重慶市2018年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角形 數(shù)學(xué)文化講堂（四）練習(xí)

數(shù)學(xué)文化講堂(四)一 海倫秦九韶公式古希臘的幾何學(xué)家海倫，約公元50年，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問題而聞名在他的著作度量一書中，給出了如下公式：若一個(gè)三角形的三邊分別為a，b，c，記p(abc)，那么三角形的面積為：SABC(海倫公式)我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶(約1202約1261)，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：SABC.海倫公式和秦九韶公式實(shí)質(zhì)上是同一個(gè)公式，所以我們一般也稱此公式為海倫秦九韶公式(人教八下P16，北師八上P51)1. 若ABC的三邊長為5，6，7，DEF的三邊長為，請(qǐng)利用上面的兩個(gè)公式分別求出ABC和DEF的面積2. 如圖，在ABC中，BC5，AC6，AB9，求ABC的內(nèi)切圓半徑第2題圖二 趙爽弦圖趙爽，三國吳人，是三國到南宋時(shí)期三百多年間中國杰出的數(shù)學(xué)家之一他在注解周髀算經(jīng)中給出的“趙爽弦圖”證明了勾股定理的準(zhǔn)確性，如圖所示，四個(gè)全等的直角三角形可以圍成一個(gè)大的正方形，中間空的是一個(gè)小正方形通過對(duì)這個(gè)圖形的切割、拼接、巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理證明方法如下：設(shè)直角三角形的三邊中較短的直角邊為a，另一直角邊為b，斜邊為c，朱實(shí)面積2ab，黃實(shí)面積(ba)2b22aba2，朱實(shí)面積黃實(shí)面積a2b2大正方形面積c2.(人教八下P30，北師八下P16)3. 如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成的大正方形，若直角三角形的兩邊長分別為3和5，則小正方形的面積為_ 第3題圖 第4題圖4. 如圖是“趙爽弦圖”，ABH、BCG、CDF和DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB10，EF2，那么AH等于_三 泰勒斯全等泰勒斯，公元前7至6世紀(jì)的古希臘時(shí)期的思想家、科學(xué)家、哲學(xué)家，希臘最早的哲學(xué)學(xué)派米利都學(xué)派(也稱愛奧尼亞學(xué)派)的創(chuàng)始人泰勒斯是古希臘及西方第一個(gè)有記載有名字留下來的自然科學(xué)家和哲學(xué)家5. 相傳泰勒斯利用三角形全等的方法求出岸上一點(diǎn)到海中一艘船的距離如圖，B是觀察點(diǎn)，船A在B的正前方，過點(diǎn)B作AB的垂線，在垂線上截取任意長BD，C是BD的中點(diǎn)，觀察者從點(diǎn)D沿垂直于BD的DE方向走，直到點(diǎn)E、船A和點(diǎn)C在一條直線上，那么ABCEDC，從而量出DE的距離即為船離岸的距離AB，這里判定ABCEDC的方法是()第5題圖A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS四 海島算經(jīng)海島算經(jīng)是中國最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)專著，也是中國古代高度發(fā)達(dá)的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)由劉徽于三國魏景元四年所撰，海島算經(jīng)共九問，都是用表尺重復(fù)從不同位置測(cè)望，取測(cè)量所得的差數(shù)，進(jìn)行計(jì)算從而求得山高或谷深(北師九上P104)6. 該書中提出九個(gè)測(cè)量問題，其中一個(gè)為：有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺從勾端望谷底，入下股九尺一寸又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈更從勾端望谷底，入上股八尺五寸問谷深幾何？題目的大意是：測(cè)量一個(gè)山谷AE的深度，拿一個(gè)高AB為6尺的矩尺ABD放在岸上，從B端看谷底EG(D在BG上)，下股AD為9尺1寸，向上平移矩尺3丈，現(xiàn)從B端看谷底EG，上股AD為8尺5寸，試求谷深A(yù)E.(一丈10尺100寸)第6題圖7. 某校王老師根據(jù)海島算經(jīng)中的問題，編了這樣一道題：如圖，甲、乙兩船同時(shí)由港口A出發(fā)開往海島B，甲船沿北偏東60°方向向海島B航行，其速度為15海里/小時(shí)；乙船速度為20海里/小時(shí)，先沿正東方向航行1小時(shí)后，到達(dá)C港口接旅客，在C港口停留0.5小時(shí)后再沿東北方向開往B島，B島建有一座燈塔，在燈塔方圓5海里內(nèi)都可以看見燈塔，問甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔，兩船看到燈塔的時(shí)間相差多少？(精確到分鐘，1.73，1.41)第7題圖答案1. 解： 當(dāng)ABC的三邊長為5，6，7時(shí)，則p×(567)9，SABC6，當(dāng)DEF的三邊長為，時(shí)，SDEF.2. 解：由題意得p×(569)10，則S10.Sr(ACBCAB)，10r(569)，解得r，故ABC的內(nèi)切圓半徑為.3. 1或4【解析】分兩種情況：5為斜邊時(shí)，由勾股定理得，另一直角邊長4，小正方形的邊長431，小正方形的面積121；3和5為兩條直角邊長時(shí)，小正方形的邊長532，小正方形的面積224；綜上所述，小正方形的面積為1或4.4. 6【解析】設(shè)AHx，則AEx2，由四個(gè)全等的直角三角形可得DEAHx，在RtDAE中，由勾股定理得：AD2AE2DE2，即102(x2)2x2，解得x6或x8(舍去)5. B6. 解：ADEG，BADBEG，ADEG，BADBEG，9.1(6AE)8.5(36AE)，解得AE419(尺)，谷深A(yù)E為41丈9尺7. 解：如解圖，過點(diǎn)B作BDAC，交AC的延長線于點(diǎn)D，設(shè)BDx，在RtBCD中，第7題解圖BCD45°，BCx，在RtABD中，ABD60°，ADBD·tan60°x，AB2x，AC20×120(海里)，ACCDAD，20x x，解得x10(1)海里，AB2x20(1)海里，BCx10(1)海里，t甲(AB5)÷15×60(20205)÷15×60198.4(分鐘)，t乙(ACBC5)÷20×600.5×602010(1)5÷20×6030190.5(分鐘)t甲>t乙，t甲t乙8(分鐘)，乙船先看到燈塔，兩艘船看到燈塔的時(shí)間相差約8分鐘6