雙曲線的方程和角度任意變化，你能得出一般性的結(jié)論？教學(xué)內(nèi)涵是不局限于課堂的，為了幫助學(xué)生課下能夠繼續(xù)探索和研究，我設(shè)置了幾組不同層次的作業(yè)，以幫助學(xué)生穩(wěn)固對定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，同時可全面照顧到不同層次的學(xué)生，激發(fā)他們的能動性。 雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、 雙曲線的定義 三 例1： 定義的挖掘 二、 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例21、 推導(dǎo)：2、 比照： 板書設(shè)計這樣的板書設(shè)計目的是為了突出這節(jié)課的主要內(nèi)容和重點，幫助學(xué)生理清思緒，起到提綱挈領(lǐng)的作用。四、教學(xué)設(shè)計的想法說明： 我在教學(xué)過程設(shè)計方面注重了三點：一教學(xué)過程的著力點放在了如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣上，這是喚醒學(xué)生主體認(rèn)識的關(guān)鍵。二教學(xué)過程的重點放在了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力上，而把握重點的關(guān)鍵是如何選擇好創(chuàng)新精神、實踐能力與課堂教學(xué)的結(jié)合點，這個結(jié)合點從學(xué)科來說，就是以科學(xué)知識為載體，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維方法；從教師來說就是“思路、教路、學(xué)路三者有機(jī)結(jié)合的教學(xué)過程設(shè)計，及其在課堂中的藝術(shù)展現(xiàn)；從學(xué)生來說，就是親歷、體驗、探究、思考和創(chuàng)造性的解決問題的過程，從而在過程中獲得逐步開展。三教學(xué)過程的根本點放在了夯實根底知識和訓(xùn)練根本技能上，根底知識的教學(xué)注重了層次性、針對性。 我在教學(xué)理念方面注重了四點： 第一是能動性：師生互動、生生互動，學(xué)生主動參與研究過程。 第二是開放性：教學(xué)過程中關(guān)注每個學(xué)生的個性開展，尊重每個學(xué)生開展的特殊需要，學(xué)生的思維開放。 第三是生成性：在教學(xué)過程中，學(xué)生的認(rèn)識和體驗不斷加深，創(chuàng)造性的火花不斷進(jìn)發(fā)，學(xué)生的思維資源被開發(fā)出來，充分利用。第四是注重了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變：既注重了研究性學(xué)習(xí)，又注重了接受性學(xué)習(xí)，教師不把結(jié)論告訴學(xué)生，而是學(xué)生自己在教師指導(dǎo)下自主地發(fā)現(xiàn)問題、探究問題獲得結(jié)論，從而解決問題。以上就是我對這節(jié)課的全部認(rèn)識，我的說課到此結(jié)束，謝謝！教學(xué)過程一問題情境1情境：我們知道，橢圓上的點到兩個定點的距離的和等于常數(shù)當(dāng)焦點在 軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2問題：雙曲線上的點到兩個定點距離的差的絕對值等于常數(shù)，那么，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式呢？二學(xué)生活動設(shè)雙曲線的焦距為 ，雙曲線上任意一點到焦點 ， 的距離的差的絕對值等于常數(shù) 以 ， 所在直線為 軸，線段 的垂直平分線為 軸，建立直角坐標(biāo)系 如圖，那么 ， 的坐標(biāo)分別為 設(shè) 為雙曲線上任意義點，根據(jù)雙曲線定義知 ，即 化簡，得 ，令 ，得 ，兩邊除以 ，得 由上述過程可知，雙曲線上的點的坐標(biāo) 都滿足上面這個方程，并且滿足上面這個方程的點 都在的雙曲線上三建構(gòu)數(shù)學(xué)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ， 焦點在 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 其中 思考：怎樣推導(dǎo)出焦點在 軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程？說明：1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是與選擇的坐標(biāo)系有關(guān)的，當(dāng)且僅中選擇對稱軸為坐標(biāo)軸時有其標(biāo)準(zhǔn)形式2兩個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別： 與 的系數(shù)符號決定了焦點所在的坐標(biāo)軸，當(dāng) 系數(shù)為正時焦點在 軸上，當(dāng) 的系數(shù)為正時焦點在 軸上，而與分母的大小無關(guān)3以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線可用方程 表示四數(shù)學(xué)運用1例題：例1雙曲線的兩個焦點分別為 ，雙曲線上一點 到 ， 的距離的差的絕對值等于 ，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解 由題意，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 因為 ，所以 因而所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 變式將條件中絕對值去掉，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1 ，焦點在 軸上；2 ，經(jīng)過點 ，焦點在 軸上解1依題意 ，且焦點在 軸上，所以雙曲線方程為 2焦點在 軸上的雙曲線方程可設(shè)為 ，由 ，且經(jīng)過點 ，可得 解得 因此，所求雙曲線的方程為 變式上題可不明確焦點所在的坐標(biāo)軸例3 兩地相距 ，一炮彈在某處爆炸，在 處聽到爆炸聲的時間比在 處遲 ，設(shè)聲速為 1爆炸點在什么曲線上？2求這條曲線的方程解 1設(shè) 為爆炸點，由題意得 因為爆炸點離 點比離 點距離更遠(yuǎn)，所以爆炸點在以 為焦點且距 較近的雙曲線的一支上如圖 2如右圖，以直線 為 軸，線段 的垂直平分線為 軸建立直角坐標(biāo)系 設(shè) 為曲線上一點由 ，得 由 ，得 ， 因此，所求曲線的方程為 五回憶小結(jié)：1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2用定義和待定系數(shù)法求雙曲線的方程