湖南省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四單元 三角形 課時(shí)訓(xùn)練22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用練習(xí)

銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用 22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用 限時(shí):30分鐘 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.計(jì)算:cos245°+sin245°= (　　) A.12 B.1 C.14 D.22 2.[2018·柳州] 如圖K22-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,則sinB=ACAB= (　　) 圖K22-1 A.35 B.45 C.37 D.34 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,BC=6,則AB等于 (　　) A.4 B.6 C.8 D.10 4.[2018·貴陽(yáng)] 如圖K22-2,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn),且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則tan∠BAC的值為 (　　) A.12 B.1 C.33 D.3 圖K22-2 5.如圖K22-3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn),DE⊥BC于點(diǎn)E,連接BD,則tan∠DBC的值為 (　　) 圖K22-3 A.13 B.2-1 C.2-3 D.14 6.如圖K22-4,長(zhǎng)4 m的樓梯AB的傾斜角∠ABD=60°.為了改善樓梯的安全性能,準(zhǔn)備重新建造樓梯,使其傾斜角∠ACD=45°,則調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為 (　　) 圖K22-4 A.23 m B.26 m C.(23-2)m D.(26-2)m 7.如圖K22-5,為了測(cè)量樓的高度,從樓的頂部A看地面上的一點(diǎn)B,俯角為30°.已知地面上的這點(diǎn)與樓的水平距離BC為30 m,那么樓的高度AC為　　　　m(結(jié)果保留根號(hào)).  圖K22-5 8.如圖K22-6,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,連接BE,則tan∠EBC=　　　　.  圖K22-6 9.[2018·自貢] 如圖K22-7,在△ABC中,BC=12,tanA=34,∠B=30°.求AC和AB的長(zhǎng). 圖K22-7 能力提升 10.[2018·陜西] 如圖K22-8,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足為D,∠ABC的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為 (　　) 圖K22-8 A.432 　 B.22 　 C.832 　 D.32 11.如圖K22-9是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O,點(diǎn)C恰在半圓上,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,交AB于點(diǎn)D.若cos∠ACD=35,BC=4,則AC的長(zhǎng)為 (　　) 圖K22-9 A.1 B.203 C.3 D.163 12.已知△ABC中,AB=10,AC=27,∠B=30°,則△ABC的面積等于　　　　.  13.如圖K22-10,已知四邊形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延長(zhǎng)線(xiàn)與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E. (1)若∠A=60°,求BC的長(zhǎng); (2)若sinA=45,求AD的長(zhǎng). 圖K22-10 14.[2018·貴陽(yáng)] 如圖K22-11①,在Rt△ABC中,以下是小亮探究asinA與bsinB之間關(guān)系的方法: ∵sinA=ac,sinB=bc, ∴c=asinA,c=bsinB. ∴asinA=bsinB. 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí),在圖②的銳角三角形ABC中,探究asinA,bsinB,csinC之間的關(guān)系,并寫(xiě)出探究過(guò)程. 圖K22-11 拓展練習(xí) 15.[2018·嘉興] 如圖K22-12①,滑動(dòng)調(diào)節(jié)式遮陽(yáng)傘的立柱AC垂直于地面AB,P為立柱上的滑動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn),傘體的截面示意圖為△PDE,F為PD的中點(diǎn),AC=2.8 m,PD=2 m,CF=1 m,∠DPE=20°.當(dāng)點(diǎn)P位于初始位置P0時(shí),點(diǎn)D與C重合(圖②).根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn),當(dāng)太陽(yáng)光線(xiàn)與PE垂直時(shí),遮陽(yáng)效果最佳. (1)上午10:00時(shí),太陽(yáng)光線(xiàn)與地面的夾角為65°(圖③),為使遮陽(yáng)效果最佳,點(diǎn)P需從P0上調(diào)多少距離?(結(jié)果精確到0.1 m) (2)中午12:00時(shí),太陽(yáng)光線(xiàn)與地面垂直(圖④),為使遮陽(yáng)效果最佳,點(diǎn)P在(1)的基礎(chǔ)上還需上調(diào)多少距離?(結(jié)果精確到0.1 m) (參考數(shù)據(jù):sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,2≈1.41,3≈1.73) 圖K22-12 參考答案 1.B 2.A　[解析] 由勾股定理,得AB=AC2+BC2=32+42=5.根據(jù)正弦的定義,得sinB=ACAB=35. 3.D　4.B　5.A　6.B 7.103　8.13 9.解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,交AB于點(diǎn)D. 在Rt△BCD中,∠B=30°,BC=12, ∴sinB=CDBC=CD12=12.∴CD=6. cosB=BDBC=BD12=32,∴BD=63. 在Rt△ACD中,tanA=34,CD=6, ∴tanA=CDAD=6AD=34,∴AD=8. ∴AC=AD2+CD2=82+62=10, AB=AD+BD=8+63. 綜上所述,AC的長(zhǎng)為10,AB的長(zhǎng)為8+63. 10.C　[解析] ∵BE平分∠ABD,∠ABC=60°, ∴∠ABE=∠EBD=30°. ∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°. ∴DE=12BE. ∵∠BAD=90°-60°=30°, ∴∠BAD=∠ABE=30°. ∴AE=BE=2DE. ∴AE=23AD. 在Rt△ACD中,sinC=ADAC, ∴AD=AC·sinC=8×22=42. ∴AE=23×42=832. 故選C. 11.D 12.153或103　[解析] 分兩種情況求解:(1)如圖①所示,作AD⊥BC于點(diǎn)D. ∵AB=10,∠B=30°,∴AD=12AB=12×10=5,BD=AB2-AD2=102-52=53.又∵AC=27,∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3.∴BC=BD+CD=53+3=63.∴△ABC的面積為12BC·AD=12×63×5=153. (2)如圖②所示,作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵AB=10,∠B=30°,∴AD=12AB=12×10=5,BD=AB2-AD2=102-52=53.又∵AC=27,∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3.∴BC=BD-CD=53-3=43.∴△ABC的面積為12BC·AD=12×43×5=103.綜上所述,△ABC的面積等于153或103. 13.解:(1)在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,∠A=60°,AB=6,tanA=BEAB, ∴BE=6×tan60°=63. 在Rt△CDE中, ∵∠CDE=90°,∠E=90°-60°=30°,CD=4, ∴CE=2CD=8. ∴BC=BE-CE=63-8. (2)在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,sinA=45, ∴BEAE=45. 設(shè)BE=4x,則AE=5x.∴AB=3x=6. ∴x=2.∴BE=8,AE=10. 在Rt△CDE中, ∵∠CDE=90°,CD=4,tanE=CDED, 而在Rt△ABE中,tanE=34, ∴CDED=34. ∴ED=43CD=163. ∴AD=AE-ED=143. 14.解:asinA=bsinB=csinC. 理由如下:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC.在Rt△ABD中,sinB=ADc,即AD=csinB.在Rt△ADC中,sinC=ADb,即AD=bsinC.∴csinB=bsinC,即bsinB=csinC.同理可得asinA=csinC,則asinA=bsinB=csinC. 15.解:(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)P位于初始位置P0時(shí),CP0=2 m. 如圖②,10:00時(shí),太陽(yáng)光線(xiàn)與地面的夾角為65°,點(diǎn)P上調(diào)至P1處, ∵∠1=90°,∠CAB=90°,∴∠AP1E=115°. ∴∠CP1E=65°. ∵∠DP1E=20°,∴∠CP1F=45°. ∵CF=P1F=1 m, ∴∠C=∠CP1F=45°. ∴△CP1F為等腰直角三角形.∴CP1=2 m. ∴P0P1=CP0-CP1=2-2≈0.6(m). 即點(diǎn)P需從P0上調(diào)0.6 m. (2)如圖③,中午12:00時(shí),太陽(yáng)光線(xiàn)與P2E,地面都垂直,點(diǎn)P上調(diào)至P2處, ∴P2E∥AB. ∵∠CAB=90°,∴∠CP2E=90°. ∵∠DP2E=20°, ∴∠CP2F=∠CP2E-∠DP2E=70°. ∵CF=P2F=1 m,∴△CP2F為等腰三角形. 過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CP2于點(diǎn)G. ∴GP2=P2F·cos70°=1×0.34=0.34(m). ∴CP2=2GP2=0.68(m). ∴P1P2=CP1-CP2=2-0.68≈0.7(m), 即點(diǎn)P在(1)的基礎(chǔ)上還需上調(diào)0.7 m. 10