浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)及其圖象 第16講 函數(shù)的應(yīng)用講解篇

第16講函數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)與方程、不等式的應(yīng)用考試內(nèi)容考試要求方法借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)(數(shù)形結(jié)合)，形象直觀地解決有關(guān)不等式的解(或最大(小)值)、方程的解等問題c常見類型求方程的解，求不等式的解，代數(shù)式大小比較等2.函數(shù)的最值的應(yīng)用考試內(nèi)容考試要求方法讀懂題意，借助問題中的等量關(guān)系、公式等列式；確定函數(shù)解析式及自變量的取值范圍；確定函數(shù)的最值，解決實際問題c常見類型一次函數(shù)最值，二次函數(shù)最值，反比例函數(shù)最值等.注意點在求函數(shù)最值時，要注意實際問題中自變量的取值的限制對最值的影響3.拋物線型的函數(shù)的應(yīng)用考試內(nèi)容考試要求方法建立平面直角坐標系；利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式；利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題c常見類型橋梁，隧道，體育運動等注意點當(dāng)題目中沒有給出坐標系時，坐標系選取的不同，所得解析式也不同4多個函數(shù)的組合的應(yīng)用考試內(nèi)容考試要求方法建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系(函數(shù)解析式或函數(shù)圖象)，如：一次函數(shù)與一次函數(shù)解析式或圖象，一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式或圖象，一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式或圖象，其他復(fù)合而成的函數(shù)解析式或圖象；借助函數(shù)解析式或圖象以及函數(shù)性質(zhì)解決問題c常見類型一次函數(shù)與一次函數(shù)的組合，一次函數(shù)與二次函數(shù)的組合，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的組合等5.靈活選用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型的應(yīng)用考試內(nèi)容考試要求方法由題目條件在坐標系中描出點的坐標；根據(jù)點的坐標判斷函數(shù)類型；由待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；將其他各點或?qū)?yīng)值代入所求解析式，檢驗函數(shù)類型確定是否正確；利用所求函數(shù)的性質(zhì)解決問題c常見類型生活、生產(chǎn)、科技等為背景的問題注意點建立函數(shù)模型解決實際問題時，題目中沒有明確函數(shù)類型時，要對求出的函數(shù)解析式進行驗證，防止出現(xiàn)錯解考試內(nèi)容考試要求基本思想1.數(shù)形結(jié)合，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)，形象直觀地解決有關(guān)方程、不等式、比較大小、最大(小)值等問題c2.建模思想，把生活、生產(chǎn)、科技等方面的問題通過建立函數(shù)模型求解如函數(shù)與三角形、四邊形、圓等幾何知識結(jié)合時，往往涉及最大面積，最小距離等問題，解決的過程中需要建立函數(shù)關(guān)系，運用函數(shù)的性質(zhì)求解1(2017·紹興模擬)一臺印刷機每年可印刷的書本數(shù)量y(萬冊)與它的使用時間x(年)成反比例關(guān)系，當(dāng)x2時，y20.則y與x的函數(shù)圖象大致是()2(2015·金華)圖2是圖1中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標系，橋的拱形可近似看成拋物線y(x80)216，橋拱與橋墩AC的交點C恰好在水面，有ACx軸，若OA10米，則橋面離水面的高度AC為()A16米 B.米 C16米 D.米【問題】人的視覺機能受運動速度的影響很大，行駛中的司機在駕駛室內(nèi)觀察前方物體時是動態(tài)的，車速增加，視野變窄，當(dāng)車速為50km/h時，視野為80度如果視野f(度)是車速v(km/h)的反比例函數(shù)(1)求f、v之間的關(guān)系式，并計算當(dāng)車速為100km/h時視野的度數(shù)(2)當(dāng)視野的度數(shù)不低于50度時，車速應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)(3)通過以上兩題解答，請你思考如何建立合適的函數(shù)模型，以及利用函數(shù)關(guān)系式解題時，如何理解已知數(shù)的意義【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理函數(shù)的實際問題，要認真分析，構(gòu)建函數(shù)模型，從而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解答問題；實際問題中函數(shù)解析式的求法：設(shè)x為自變量，y為x的函數(shù)，在求解析式時，一般與列方程解應(yīng)用題一樣先列出關(guān)于x、y的二元方程，再用含x的代數(shù)式表示y，最后還要寫出自變量x的取值范圍類型一方程(組)、不等式中的函數(shù)應(yīng)用(2017·安徽模擬)給出下列命題及函數(shù)yx，yx2和y.如果>a>a2，那么0a1；如果a2>a>，那么a1；如果>a2>a，那么1a0；如果a2>>a時，那么a1.則()A正確的命題是 B錯誤的命題是C正確的命題是 D錯誤的命題只有【解后感悟】本題是二次函數(shù)與不等式組的關(guān)系，實際上利用函數(shù)圖象來比較代數(shù)式的大小，求出兩交點的坐標，并準確識圖1(1)(2017·蘭州)下表是一組二次函數(shù)yx23x5的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值：x11.11.21.31.4y10.490.040.591.16那么方程x23x50的一個近似根是()A1 B1.1 C1.2 D1.3(2) 如圖，直線yk1xb與雙曲線y交于A、B兩點，其橫坐標分別為1和5，則不等式k1xb的解集是類型二幾何圖形中的函數(shù)應(yīng)用(2017·蕭山模擬)在RtPOQ中，OPOQ4，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點A、B.(1)求證：MAMB；(2)連結(jié)AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，AOB的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在請說明理由【解后感悟】該題的第(2)題是最小值問題，主要去構(gòu)建一個函數(shù)模型，然后利用性質(zhì)求最小值在構(gòu)造函數(shù)模型時注意兩個方面：一是揭示基本圖形，尋找基本的數(shù)量關(guān)系，二是確立哪個量作為自變量來構(gòu)建函數(shù)2 (2015·濰坊)如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側(cè)面積的最大值是()A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2類型三一次函數(shù)的應(yīng)用(2015·杭州)方成同學(xué)看到一則材料，甲開汽車，乙騎自行車從M地出發(fā)沿一條公路勻速前往N地，設(shè)乙行駛的時間為t(h)，甲乙兩人之間的距離為y(km)，y與t的函數(shù)關(guān)系如圖1所示，方成思考后發(fā)現(xiàn)了圖1的部分正確信息，乙先出發(fā)1h，甲出發(fā)0.5小時與乙相遇，請你幫助方成同學(xué)解決以下問題：(1)分別求出線段BC，CD所在直線的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)20y30時，求t的取值范圍；(3)分別求出甲、乙行駛的路程S甲、S乙與時間t的函數(shù)表達式，并在圖2所給的直角坐標系中分別畫出它們的圖象；(4)丙騎摩托車與乙同時出發(fā)，從N地沿同一條公路勻速前往M地，若丙經(jīng)過h與乙相遇，問丙出發(fā)后多少時間與甲相遇？ 【解后感悟】此題是一次函數(shù)的實際應(yīng)用，注意理解題意，結(jié)合圖象，根據(jù)實際選擇合理的方法解答3(2017·臺州模擬)某服裝廠現(xiàn)有A種布料70米，B種布料52米，現(xiàn)計劃用這兩種布料生產(chǎn)M、N兩種型號的時裝共80套已知做一套M型號的時裝需用A種布料1.1米，B種布料0.4米，可獲利50元；做一套N型號的時裝需用A種布料0.6米，B種布料0.9米，可獲利潤45元當(dāng)M型號的時裝為多少套時，能使該廠所獲利潤最大()A40 B44 C66 D804 (2015·舟山模擬)一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始的3分內(nèi)只進水不出水，在隨后的9分內(nèi)既進水又出水，每分的進水量和出水量都是常數(shù)容器內(nèi)的水量y(單位：升)與時間x(單位：分)之間的關(guān)系如圖所示當(dāng)容器內(nèi)的水量大于5升時，時間x的取值范圍為_類型四反比例函數(shù)的應(yīng)用(2015·南平模擬)小明家飲水機中原有水的溫度為20，通電開機后，飲水機自動開始加熱此過程中水溫y()與開機時間x(分)滿足一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)加熱到100時自動停止加熱，隨后水溫開始下降此過程中水溫y()與開機時間x(分)成反比例關(guān)系，當(dāng)水溫降至20時，飲水機又自動開始加熱，重復(fù)上述程序(如圖所示)，根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)當(dāng)0x8時，求水溫y()與開機時間x(分)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中t的值；(3)若小明在通電開機后即外出散步，請你預(yù)測小明散步45分鐘回到家時，飲水機內(nèi)的溫度約為多少？【解后感悟】此題是一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確的函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵5 某人對地面的壓強與他和地面接觸面積的函數(shù)關(guān)系如圖所示若某一沼澤地地面能承受的壓強不超過300N/m2，那么此人必須站立在面積_的木板上才不至于下陷(木板的重量忽略不計)()A至少2m2 B至多2m2 C大于2m2 D小于2m2類型五二次函數(shù)的應(yīng)用(2017·鎮(zhèn)江模擬)某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位：元)、銷售價y2(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：kg)之間的函數(shù)關(guān)系(1)請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式；(3)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【解后感悟】本題是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，難點在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式6(2017·麗水模擬)河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數(shù)的關(guān)系式為yx2，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時，這時水面寬度AB為()A20m B10m C20m D10m【實際應(yīng)用題】(2015·舟山)某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批粽子的出廠價為每只6元為按時完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李明第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只，y與x滿足如下關(guān)系式：y(1)李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只？(2)如圖，設(shè)第x天每只粽子的成本是p元，p與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫若李明第x天創(chuàng)造的利潤為W元，求W與x之間的函數(shù)表達式，并求出第幾天的利潤最大？最大值是多少元(利潤出廠價成本)?(3)設(shè)(2)小題中第m天利潤達到最大值，若要使第(m1)天的利潤比第m天的利潤至少多48元，則第(m1)天每只粽子至少應(yīng)提價幾元？【方法與對策】本題是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，難點在于讀懂題目信息，把實際問題構(gòu)建成一個函數(shù)模型，解答時需要同學(xué)們仔細分析所示情景分類討論，利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，利用一次函數(shù)的增減性求最值該題型是中考選擇題中的壓軸題，出現(xiàn)較多，學(xué)習(xí)過程中要重視【建立坐標系時忽視符號】如圖1，某灌溉設(shè)備的噴頭B高出地面1.25 m，噴出的拋物線形水流與噴頭底部A的距離為1 m處達到距地面最大高度2.25 m，試在恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼抵星蟪雠c該拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式學(xué)生小龍在解答圖1所示的問題時，具體解答如下：以水流的最高點為原點，過原點的水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系；設(shè)拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為yax2；根據(jù)題意可得B點與x軸的距離為1 m，故B點的坐標為(1，1)；代入yax2得1a·1，所以a1；所以拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為yx2.數(shù)學(xué)老師看了小龍的解題過程后說：“小龍的解答是錯誤的”(1)請指出小龍的解題從第_步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是什么？(2)請你寫出完整的正確解答過程參考答案第16講函數(shù)的應(yīng)用【考題體驗】1C2.B【知識引擎】【解析】(1)f、v之間的關(guān)系式f.當(dāng)v100時，f40.答：當(dāng)車速為100km/h時，視野的度數(shù)為40度(2)根據(jù)圖象或函數(shù)增減性，f隨v增大而減小，f50，v80，車速不超過80km/h.(3)揭示問題中的數(shù)量關(guān)系，通過兩個變量列方程，從而建立函數(shù)模型；對于問題中的數(shù)量，要尋找與變量之間的關(guān)系，以便解題【例題精析】例1易求x1時，三個函數(shù)的函數(shù)值都是1，所以，交點坐標為(1，1)根據(jù)對稱性，yx和y在第三象限的交點坐標為(1，1)如果>a>a2，那么0a1正確；如果a2>a>，那么a1或1a0，故本小題錯誤；如果>a2>a，那么a值不存在，故本小題錯誤；如果a2>>a時，那么a1正確綜上所述，正確的命題是.故選A.例2(1)證明：連結(jié)OM.RtPOQ中，OPOQ4，M是PQ的中點，PQ4，OMPMPQ2，POMBOMP45°.PMAAMOOMBAMO，PMAOMB.PMAOMB(ASA)MAMB.(2)AOB的周長存在最小值理由如下：PMAOMB，PAOB.OAOBOAPAOP4.設(shè)OAx，ABy，則y2x2(4x)22x28x162(x2)288.當(dāng)x2時y2有最小值8，從而y的最小值為2.AOB的周長存在最小值，其最小值是42.例3 (1)直線BC的函數(shù)表達式為：y40t60；直線CD的函數(shù)表達式為：y20t80；(2)OA的函數(shù)表達式為：y20t(0t1)，點A的縱坐標為20，當(dāng)20<y<30時，即20<40t60<30或20<20t80<30，解得：2<t<或<t<3；(3)S甲60t60(1t)，S乙20t(0t4)，所畫函數(shù)圖象如圖：(4) 當(dāng)t時，S乙，丙距M地的路程與時間的函數(shù)表達式為：S丙40t80(0t2)，S丙40t80與S甲60t60的圖象交點的橫坐標為，丙出發(fā)小時與甲相遇例4(1)當(dāng)0x8時，設(shè)水溫y()與開機時間x(分)的函數(shù)關(guān)系為：ykxb，依據(jù)題意，得解得：故此函數(shù)解析式為：y10x20；(2)在水溫下降過程中，設(shè)水溫y()與開機時間x(分)的函數(shù)關(guān)系式為：y，依據(jù)題意，得：100，即m800，故y，當(dāng)y20時，20，解得：t40；(3)454058，當(dāng)x5時，y10×52070，答：小明散步45分鐘回到家時，飲水機內(nèi)的溫度約為70.例5(1)點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當(dāng)產(chǎn)量為130kg時，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價相等，都為42元；(2)設(shè)線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yk1xb1，yk1xb1的圖象過點(0，60)與(90，42)，解得：這個一次函數(shù)的表達式為：y0.2x60(0x90)；(3)設(shè)y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，經(jīng)過點(0，120)與(130，42)，解得：這個一次函數(shù)的表達式為y0.6x120(0x130)，設(shè)產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為W元，當(dāng)0x90時，Wx(0.6x120)(0.2x60)0.4(x75)22250，當(dāng)x75時，W的值最大，最大值為2250；當(dāng)90x130時，Wx(0.6x120)420.6(x65)22535，當(dāng)x90時，W0.6(9065)225352160，由0.60知，當(dāng)x65時，W隨x的增大而減小，90x130時，W2160，因此當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為75kg時，獲得的利潤最大，最大值為2250元【變式拓展】1(1)C(2)5x1或x02.C3.B4.1<x<95.A6.C【熱點題型】【分析與解】(1)設(shè)李明第n天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只，由題意可知：30n120420，解得n10.答：第10天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只(2)根據(jù)圖象求得成本p與x之間的關(guān)系，然后根據(jù)利潤等于出廠價減去成本價，然后整理即可得到W與x的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答：由圖象得，當(dāng)0x9時，p4.1；當(dāng)9x15時，設(shè)pkxb，把點(9，4.1)，(15，4.7)代入得，解得p0.1x3.2，0x5時，W(64.1)×54x102.6x，當(dāng)x5時，W最大513(元)；5<x9時，W(64.1)×(30x120)57x228，x是整數(shù)，當(dāng)x9時，W最大741(元)；9<x15時，W(60.1x3.2)×(30x120)3x272x336，a3<0，當(dāng)x12時，W最大768(元)；綜上，當(dāng)x12時，W有最大值，最大值為768.(3)根據(jù)(2)得出m113，根據(jù)利潤等于出廠價減去成本價得出提價a與利潤W的關(guān)系式，再根據(jù)題意列出不等式求解即可：設(shè)第13天提價a元，由題意得，W13(6ap)(30x120)510(a1.5)，510(a1.5)76848，解得a0.1.答：第13天每只粽子至少應(yīng)提價0.1元【錯誤警示】(1)原因：B點的坐標寫錯了，應(yīng)是(1，1)(2)以水流的最高點為原點，過原點的水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系設(shè)拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為yax2，根據(jù)題意可得B點與x軸的距離為1 m，故B點的坐標為(1，1)，代入yax2得1a·1，所以a1，所以拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為yx2.13