2021-2022年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 枚舉法

2021-2022年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 枚舉法例1 如下圖所示，已知長方形的周長為20厘米，長和寬都是整厘米數(shù)，這個長方形有多少種可能形狀？哪種形狀的長方形面積最大？（邊長為1厘米的正方形的面積叫做1平方厘米）。解：由于長方形的周長是20厘米，可知它的長與寬之和為10厘米。下面列舉出符合這個條件的各種長方形。（注意，正方形可以說成是長與寬相等的長方形）。下面把5種長方形按實際尺寸大小一一畫出來，見下面圖（1）（5）。例2 如右圖所示，ABCD是一個正方形，邊長為2厘米，沿著圖中線段從A到C的最短長度為4厘米。問這樣的最短路線共有多少條？請一一畫出來。解：將各種路線一一列出，可知共6條，見下圖。注意，如果題中不要求將路徑一一畫出，可采用如右圖所示方法較為便捷。圖中交點處的數(shù)字表示到達該點的路線條數(shù)，如O點處的數(shù)字2，表示由A到O有2條不同的路徑，見上圖中的（1）和（2）；又H點處的數(shù)字3的意義也如此，見上圖中的（1）、（2）、（3）可知有3條路徑可由A到H。仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)各交點處的數(shù)字之間的關(guān)系，如O點的2等于F點和E點的數(shù)字相加之和，即1+1=2，又如，C點的6等于G點和H點的數(shù)字相加之和，即3+3=6。例3 在10和31之間有多少個數(shù)是3的倍數(shù)？解：由嘗試法可求出答案：3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=213×8=24 3×9=27 3×10=30可知滿足條件的數(shù)是 12、15、18、21、24、27和30共7個。注意，倘若問10和1000之間有多少個數(shù)是3的倍數(shù)，則用上述一一列舉的方法就顯得太繁瑣了，此時可采用下述方法：10÷3=3余1，可知10以內(nèi)有3個數(shù)是3的倍數(shù)；1000÷3=333余1，可知1000以內(nèi)有333個數(shù)是3的倍數(shù)；333-3=330，則知101000之內(nèi)有330個數(shù)是3的倍數(shù)。由上述這些例題可體會枚舉法的優(yōu)點和缺點及其適用范圍。例4 兩個整數(shù)之積為144，差為10，求這兩個數(shù)？解：列出兩個數(shù)積為144的各種情況，再尋找滿足題目條件的一對出來： 1 2 3 4 6 8 9 12144 72 48 36 24 18 16 12可見其中差是10的兩個數(shù)是8和18，這一對數(shù)即為所求。例5 12枚硬幣的總值是1元，其中只有5分和1角的兩種，問每種硬幣各多少個？解：列舉出兩種硬幣的可能搭配：可見滿足題目要求的搭配是：四個5分幣，八個1角幣。例6 小虎給4個小朋友寫信。由于粗心，在把信紙裝入信封時都給裝錯了。4個好朋友收到的都是給別人的信。問小虎裝錯的情況共有多少種可能？解：把4封信編號：1，2，3，4。把小朋友編號，友1，友2，友3，友4。并假定1號信是給友1寫的，2號信是給友2寫的，3號信是給友3的，4號信是給友4寫的：再把各種可能的錯裝情況列成下表：說明：如第一種錯收情況是友1得2號信，友2得了1號信，友3得了4號信，友4得了3號信。附送：2021-2022年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 猜猜湊湊有些數(shù)學題可以用猜猜湊湊的方法求出答案。猜，很難一次猜中；湊，也不一定湊得準。那不要緊，再猜再湊，對于比較簡單的問題，最后總能湊出答案來。數(shù)學家說，猜猜湊湊也是一種數(shù)學方法，它的正式的名字叫“嘗試法”。有時，它還是一種極為有效的方法，數(shù)學上的有些重大的發(fā)現(xiàn)往往都是大數(shù)學家們大膽地猜出來的。猜，要大膽；湊，要細心。要知道猜的對不對，還要根據(jù)題目中的條件進行檢驗。例1 小明心中想到三個數(shù)，這三個數(shù)的和等于這三個數(shù)的積，你知道小明想的三個數(shù)都是什么嗎？解：猜小明想的三個數(shù)是1、2、3。檢驗：1+2+3=61×2×3=6所以 1+2+3=1×2×3對了！解：猜由+=3可猜=1，=2；又由+=4可猜=1，=3；檢驗：+=2+3=5，對了！所以=1，=2，=3。例3 一些老人去趕集，買了一堆大鴨梨，一人一梨多一梨，一人兩梨少兩梨，問幾個老人幾個梨？解：猜可以先從小數(shù)猜起。2個老人3個梨。檢驗：2個老人3個梨符合一人一梨多一梨的條件。但是不是符合另一個條件呢？先看：若一人分兩個梨，2個老人就需要有4個梨，因為假設(shè)3個梨，這樣就會還少4-3=1個梨，這不符合少兩梨的條件。再猜：若是3個老人4個梨呢？顯然這符合第一個條件。再看第二個條件是不是也符合呢？若是一個老人分2個梨，3個老人就需要有6個梨，假設(shè)有4個梨，這樣就少6-4=2個梨，對了！所以最后答案就是3個老人4個梨。例4 100個和尚分100個饅頭，大和尚每人分3個饅頭，小和尚3人分1個饅頭，恰好分完。問大和尚、小和尚各多少人？解：這是一道古代的算題。猜若是大和尚33人，就要分3×33=99個饅頭，還剩100-99=1（個）饅頭，分給3個小和尚，這樣和尚總?cè)藬?shù)為33+3=36人，與已知有100個和尚不符，不對！大和尚的人數(shù)減少些。若是有30個大和尚，分3×30=90個饅頭，還剩10個饅頭，可以分給3×10=30個小和尚，這樣和尚總數(shù)是30+30=60人。還必須減少大和尚的人數(shù)。若是有25個大和尚，分3×25=75個饅頭，還剩100-75=25個饅頭，可以分給3×25=75個小和尚。這樣和尚總數(shù)是25+75=100人，對了。所以答案是大和尚25人，小和尚75人。例5 甲、乙、丙三個小朋友在操場跑步。甲2分鐘跑一圈，乙3分鐘跑一圈，丙5分鐘跑一圈。如果他們?nèi)送瑫r從同一起點起跑，問多少分鐘后他們?nèi)嗽俅蜗嘤?？解：猜與湊。先猜過6分鐘后，甲跑了3圈，乙跑了2圈，他們在起跑點又相遇了。再看丙是否與他倆相遇呢？丙5分鐘跑一圈，6分鐘跑了1圈多一點，錯過了，丙沒能與甲、乙相遇在一起。若再過6分鐘，即12分鐘后，甲和乙又相遇了。但是丙還不能與甲、乙相遇；因為：12÷5=2（圈）2即丙跑了2圈又多一些。這樣，已看出一個規(guī)律來了，能夠估計出若起跑后經(jīng)過5個6分鐘，即6×5=30分鐘，這時丙跑了30÷5=6圈整，這樣丙就能夠與甲、乙相遇了。例6 有人問孩子年齡，回答說：“比父親的歲數(shù)的一半少9歲”。又問父親年齡，回答說：“比孩子的歲數(shù)的3倍多3歲”。求父親和孩子的年齡各是多少歲？解：猜猜湊湊要找到對題中的兩句話都適合的年齡。先猜父親40歲，則兒子年齡是：40÷2-9=20-9=11（歲）檢驗父齡：11×3+3=33+3=36歲，不對！再猜父親42歲，則兒子：42÷2-9=21-9=12（歲）檢驗父齡：12×3+3=36+3=39（歲），不對！再猜父親44歲，則兒子：44÷2-9=22-9=13歲檢驗父齡：13×3+3=39+3=42歲，不對！再猜父親46歲，則兒子：46÷2-9=23-9=14歲檢驗父齡：14×3+3=42+3=45歲，不對！再猜父親48歲，則兒子：48÷2-9=24-9=15歲檢驗父齡：15×3+3=45+3=48歲，對了！所以答案是：父親年齡48歲，兒子年齡15歲。