重慶市2018年中考數(shù)學一輪復習 第七章 圖形的變化 數(shù)學文化講堂（六）練習

數(shù)學文化講堂(六)將軍飲馬問題唐朝詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教這個百思不得其解的問題從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳1. 你能解決上面的問題嗎？請畫圖說明2. 請利用將軍飲馬問題的模型解決下列問題：(1)幾何應用：如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PBPE的最小值為_(2)幾何拓展：如圖，ABC中，AB2，BAC30°，若在AC、AB上各取一點M、N，使BMMN的值最小，求這個最小值；(3)代數(shù)應用：求代數(shù)式(0x4)的最小值第2題圖答案1. 解：如解圖所示，從A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取A關(guān)于河岸的對稱點A，連接AB，與河岸線相交于C，則C點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，所走的路程就是最短的如果將軍在河邊的另外任一點C飲馬，所走的路程就是ACCB，但是，ACCBACCB>ABACCBACCB.可見，在C點外任何一點C飲馬，所走的路程都要遠一些這有幾點需要說明的：(1)由作法可知，河流l相當于線段AA的中垂線，所以ADAD.(2)將軍走的路程是ACBC，就等于ACBC，而兩點之間線段最短，所以C點為最優(yōu)第1題解圖2. 解：(1)；【解法提示】如解圖所示，作點B關(guān)于AC對稱的對稱點B，連接BE交AC于點P，第2題解圖此時PBPE的值最小連接AB.在RtACB中，ABAB2.AEAB，BACBAC45°，BAB90°，PBPE的最小值BE.(2)如解圖，作點B關(guān)于AC對稱的對稱點B，過B作BNAB于N，交AC于M.連接BM，AB，此時BMMN的值最小，即BMMNBMMNBN.點B與B關(guān)于AC對稱，ABAB，又BAC30°，BAB60°，BAB是等邊三角形，BBAB2，BBN60°，又BNAB，BNBB·sinBBN2×；第2題解圖(3)構(gòu)造圖形，如解圖所示，其中AB4，AC1，DB2，APx，CAAB于點A，DBAB于點B.PCPD，所求的最小值就是求PCPD的最小值作點C關(guān)于AB的對稱點C，過C作CEDB，交DB延長線于點E.則CEAB4，DE213，CD5，所求代數(shù)式的最小值是5.第2題解圖3