（宜賓專版）2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一編 教材知識梳理篇 第3章 函數(shù)及其圖象 第11講 二次函數(shù)及其應(yīng)用 第1課時 二次函數(shù)（精講）練習(xí)

第十一講　二次函數(shù)及其應(yīng)用 第1課時　二次函數(shù) 宜賓中考考情與預(yù)測 宜賓考題感知與試做 （2017·宜賓中考）如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸分別交于A（－1，0）、B（5，0）兩點(diǎn). （1）求拋物線的解析式； （2）在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)C，作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連結(jié)AC，且AD＝5，CD＝8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時，求m的值； （3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn).試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 解：（1）∵拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸分別交于A（－1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)， ∴y＝－（x＋1）（x－5）， ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4x＋5； （2）∵AD＝5，OA＝1，∴OD＝6，C（－6，8）. 設(shè)平移后的點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8， 可令8＝－x2＋4x＋5， 解得x1＝1，x2＝3， ∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，8）或（3，8）. ∴m＝1－（－6）或m＝－3－（－6）， 即m的值為7或9； （3）∵y＝－x2＋4x＋5＝－（x－2）2＋9， ∴拋物線的對稱軸為直線x＝2， ∴可設(shè)P（2，t）. 如圖，由（2）可知E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8）. ①當(dāng)BE為對角線時，PE∥BQ，且PE＝BQ，則PE與BQ可以看成是相互平移得到的線段. ∵B（5，0），E（1，8），P（2，t）， ∴點(diǎn)Q的橫線坐標(biāo)為5－1＝4，把xQ＝4代入y＝－（x－2）2＋9可求得y＝5， ∴Q（4，5）； ②當(dāng)BE為平行四邊形的一邊時，PQ∥BE，且PQ＝BE，則PQ與BE可以看成是相互平移得到的線段. ∵B（5，0），E（1，8），P（2，t）， ∴點(diǎn)Q的橫線標(biāo)為2－4或2＋4，即xQ＝－2或xQ＝6，代入y＝－（x－2）2＋9可求得yQ＝－7， ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－2，－7）或（6，－7）. 綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，5）或（－2，－7）或（6，－7）. 宜賓中考考點(diǎn)梳理 　二次函數(shù)的概念及解析式 1.二次函數(shù)：形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng). 2.三種表示方法 （1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）； （2）頂點(diǎn)式：y＝a（x－h(huán)）2＋k（a≠0），其中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）； （3）交點(diǎn)式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1、x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 3.二次函數(shù)解析式的確定 求解二次函數(shù)解析式的方法一般用待定系數(shù)法，根據(jù)所給條件的不同，要靈活選用函數(shù)解析式. ①當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時，通常設(shè)為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c； ②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，通常設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x－h(huán)）2＋k； ③當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時，通常設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x－x1）（x－x2）. 　二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 4.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì) 函數(shù) 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a、b、c為常數(shù)，a≠0） a a>0（開口向上） a<0（開口向下） 圖象 對稱軸 直線x＝?。? 直線x＝－ 頂點(diǎn) 坐標(biāo) 增減性 在對稱軸的左側(cè)，即x＜－時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞－時，y隨x的增大而增大，簡記為“左減右增” 在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜－時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞－時，y隨x的增大而減小，簡記為“左增右減” 最值 當(dāng) x＝－　時，拋物線有最低點(diǎn)，即y有最小值，y最小值＝ 當(dāng)x＝－時，拋物線有最高點(diǎn)，即y有最大值，y最大值＝　　 5.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系 字母的符號 圖象的特征 a a＞0 開口向上 |a|越大， 開口越小 a＜0 開口　向下 b b＝0 對稱軸為y軸 ab＞0（a與b同號） 對稱軸在y軸左側(cè) ab＜0（a與b異號） 對稱軸在y軸右側(cè) c c＝0 經(jīng)過原點(diǎn) c＞0 與y軸正半軸相交 c＜0 與y軸負(fù)半軸相交 b2－4ac b2－4ac＝0 與x軸有唯一交點(diǎn)（頂點(diǎn)） b2－4ac＞0 與x軸有兩個不同交點(diǎn) b2－4ac＜0 與x軸沒有交點(diǎn) 幾種特定關(guān)系 當(dāng)x＝1時，y＝a＋b＋c 當(dāng)x＝－1時，y＝a－b＋c 當(dāng)a＋b＋c＞0，即x＝1時，y＞0 當(dāng)a－b＋c＞0，即x＝－1時，y＞0 6.二次函數(shù)圖象的平移（上加下減，左加右減） y＝a（x－h(huán)）2＋ky＝a（x－h(huán)）2＋k?。； y＝a（x－h(huán)）2＋ky＝a（x－h(huán)）2＋k　－　m； y＝a（x－h(huán)）2＋ky＝a（x－h(huán)?。）2＋k； y＝a（x－h(huán)）2＋ky＝a（x－h(huán)　－　m）2＋k. 1.（2017·宜賓中考）如圖，拋物線y1＝（x＋1）2＋1與y2＝a（x－4）2－3交于點(diǎn)A（1，3），過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于B、C兩點(diǎn)，且D、E分別為頂點(diǎn).則下列結(jié)論： ①a＝； ②AC＝AE； ③△ABD是等腰直角三角形； ④當(dāng)x＞1時，y1＞y2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　B?。? A.1 B.2 C.3 D.4 2.（2015·宜賓中考）如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸分別相交于點(diǎn)A（－2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P. （1）求拋物線的解析式； （2）動點(diǎn)M、N從點(diǎn)O同時出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別在線段OB、OC上向點(diǎn)B、C方向運(yùn)動，過點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)H. ①當(dāng)四邊形OMHN為矩形時，求點(diǎn)H的坐標(biāo)； ②是否存在這樣的點(diǎn)F，使△PFB為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 解：（1）把A（－2，0）、B（4，0）代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋4； [或由A、B的坐標(biāo)直接得出y＝－（x＋2）（x－4）.] （2）①由題意可設(shè)ON＝OM＝t， 則MH＝－t2＋t＋4. ∵ON∥MH，∠COB＝90°， ∴當(dāng)四邊形OMHN為矩形時，ON＝MH， 即t＝－t2＋t＋4， 解得t＝2或t＝－2（不合題意，舍去）. ∴H（2，2）； ②存在. 由（1）得C（0，4），頂點(diǎn)P，對稱軸為直線x＝1，與x軸的交點(diǎn)E（1，0）. 設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋m（k≠0），由B（4，0）和C（0，4），得解得 ∴直線BC的解析式為y＝－x＋4， ∴F（t，－t＋4）. 過點(diǎn)F作FD⊥PE于點(diǎn)D，則FD＝1－t，PD＝＋t－4＝＋t. i）若∠PFB＝90°，則∠PFD＝90°－∠BFD＝90°－∠OBC＝45°， ∴△FDP是等腰直角三角形，且FD＝PD， ∴1－t＝t＋，∴t＝，∴－t＋4＝－＋4＝， ∴F； ii）若∠FPB＝90°，由∠DFP＝∠EPB，∠FDP＝∠PEB＝90°，得△FDP∽△FEB， ∴＝，∴＝，解得t＝. ∴－t＋4＝－＋4＝， ∴F； iii）由圖可知∠FBP≠90°. 綜上所述，存在這樣的點(diǎn)F或，使△PFB為直角三角形. 中考典題精講精練 　二次函數(shù)及其圖象與性質(zhì) 【典例1】關(guān)于拋物線y＝x2－2x＋1，下列說法錯誤的是（　D?。? A.開口向上 B.與x軸有兩個重合的交點(diǎn) C.對稱軸是直線x＝1 D.當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小 【解析】先將一般式化為頂點(diǎn)式，得到y(tǒng)＝（x－1）2，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0），對稱軸是直線x＝1，根據(jù)a＝1>0，得出開口向上，據(jù)此即可判斷各選項(xiàng).也可以畫出拋物線的大致圖象，根據(jù)圖象逐項(xiàng)分析四個選項(xiàng)得出結(jié)論. 【典例2】 （2018·資陽中考）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，OA＝OC，則由拋物線的特征寫出如下含有a、b、c三個字母的等式或不等式：①＝－1；②ac＋b＋1＝0；③abc＞0；④a－b＋c＞0.其中正確的個數(shù)是（　A　） A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】此題可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合其圖象可知a＞0，－1＜c＜0，b＜0，再對各結(jié)論進(jìn)行判斷. ①＝－1，即拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為－1，故正確； ②設(shè)C（0，c），則OC＝|c|.∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0），代入y＝ax2＋bx＋c，得ac2＋bc＋c＝0.又c≠0，∴ac＋b＋1＝0，故正確； ③從圖象中易知a＞0，b＜0，c＜0，abc＞0，故正確； ④當(dāng)x＝－1時，a－b＋c＞0，y＝a－b＋c，由圖象知（－1，a－b＋c）在第二象限，∴a－b＋c＞0，故正確. 　二次函數(shù)解析式的確定及綜合運(yùn)用 【典例3】（2018·綿陽中考）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）過點(diǎn)A（，－3）和點(diǎn)B（3，0）.過點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C. （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為點(diǎn)D.連結(jié)OA，使得以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求出對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo). （3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S△AOC＝S△AOQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 【解答】解：（1）把點(diǎn)A（，－3）、B（3，0）代入y＝ax2＋bx，得 解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2－x； （2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為. ①若點(diǎn)P在直線AD上方，則AD＝x－，PD＝ x2－x＋3.當(dāng)△OCA∽△ADP時，＝，即＝， ∴x＝或x＝（舍去），此時P； 當(dāng)△OCA∽△PDA時， 同理可得P（4，6）； ②若P在直線AD下方，同理可得P. 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為、（4，6）或. （3）存在.∵A（，－3），∴在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝，∴OA＝2.∵S△AOC＝OC·AC＝OA·h＝，∴h＝.∵S△AOC＝S△AOQ，∴△AOQ邊OA上的高為3h＝.如圖，過O作OM⊥OA，截取OM＝，過M作MN∥OA，交y軸于點(diǎn)N. 在Rt△OMN中，ON＝2OM＝9，即N（0，9）， 過M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，∠MOH＝30°，則MH＝OM＝，OH＝OM＝， 即M. 易得直線MN的解析式為y＝－x＋9. 解 得或 ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）或（－2，15）. 1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列說法正確的是（　D?。? A.拋物線的開口向下 B.當(dāng)x＞－3時，y隨x的增大而增大 C.二次函數(shù)的最小值是－2 D.拋物線的對稱軸是直線x＝－ 2.（2018·天津中考）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（－1，0）、（0，3），其對稱軸在y軸右側(cè).有下列結(jié)論： ①拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0）； ②方程ax2＋bx＋c＝2有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； ③－3＜a＋b＜3. 其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（　C　） A.0 B.1 C.2 D.3 3.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，－2）和（0，－1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對稱軸為直線x＝1.下列結(jié)論：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac－b2＜8a；④＜a＜；⑤b＞c.其中正確的是（　D?。? A.①③　　　 B.①③④ C.②④⑤　　　 D.①③④⑤ 4.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）. 　　　　　　　　　　　備用圖 （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過點(diǎn)P的直線y＝x＋m與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求PE＋EF的最大值； （3）點(diǎn)D為拋物線對稱軸上一點(diǎn). ①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； ②若△BCD是銳角三角形，請直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍. 解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3； （2）由B（3，0）、C（0，3）易得直線BC的解析式為y＝－x＋3.∵直線y＝x＋m與直線y＝x平行， ∴直線y＝－x＋3與直線y＝x＋m垂直， ∴∠CEF＝90°，∴△ECF為等腰直角三角形. 過點(diǎn)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，PG∥y軸交BC于點(diǎn)G，如圖1，△EPG為等腰直角三角形， ∴PE＝PG. 設(shè)P（t，t2－4t＋3）（1＜t＜3），則G（t，－t＋3）， ∴PF＝PH＝t，PG＝－t＋3－（t2－4t＋3）＝－t2＋3t，∴PE＝PG＝－t2＋t， ∴PE＋EF＝PE＋PE＋PF＝2PE＋PF＝－t2＋3t＋t＝－t2＋4t＝－（t－2）2＋4，∴當(dāng)t＝2時，PE＋EF的最大值為4； 　　　　　圖1　　　　 　　圖2 （3）如圖2，拋物線的對稱軸為直線x＝－，即x＝2.設(shè)D（2，m），則BC2＝32＋32＝18，DC2＝4＋（m－3）2，BD2＝（3－2）2＋m2＝1＋m2. ①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2＋DC2＝BD2，即18＋4＋（m－3）2＝1＋m2，解得m＝5，此時D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）； 當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2＋BD2＝DC2，即4＋（m－3）2＝1＋m2＋18，解得m＝－1，此時D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－1）. 故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，5）或（2，－1）； ②當(dāng)△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時，DC2＋DB2＝BC2，即4＋（m－3）2＋1＋m2＝18，解得m1＝，m2＝，此時D點(diǎn)坐標(biāo)為或. 若△BCD是銳角三角形，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為＜m＜5或－1＜m＜. 9