2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題20 矩形（含解析）

專題20 矩形 專題知識(shí)回顧 1矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2矩形的性質(zhì)：（1）矩形的四個(gè)角都是直角； （2）矩形的對(duì)角線平分且相等。3矩形判定定理：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形； （3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。4矩形的面積：S矩形=長×寬=ab專題典型題考法及解析 【例題1】（2019廣西桂林）將矩形按如圖所示的方式折疊，為折痕，若頂點(diǎn)，都落在點(diǎn)處，且點(diǎn)，在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)，在另一條直線上，則的值為ABCD【答案】B【解析】由折疊可得，分別為，的中點(diǎn)，設(shè)，則，中，即，即，的值為【例題2】（2019貴州省安順市） 如圖，在RtABC中，BAC90°，AB3，AC4，點(diǎn)D為斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過D分別作DMAB于點(diǎn)M，作DNAC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為 .BDMNCA【答案】【解析】連接AD，即可證明四邊形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MNAD，再由三角形的面積關(guān)系求出AD的最小值，即可得出結(jié)果連接AD，如圖所示：BDMNCADMAB，DNAC，AMDAND90°，又BAC90°，四邊形AMDN是矩形；MNAD，BAC90°，AB3，AC4，BC5，當(dāng)ADBC時(shí)，AD最短，此時(shí)ABC的面積BCADABAC，AD的最小值，線段MN的最小值為。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.（2019廣東廣州）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線EF分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE3，AF5，則AC的長為（）A4B4C10D8【答案】A 【解析】連接AE，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出OAOC，AECE，證明AOFCOE得出AFCE5，得出AECE5，BCBE+CE8，由勾股定理求出AB4，再由勾股定理求出AC即可連接AE，如圖：EF是AC的垂直平分線，OAOC，AECE，四邊形ABCD是矩形，B90°，ADBC，OAFOCE，在AOF和COE中，AOFCOE（ASA），AFCE5，AECE5，BCBE+CE3+58，AB4，AC4；故選：A2.（2019貴州省銅仁市）如圖為矩形ABCD，一條直線將該矩形分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為a和b，則a+b不可能是（）A360°B540°C630°D720°【答案】C【解答】一條直線將該矩形ABCD分割成兩個(gè)多邊形，每一個(gè)多邊形的內(nèi)角和都是180°的倍數(shù)，都能被180整除，分析四個(gè)答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°3（2019山東泰安）如圖，矩形ABCD中，AB4，AD2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（）A2B4CD【答案】D 【解析】根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BPP1P2時(shí)，PB取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP1P1P2，故BP的最小值為BP1的長，由勾股定理求解即可如圖：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1DP1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DPFP由中位線定理可知：P1PCE且P1PCF點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，當(dāng)BPP1P2時(shí)，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E為AB的中點(diǎn)，CBE、ADE、BCP1為等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45°，DEC90°DP2P190°DP1P245°P2P1B90°，即BP1P1P2，BP的最小值為BP1的長在等腰直角BCP1中，CP1BC2BP12PB的最小值是24.（2019湖北荊州）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C分別落在MON的邊OM，ON上，若OAOC，要求只用無刻度的直尺作MON的平分線小明的作法如下：連接AC，BD交于點(diǎn)E，作射線OE，則射線OE平分MON有以下幾條幾何性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線互相平分，等腰三角形的“三線合一”小明的作法依據(jù)是（）ABCD【答案】C【解析】四邊形ABCD為矩形，AECE，而OAOC，OE為AOC的平分線二、填空題5（2019重慶）如圖，在矩形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，圖中陰影部分的面積是_（結(jié)果保留）【答案】【解析】6.（2019湖南婁底）如圖，要使平行四邊形 ABCD 是矩形，則應(yīng)添加的條件是 （添加一個(gè)條件即可）【答案】ABC=90°或 AC=BD【解析】解：根據(jù)矩形的判定定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；故添加條件：ABC=90°或 AC=BD 故答案為：ABC=90°或 AC=BD7.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SPAB SPCD，則PCPD的最小值是_【答案】.【解析】結(jié)合已知條件，根據(jù)SPAB SPCD可判斷出點(diǎn)P在平行于AB，與AB的距離為2、與CD的距離為4的直線上，再根據(jù)“將軍飲馬問題”的解法解之即可.過點(diǎn)P作直線lAB，作點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D1，連接CD1，矩形ABCD中，AB4，BC6，CD=4,DD1=8,在RtCDD1中，由勾股定理得CD1=，PCPD的最小值是. 8（2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在矩形ABCD中，AD8，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AEBD，垂足為點(diǎn)E，且AE平分BAC，則AB的長為 【答案】【解答】四邊形ABCD是矩形AOCOBODO，AE平分BAOBAEEAO，且AEAE，AEBAEO，ABEAOE（ASA）AOAB，且AOOBAOABBODO，BD2AB，AD2+AB2BD2，64+AB24AB2，AB9.（2019湖北省咸寧市）如圖，先有一張矩形紙片ABCD，AB4，BC8，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接PC，交MN于點(diǎn)Q，連接CM下列結(jié)論：CQCD；四邊形CMPN是菱形；P，A重合時(shí)，MN2；PQM的面積S的取值范圍是3S5其中正確的是 （把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】【解析】先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CNNP，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出正確；假設(shè)CQCD，得RtCMQCMD，進(jìn)而得DCMQCMBCP30°，這個(gè)不一定成立，判斷錯(cuò)誤；點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BNx，表示出ANNC8x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，進(jìn)而用勾股定理求得MN，判斷出正確；當(dāng)MN過D點(diǎn)時(shí)，求得四邊形CMPN的最小面積，進(jìn)而得S的最小值，當(dāng)P與A重合時(shí)，S的值最大，求得最大值便可如圖1，PMCN，PMNMNC，MNCPNM，PMNPNM，PMPN，NCNP，PMCN，MPCN，四邊形CNPM是平行四邊形，CNNP，四邊形CNPM是菱形，故正確；CPMN，BCPMCP，MQCD90°，CPCP，若CQCD，則RtCMQCMD，DCMQCMBCP30°，這個(gè)不一定成立，故錯(cuò)誤；點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2，設(shè)BNx，則ANNC8x，在RtABN中，AB2+BN2AN2，即42+x2（8x）2，解得x3，CN835，AC，MN2QN2故正確；當(dāng)MN過點(diǎn)D時(shí)，如圖3，此時(shí)，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，CN最長，四邊形CMPN的面積最大，則S最大為S，4S5，故錯(cuò)誤故答案為：10.（2019·貴州貴陽）如圖，在矩形ABCD中，AB4，DCA30°，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作DFE30°的直角三角形DEF，使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于DF兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長是 【答案】【解析】E的運(yùn)動(dòng)路徑是EE'的長；AB4，DCA30°，BC，當(dāng)F與A點(diǎn)重合時(shí)，在RtADE'中，AD，DAE'30°，ADE'60°，DE'，CDE'30°，當(dāng)F與C重合時(shí)，EDC60°，EDE'90°，DEE'30°，在RtDEE'中，EE'.11（2019山東濰坊）如圖，在矩形ABCD中，AD2將A向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在BC上，記為A，折痕為DE若將B沿EA向內(nèi)翻折，點(diǎn)B恰好落在DE上，記為B，則AB【答案】【解析】利用矩形的性質(zhì)，證明ADEA'DEA'DC30°，CA'B'D90°，推出DB'A'DCA'，CDB'D，設(shè)ABDCx，在RtADE中，通過勾股定理可求出AB的長度四邊形ABCD為矩形，ADCCB90°，ABDC，由翻折知，AEDA'ED，A'BEA'B'E，A'B'EBA'B'D90°，AEDA'ED，A'EBA'EB'，BEB'E，AEDA'EDA'EB×180°60°，ADE90°AED30°，A'DE90°A'EB30°，ADEA'DEA'DC30°，又CA'B'D90°，DA'DA'，DB'A'DCA'（AAS），DCDB'，在RtAED中，ADE30°，AD2，AE，設(shè)ABDCx，則BEB'ExAE2+AD2DE2，（）2+22（x+x）2，解得，x1（負(fù)值舍去），x212.（2019北京市）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）對(duì)于任意矩形ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中，存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形所有正確結(jié)論的序號(hào)是_【答案】【解析】如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)， 圖中任過點(diǎn)O的兩條線段PM，QN，則四邊形MNPQ是平行四邊形；顯然有無數(shù)個(gè).本結(jié)論正確.圖中任過點(diǎn)O的兩條相等的線段PM，QN，則四邊形MNPQ是矩形；顯然有無數(shù)個(gè).本結(jié)論正確.圖中任過點(diǎn)O的兩條垂直的線段PM，QN，則四邊形MNPQ是菱形；顯然有無數(shù)個(gè).本結(jié)論正確.圖中過點(diǎn)O的兩條相等且垂直的線段PM，QN，則四邊形MNPQ是正方形；顯然有一個(gè).本結(jié)論錯(cuò)誤.故填： .13.（2019遼寧本溪）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，在BA和BD上分別截取BE，BF，使BE=BF；分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于EF的長為半徑作弧，兩弧在ABD內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線BG交AD于點(diǎn)P，若AP=3，則點(diǎn)P到BD的距離為 .【答案】3.【解析】過點(diǎn)P作PQBD，垂足為Q，根據(jù)題意可得BP平分ABD.四邊形ABCD為矩形，A=90°，PA=PQ.PA=3，PQ=3，故答案為3.14（2019遼寧撫順）在矩形ABCD中，AB6，AD3，E是AB邊上一點(diǎn)，AE2，F(xiàn)是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，將AEF沿直線EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，當(dāng)點(diǎn)E、A'、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，DF的長度為 【答案】1或11；【解析】在旋轉(zhuǎn)過程中A有兩次和E，C在一條直線上，第一次在EC線段上，第二次在CE線段的延長線上，利用平行的性質(zhì)證出CFCE，即可求解；如圖1：將AEF沿直線EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，AEFEA'F，AEA'E，ABCD，AEFCFE，CFCE，AB6，AD3，AE2，CFCE6DF，A'E2，BE4，BC3，EC5，6DF5，DF1；如圖2：由折疊FEA'FEA，ABCD，CFECEF，CFCE，CF5，DF11；故答案為1或11；三、解答題15（2019湖南懷化）已知：如圖，在ABCD中，AEBC，CFAD，E，F(xiàn)分別為垂足（1）求證：ABECDF；（2）求證：四邊形AECF是矩形【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BD，ABCD，ADBC，AEBC，CFAD，AEBAECCFDAFC90°，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）；（2）證明：ADBC，EAFAEB90°，EAFAECAFC90°，四邊形AECF是矩形16（2019湖南郴州）如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），把ADE沿DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1，延長EA1交直線DC于點(diǎn)F，再把BEF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1落在EF上，折痕EH交直線BC于點(diǎn)H（1）求證：A1DEB1EH；（2）如圖2，直線MN是矩形ABCD的對(duì)稱軸，若點(diǎn)A1恰好落在直線MN上，試判斷DEF的形狀，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G為DEF內(nèi)一點(diǎn)，且DGF150°，試探究DG，EG，F(xiàn)G的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）見解析；（2）DEF是等邊三角形，理由見解析；（3）DG2+GF2GE2【解析】解：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知：DAEDA1E90°，EBHEB1H90°，AEDA1ED，BEHB1EH，DEA1+HEB190°又HEB1+EHB190°，DEA1EHB1，A1DEB1EH；（2）結(jié)論：DEF是等邊三角形；理由如下：直線MN是矩形ABCD的對(duì)稱軸，點(diǎn)A1是EF的中點(diǎn)，即A1EA1F，A1DEA1DF（SAS），DEDF，F(xiàn)DA1EDA1，又ADEA1DE，ADF90°ADEEDA1FDA130°，EDF60°，DEF是等邊三角形；（3）DG，EG，F(xiàn)G的數(shù)量關(guān)系是DG2+GF2GE2，理由如下：由（2）可知DEF是等邊三角形；將DGE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到DG'F位置，如解圖（1），G'FGE，DG'DG，GDG'60°，DGG'是等邊三角形，GG'DG，DGG'60°，DGF150°，G'GF90°，G'G2+GF2G'F2，DG2+GF2GE2，17（2019湖南益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB4，BC6若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng)（1）當(dāng)OAD30°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)AD的中點(diǎn)為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時(shí)，求OA的長；（3）當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值，請(qǐng)直接寫出最大值，并求此時(shí)cosOAD的值【答案】（1）（2，3+2）；（2）OA3；（3）當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí)，OC有最大值8，cosOAD【解析】解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CEy軸于點(diǎn)E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO90°，又OAD+ADO90°，CDEOAD30°，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30°，ODAD3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3+2）；（2）M為AD的中點(diǎn)，DM3，SDCM6，又S四邊形OMCD，SODM，SOAD9，設(shè)OAx、ODy，則x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，將xy代入x2+y236得x218，解得x3（負(fù)值舍去），OA3；（3）OC的最大值為8，如圖2，M為AD的中點(diǎn)，OM3，CM5，OCOM+CM8，當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí)，OC有最大值8，連接OC，則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)O作ONAD，垂足為N，CDMONM90°，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD18.（2019湖北省鄂州市）如圖，矩形ABCD中，AB8，AD6，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB、CD邊于點(diǎn)E、F（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；（2）當(dāng)DEDF時(shí)，求EF的長【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)矩形的性質(zhì)得到ABCD，由平行線的性質(zhì)得到DFOBEO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DFBE，于是得到四邊形BEDF是平行四邊形；推出四邊形BEDF是菱形，得到DEBE，EFBD，OEOF，設(shè)AEx，則DEBE8x根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ABCD，DFOBEO，又因?yàn)镈OFBOE，ODOB，DOFBOE（ASA），DFBE，又因?yàn)镈FBE，四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：DEDF，四邊形BEDF是平行四邊形四邊形BEDF是菱形，DEBE，EFBD，OEOF，設(shè)AEx，則DEBE8x在RtADE中，根據(jù)勾股定理，有AE2+AD2DE2x2+62（8x）2，解之得：x，DE8，在RtABD中，根據(jù)勾股定理，有AB2+AD2BD2BD，OD BD5，在RtDOE中，根據(jù)勾股定理，有DE2 OD2OE2，OE，EF2OE19. (2019黑龍江大慶)如圖在矩形ABCD中,AB3,BC4,M,N在對(duì)角線AC上,且AMCN,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn).(1)求證:ABMCDN;(2)點(diǎn)G是對(duì)角線AC上的點(diǎn),EGF90°,求AG的長.【答案】見解析?！窘馕觥?1)在矩形ABCD中,ABCD,所以BAMDCN,又因?yàn)锳BCD,AMCN,所以ABMCDN(SAS);（2）以EF為直徑作圓,交AC于點(diǎn)G1,G2,連接EG1,FG1,EG2,FG2,則EG1FEG2F90°,因?yàn)镋FAB3,所以G1HG2HEF,在RtABC中,AC5,所以AHAC,所以AG11,AG24.21