第五專題 矩陣地數(shù)值特征(行列式、范數(shù)、條件數(shù)、跡、秩、相對特征根)

word第五專題 矩陣的數(shù)值特征（行列式、跡、秩、相對特征根、數(shù)、條件數(shù)）一、行列式已知Ap×q, Bq×p, 則|Ip+AB|=|Iq+BA|證明一：參照課本194頁，例4.3.證明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性質；從而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的數(shù)目相同，大小相同；其余特征值都等于1。行列式是特征值的乘積，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘積，所以二者相等。二、矩陣的跡矩陣的跡相對其它數(shù)值特征簡單些，然而，它在許多領域，如數(shù)值計算，逼近論，以及統(tǒng)計估計等都有相當多的應用，許多量的計算都會歸結為矩陣的跡的運算。下面討論有關跡的一些性質和不等式。定義：，etrA=exp(trA)性質：1.，線性性質；2.；3.；4.；5.為向量；6.;從Schur定理（或Jordan標準形）和（4）證明；7.,則,且等號成立的充要條件是A=0；8.,則，且等號成立的充要條件是A=B（）；9.對于n階方陣A，若存在正整數(shù)k,使得Ak=0,則tr(A)=0（從Schur定理或Jordan標準形證明）。若干基本不等式對于兩個m×n復矩陣A和B，tr(AHB)是m×n維酉空間上的積，也就是將它們按列依次排成的兩個mn維列向量的積，利用Cauchy-schwarz不等式x,y2x,xy,y 得定理：對任意兩個m×n復矩陣A和B |tr(AHB)|2tr(AHA)tr(BHB)這里等號成立的充要條件是A=cB,c為一常數(shù)。特別當A和B為實對稱陣或Hermit矩陣時0|tr(AB)|定理：設A和B為兩個n階Hermite陣,且A0，B0，則 0tr(AB)1(B)tr(A)tr(A)tr(B)1(B)表示B的最大特征值。證明：tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)0，又因為A1/21(B)I-BA1/20，所以1(B)tr(A)A1/2BA1/2，得tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)tr(1(B) A)=1(B) tr(A)tr(A)tr(B)推論：設A為Hermite矩陣，且A>0，則tr(A)tr(A-1)n另外，關于矩陣的跡的不等式還有很多，請參考矩陣論中不等式。三、矩陣的秩矩陣的秩的概念是由Sylvester于1861年引進的。它是矩陣的最重要的數(shù)字特征之一。下面討論有關矩陣秩的一些性質和不等式。定義：矩陣A的秩定義為它的行（或列）向量的最大無關組所包含的向量的個數(shù)。記為rank(A)性質：1.；2.；3.；4.，其中X列滿秩，Y行滿秩（消去法則）。定理（Sylvester）：設A和B分別為m×n和n×l矩陣，則Sylveste定理是關于兩個矩陣乘積的秩的不等式。其等號成立的充要條件請參考王松桂編寫的矩陣論中不等式，三個矩陣乘積的秩的不等式也一并參考上述文獻。四、相對特征根定義：設A和B均為P階實對稱陣，B>0，方程|A-B|=0的根稱為A相對于B的特征根。性質：|A-B|=0等價于|B-1/2AB-1/2-I|=0(因為B>0，所以B1/2>0)注：求A相對于B的特征根問題轉化為求B-1/2AB-1/2的特征根問題或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是實對稱陣，所以特征根為實數(shù)。定義：使(A-iB)li=0的非零向量li稱為對應于i的A相對于B的特征向量。性質： 設l是相對于的A B-1的特征向量，則A B-1l=l 或 A (B-1l)=B( B-1l)B-1l 為對應的A相對于B的特征向量（轉化為求A B-1的特征向量問題）。 設l是相對于的B-1/2AB-1/2的特征向量，則B-1/2AB-1/2l=l 可得A (B-1/2l)=B(B-1/2l)則B-1/2l 為對應的A相對于B的特征向量（轉化為求B-1/2AB-1/2對稱陣的特征向量問題）。五、向量數(shù)與矩陣數(shù)向量與矩陣的數(shù)是描述向量和矩陣“大小”的一種度量。先討論向量數(shù)。1. 向量數(shù)定義：設V為數(shù)域F上的線性空間，若對于V的任一向量x，對應一個實值函數(shù)，并滿足以下三個條件： （1）非負性 ，等號當且僅當x=0時成立； （2）齊次性 （3）三角不等式。則稱為V中向量x的數(shù)，簡稱為向量數(shù)。定義了數(shù)的線性空間定義稱為賦線性空間。例1. ，它可表示成，就是一種數(shù)，稱為歐氏數(shù)或2-數(shù)。證明：（i）非負性 ，當且僅當時，即x0時，0 （ii）齊次性 （iii）三角不等式 ，根據(jù)Hölder不等式：，2. 常用的向量數(shù)（設向量為）1-數(shù)：； -數(shù)：；P-數(shù)： （p>1, p=1, 2,）;2-數(shù)：;橢圓數(shù)(2-數(shù)的推廣):，A為Hermite正定陣.加權數(shù)：， 當，證明：顯然滿足非負性和齊次性 （iii），應用Hölder不等式即 3. 向量數(shù)的等價性定理 設、為的兩種向量數(shù)，則必定存在正數(shù)m、M，使得 ，（m、M與x無關），稱此為向量數(shù)的等價性。同時有注：（1）對某一向量X而言，如果它的某一種數(shù)?。ɑ虼螅?，那么它的其它數(shù)也?。ɑ虼螅?。（2）不同的向量數(shù)可能大小不同，但在考慮向量序列的收斂性問題時，卻表現(xiàn)出明顯的一致性。4、矩陣數(shù)向量數(shù)的概念推廣到矩陣情況。因為一個m×n階矩陣可以看成一個mn維向量，所以中任何一種向量數(shù)都可以認為是m×n階矩陣的矩陣數(shù)。1. 矩陣數(shù)定義：設表示數(shù)域C上全體階矩陣的集合。若對于中任一矩陣A，均對應一個實值函數(shù)，并滿足以下四個條件： （1）非負性： ，等號當且僅當A=0時成立； （2）齊次性： （3）三角不等式：,則稱為廣義矩陣數(shù)； （4）相容性：,則稱為矩陣數(shù)。5. 常用的矩陣數(shù)（1）Frobenius數(shù)（F-數(shù)）F-數(shù)： = =矩陣和向量之間常以乘積的形式出現(xiàn)，因而需要考慮矩陣數(shù)與向量數(shù)的協(xié)調性。定義：如果矩陣數(shù)和向量數(shù)滿足則稱這兩種數(shù)是相容的。給一種向量數(shù)后，我們總可以找到一個矩陣數(shù)與之相容。（2）誘導數(shù)設ACm×n，x, 為x的某種向量數(shù)，記則是矩陣A的且與相容的矩陣數(shù)，也稱之為A的誘導數(shù)或算子數(shù)。（3）p-數(shù)：，,x為所有可能的向量，可以證明下列矩陣數(shù)都是誘導數(shù)：（1） 列（和）數(shù)；（2） 譜數(shù)；的最大特征值稱為的譜半徑。當A是Hermite矩陣時，是A的譜半徑。注：譜數(shù)有許多良好的性質，因而經常用到。（3） 行（和）數(shù)（ ，）定理 矩陣A的任意一種數(shù)是A的元素的連續(xù)函數(shù)；矩陣A的任意兩種數(shù)是等價的。定理 設A×n，x, 則和是相容的即證明：由于成立。定理 設A×n，則是酉不變的，即對于任意酉矩陣U,V×n，有證明：定義 設A×n，A的所有不同特征值組成的集合稱為A的譜；特征值的模的最大值稱為A的譜半徑，記為(A)。定理 (A)不大于A的任何一種誘導數(shù)，即(A) 證明：設是A的任意特征值，x是相應的特征向量，即Ax=x則|·|x|= |Ax|A|·|x|, |x|0即|A|試證：設A是n階方陣，|A|是誘導數(shù)，當|A|<1時，I-A可逆，且有|(I-A)-1|(1-|A|)-1證明：若I-A不可逆，則齊次線性方程組(I-A)x=0有非零解x，即x=Ax，因而有|x|=|Ax|A|x|<|x|但這是不可能的，故I-A可逆。于是 (I-A)-1= (I-A)+A (I-A)-1=I+A (I-A)-1因此|(I-A)-1|I|+|A(I-A)-1|=1+|A(I-A)-1|1+|A| (I-A)-1|即證|(I-A)-1|(1-|A|)-1補充證明|I|=1：由相容性可知：|A|A-1|A A-1|=|I|對于誘導數(shù)( )。六、條件數(shù)條件數(shù)對研究方程的性態(tài)起著重要的作用。 定義：設矩陣A是可逆方陣，稱|A|A-1|為矩陣A的條件數(shù)，記為cond(A)，即cond(A)= |A|A-1|性質：（1）cond(A) 1,并且A的條件數(shù)與所取的誘導數(shù)的類型有關。因cond(A)= |A|A-1|A A-1|=|I|=1（2）cond(kA)= cond(A)=cond(A-1)，這里k為任意非零常數(shù)。當選用不用的數(shù)時，就得到不同的條件數(shù)，如：cond1(A)= |A|1|A-1|1cond(A)= |A|A-1|cond2(A)= |A|2|A-1|2=，其中分別為AHA的特征值的模的最大值和最小值。譜條件數(shù)特別地，如果A為可逆的Hermite矩陣，則有cond2(A)=這里分別為A的特征值的模的最大值和最小值。如果A為酉陣，則cond2(A)=1例 求矩陣A的條件數(shù)cond1(A)，cond(A)解：|A|1=max6;14;4=14;|A|=max8;3;13=14;故|A-1|1=17/4;|A-1|=47/4;cond1(A)= |A|1|A-1|1=14×17/4=259/2;cond(A)= |A|A-1|=611/4。例 設線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A可逆。討論當b有誤差b時，解的相對誤差x的大小。解：因矩陣A可逆，所以Ax=b有唯一解x=A-1b，設解的誤差為x，由A(x+x)=b+b得 Ax=b或x=A-1b得 （1）又Ax=b，可得，或 （2）所以由（1）和（2），得這說明相誤差的大小與條件數(shù)cond(A)密切相關；當右端b的相對誤差一定時，cond(A)越大，解的相對誤差就可能越大；cond(A)越小，解的相對誤差就可能越小。因而條件數(shù)cond(A)可以反映A的特性。一般來說：條件數(shù)反映了誤差放大的程度，條件數(shù)越大，矩陣越病態(tài)。條件數(shù)在最小二乘估計的穩(wěn)定性研究中有重要應用。 鑒于矩陣A的條件數(shù)數(shù)cond(A)有多種，但最常用的條件數(shù)是由譜數(shù)|A|2導出的，稱為譜條件數(shù)。在本章中，若無特別聲明，討論的條件數(shù)都是譜條件數(shù)。譜條件數(shù)： 若A是m×n階矩陣，且rank(A) =tn，則A的條件數(shù)定義為即最大奇異值與最小非零奇異值的商。（3）其它性質對任意酉矩陣Q，cond(QAQH)= cond(A-1)；。（因）17 / 17