重慶市2018年中考數(shù)學一輪復習 第七章 圖形的變化 數(shù)學文化講堂(六)練習
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重慶市2018年中考數(shù)學一輪復習 第七章 圖形的變化 數(shù)學文化講堂(六)練習
數(shù)學文化講堂(六)將軍飲馬問題唐朝詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題如圖所示,詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā),走到河邊飲馬后再到B點宿營,請問怎樣走才能使總的路程最短?這個問題早在古羅馬時代就有了,傳說亞歷山大有一位精通數(shù)學和物理的學者,名叫海倫一天,一位羅馬將軍專程去拜訪他,向他請教這個百思不得其解的問題從此,這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳1. 你能解決上面的問題嗎?請畫圖說明2. 請利用將軍飲馬問題的模型解決下列問題:(1)幾何應用:如圖,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點,P是AC邊上的一動點,則PBPE的最小值為_(2)幾何拓展:如圖,ABC中,AB2,BAC30°,若在AC、AB上各取一點M、N,使BMMN的值最小,求這個最小值;(3)代數(shù)應用:求代數(shù)式(0x4)的最小值第2題圖答案1. 解:如解圖所示,從A出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AD的延長線上,取A關(guān)于河岸的對稱點A,連接AB,與河岸線相交于C,則C點就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線走到C,飲馬之后,再由C沿直線走到B,所走的路程就是最短的如果將軍在河邊的另外任一點C飲馬,所走的路程就是ACCB,但是,ACCBACCB>ABACCBACCB.可見,在C點外任何一點C飲馬,所走的路程都要遠一些這有幾點需要說明的:(1)由作法可知,河流l相當于線段AA的中垂線,所以ADAD.(2)將軍走的路程是ACBC,就等于ACBC,而兩點之間線段最短,所以C點為最優(yōu)第1題解圖2. 解:(1);【解法提示】如解圖所示,作點B關(guān)于AC對稱的對稱點B,連接BE交AC于點P,第2題解圖此時PBPE的值最小連接AB.在RtACB中,ABAB2.AEAB,BACBAC45°,BAB90°,PBPE的最小值BE.(2)如解圖,作點B關(guān)于AC對稱的對稱點B,過B作BNAB于N,交AC于M.連接BM,AB,此時BMMN的值最小,即BMMNBMMNBN.點B與B關(guān)于AC對稱,ABAB,又BAC30°,BAB60°,BAB是等邊三角形,BBAB2,BBN60°,又BNAB,BNBB·sinBBN2×;第2題解圖(3)構(gòu)造圖形,如解圖所示,其中AB4,AC1,DB2,APx,CAAB于點A,DBAB于點B.PCPD,所求的最小值就是求PCPD的最小值作點C關(guān)于AB的對稱點C,過C作CEDB,交DB延長線于點E.則CEAB4,DE213,CD5,所求代數(shù)式的最小值是5.第2題解圖3