江蘇省徐州市2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專(zhuān)練06 以平行四邊形為背景的中檔計(jì)算題與證明題習(xí)題

提分專(zhuān)練(六)　以平行四邊形為背景的中檔計(jì)算題與證明題 |類(lèi)型1|　四邊形綜合運(yùn)用問(wèn)題 1.[2017·酒泉] 如圖T6-1,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過(guò)對(duì)角線(xiàn)BD中點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交AB,CD邊于點(diǎn)E,F. (1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形; (2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí),求EF的長(zhǎng). 圖T6-1 2.閱讀下面材料: 在數(shù)學(xué)課上老師請(qǐng)同學(xué)們思考如下問(wèn)題:如圖T6-3①,我們把一個(gè)四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)E,F,G,H依次連接起來(lái)得到 的四邊形EFGH是平行四邊形嗎? 小敏在思考問(wèn)題時(shí),有如下思路:連接AC, 圖T6-2 結(jié)合小敏的思路作答: (1)若只改變圖①中四邊形ABCD的形狀(如圖②),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說(shuō)明理由. 參考小敏思考問(wèn)題的方法,解決問(wèn)題: (2)如圖②,在(1)的條件下,若連接AC,BD. ①當(dāng)AC與BD滿(mǎn)足什么條件時(shí),四邊形EFGH是菱形?寫(xiě)出結(jié)論并證明. ②當(dāng)AC與BD滿(mǎn)足什么條件時(shí),四邊形EFGH是矩形?直接寫(xiě)出結(jié)論. 圖T6-3 |類(lèi)型2|　四邊形的折疊問(wèn)題 3.[2018·寧夏] 將一張矩形紙片按如圖T6-4所示折疊,若∠1=40°,則∠2的度數(shù)是 (　　) 圖T6-4 A.40° B.50° C.60° D.70° 4.[2018·貴港] 如圖T6-5,將矩形ABCD折疊,折痕為EF,BC的對(duì)應(yīng)邊B'C'與CD交于點(diǎn)M,若∠B'MD=50°,則∠BEF的度 數(shù)為　　　　.  圖T6-5 5.如圖T6-6,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交CD于點(diǎn)F,連接DE. (1)求證:△ADE≌△CED; (2)求證:△DEF是等腰三角形. 圖T6-6 6.[2014·淮安] 如圖T6-7,在△ABC中,AD平分∠BAC,將△ABC折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,展開(kāi)后折痕分別交AB,AC于點(diǎn) E,F,連接DE,DF.求證:四邊形AEDF是菱形. 圖T6-7 7.如圖T6-8,在矩形紙片ABCD中,已知AB=1,BC=,點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng),連接AE,將四邊形ABCE沿直線(xiàn)AE折疊,得 到四邊形AB'C'E,點(diǎn)B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B',C'. (1)當(dāng)B'C'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)(如圖①),求線(xiàn)段CE的長(zhǎng); (2)若B'C'分別交邊AD,CD于點(diǎn)F,G,且∠DAE=22.5°(如圖②),求△DFG的面積; (3)在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中,求點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng). 　　　　　　　　圖T6-8 8.[2017·威海] 如圖T6-9,四邊形ABCD為一個(gè)矩形紙片,AB=3,BC=2,動(dòng)點(diǎn)P自D點(diǎn)出發(fā)沿DC方向運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)后停 止.△ADP以直線(xiàn)AP為軸翻折,點(diǎn)D落到點(diǎn)D1的位置.設(shè)DP=x,△AD1P與原紙片重疊部分的面積為y. (1)當(dāng)x為何值時(shí),直線(xiàn)AD1過(guò)點(diǎn)C? (2)當(dāng)x為何值時(shí),直線(xiàn)AD1過(guò)BC的中點(diǎn)E? (3)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式. 圖T6-9 |類(lèi)型3|　四邊形的平移、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題 9.問(wèn)題:如圖T6-10①,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系. 【發(fā)現(xiàn)證明】 小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖①證明上述結(jié)論. 【類(lèi)比引申】 如圖②,四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿(mǎn)足　　　　　 關(guān)系時(shí),仍有EF=BE+FD.  【探究應(yīng)用】 如圖③,在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD =150°,道路BC,CD上分別有景點(diǎn)E,F,且AE⊥AD,DF=40(-1)米,現(xiàn)要在E,F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的 長(zhǎng)(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73). 圖T6-10 參考答案 1.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,O是BD的中點(diǎn), ∴AB∥DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF, 又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(ASA), ∴EO=FO, ∴四邊形BEDF是平行四邊形. (2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí), 設(shè)BE=x則DE=x,AE=6-x, 在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2, ∴x2=42+(6-x)2, ∴x=, ∴S菱形BEDF=BE·AD=×4==BD·EF, 又∵BD===2, ∴×2·EF=,∴EF=. 2.解:(1)四邊形EFGH還是平行四邊形,理由如下: 連接AC, ∵E,F分別是AB,BC的中點(diǎn), ∴EF∥AC,EF=AC. ∵G,H分別是CD,AD的中點(diǎn), ∴GH∥AC,GH=AC, ∴EF∥GH,EF=GH, ∴四邊形EFGH是平行四邊形. (2)①當(dāng)AC=BD時(shí),四邊形EFGH是菱形,理由如下: 由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形, 當(dāng)AC=BD時(shí),∵FG=BD,EF=AC, ∴FG=EF, ∴四邊形EFGH是菱形. ②當(dāng)AC⊥BD時(shí),四邊形EFGH是矩形. 3.D　[解析] 如圖,易知2∠3=∠1+180°=220°,從而∠3=110°,又由平行線(xiàn)的性質(zhì),得∠2+∠3=180°,進(jìn)而∠2=70°,故選D. 4.70°　 5.證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD=BC,AB=CD. 由折疊的性質(zhì)可得:BC=CE,AB=AE, ∴AD=CE,AE=CD. 在△ADE和△CED中, ∴△ADE≌△CED(SSS). (2)由(1)得△ADE≌△CED, ∴∠DEA=∠EDC,即∠DEF=∠EDF, ∴EF=DF,∴△DEF是等腰三角形. 6.證明:由折疊可知AE=ED,AF=DF, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 又∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠3. ∴∠1=∠2=∠3=∠4, ∴AE∥DF,AF∥ED, ∴四邊形AEDF為平行四邊形, 又AE=ED, ∴四邊形AEDF為菱形. 7.解:(1)由折疊得,∠B=∠B'=90°,AB=AB'=1, BC=B'C'=,C'E=CE, 由勾股定理得,B'D===,所以DC'=-, 因?yàn)椤螦DE=90°,所以∠ADB'+∠EDC'=90°, 又因?yàn)椤螮DC'+∠DEC'=90°,所以∠ADB'=∠DEC', 又∠B'=∠C'=90°,所以△AB'D∽△DC'E, 所以=,即=, 所以CE=C'E=-2. (2)∵∠BAD=∠B'=∠D=90°,∠DAE=22.5°, ∴∠BAE=90°-22.5°=67.5°, ∴∠B'AF=67.5°-22.5°=45°, ∴∠B'AF=∠B'FA=45°, ∴∠DFG=∠AFB'=∠DGF=45°,∴DF=FG. 在Rt△AB'F中,AB'=FB'=1, ∴AF=AB'=,∴DF=DG=-, ∴S△DFG=×(-)2=-. (3)如圖,點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng), 在Rt△ADC中, ∵tan∠DAC==, ∴∠DAC=30°,AC=2CD=2. ∵∠C'AD=∠DAC=30°,∴∠CAC'=60°, ∴的長(zhǎng)== π. 8.解:(1)如圖①, 由題意得,△ADP≌△AD1P. ∴AD1=AD=2,PD=PD1=x,∠PDA=∠PD1A=90°. ∵直線(xiàn)AD1過(guò)點(diǎn)C,∴PD1⊥AC. 在Rt△ABC中,∵AB=3,BC=2, ∴AC==,CD1=-2. 在Rt△PCD1中,PC2=P+C, 即(3-x)2=x2+(-2)2, 解得x=. ∴當(dāng)x=時(shí),直線(xiàn)AD1過(guò)點(diǎn)C. (2)如圖②,連接PE. ∵E為BC中點(diǎn),∴BE=CE=1. 在Rt△ABE中, AE==. ∵AD1=AD=2,PD=PD1=x, ∴D1E=-2,PC=3-x. 在Rt△PD1E和Rt△PCE中, x2+(-2)2=(3-x)2+12,解得x=. ∴當(dāng)x=時(shí),直線(xiàn)AD1過(guò)BC的中點(diǎn)E. (3)如圖③,當(dāng)0≤x≤2時(shí),y=x. 如圖④,當(dāng)2<x≤3時(shí),點(diǎn)D1在矩形外部,PD1與AB交于點(diǎn)F. ∵AB∥CD,∴∠1=∠2. ∵∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴FP=FA. 作PG⊥AB,垂足為點(diǎn)G, 設(shè)FP=FA=a, 由題意得,AG=DP=x,FG=x-a. 在Rt△PFG中,由勾股定理,得(x-a)2+22=a2, 解得a=,∴y=×2×=. 綜上所述,當(dāng)0≤x≤2時(shí),y=x;當(dāng)2<x≤3時(shí),y=. 9.[解析] 【發(fā)現(xiàn)證明】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,∠EAG=90°,再根據(jù)“SAS”證明△AFG≌△AFE可得EF=GF,由此證得結(jié)論. 【類(lèi)比引申】 根據(jù)上面的特殊情況中∠EAF=∠BAD,猜想一般情況下也應(yīng)滿(mǎn)足∠EAF=∠BAD才能得到結(jié)論,證明過(guò)程與上面類(lèi)似. 【探究應(yīng)用】 連接AF.要運(yùn)用這個(gè)幾何模型必須先證明∠EAF=75°.過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H,解兩個(gè)直角三角形——Rt△AHD和Rt△AHF來(lái)得以實(shí)現(xiàn). 解:【發(fā)現(xiàn)證明】 證明:由旋轉(zhuǎn)可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,∠EAG=∠BAD=90°. ∵四邊形ABCD為正方形,∴∠ADC=90°, ∴∠ADC+∠ADG=180°,∴G,D,C三點(diǎn)共線(xiàn). ∵∠EAF=45°,∴∠GAF=45°,∴∠GAF=∠FAE. 又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS), ∴GF=EF.∵GF=GD+DF,∴EF=BE+DF. 【類(lèi)比引申】 ∠EAF=∠BAD 理由如下:如圖①,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADG,使AB與AD重合. 由旋轉(zhuǎn)可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG. ∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠ADG=180°, ∴G,D,C三點(diǎn)共線(xiàn). ∵∠BAE=∠DAG,∴∠BAD=∠EAG. ∵∠EAF=∠BAD,∴∠GAF=∠FAE. 又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS), ∴GF=EF. ∵GF=GD+DF, ∴EF=BE+DF.故答案為∠EAF=∠BAD. 【探究應(yīng)用】 ∵∠BAD=150°,∠DAE=90°, ∴∠BAE=60°. 又∵∠B=60°,∴△ABE是等邊三角形, ∴BE=AB=80. 如圖②,連接AF,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H. 在Rt△AHD中,∠ADH=180°-∠ADC=60°,AD=80, ∴∠HAD=30°,HD=AD=40,AH==40. ∵DF=40(-1), ∴HF=HD+DF=40+40(-1)=40, ∴在Rt△AHF中,AH=HF,∴∠HAF=45°, ∴∠DAF=15°,∴∠EAF=90°-15°=75°, ∴∠EAF=∠BAD. 運(yùn)用上面的結(jié)論可得EF=BE+DF=80+40(-1)=40+40≈109.即這條道路EF的長(zhǎng)約為109米. 14