2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題8 分式方程及其應(yīng)用（含解析）

專題08 分式方程及其應(yīng)用 專題知識(shí)回顧 1分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 2解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。（1）去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);（2）按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，原分式方程無解；若不等于零，就是原方程的根。專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖北孝感）方程的解為 【答案】x1【解析】解一個(gè)分式方程時(shí)，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三檢驗(yàn)（檢查求出的根是否是增根）”的步驟求出方程的解即可注意：解分式方程時(shí)，最后一步的驗(yàn)根很關(guān)鍵觀察可得方程最簡公分母為2x（x+3）去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解結(jié)果要檢驗(yàn)兩邊同時(shí)乘2x（x+3），得x+34x，解得x1經(jīng)檢驗(yàn)x1是原分式方程的根【例題2】（2019黑龍東地區(qū)）已知關(guān)于x的分式方程 的解是非正數(shù)，則m的取值范圍是（ ）Am3Bm3Cm3Dm3【答案】A【解析】知識(shí)點(diǎn)是分式方程的增根。由得x=m-3，方程的解是非正數(shù)，m-30，m3.當(dāng)x-3=0即x=3時(shí)，3=m-3，m=6，m=6不在m3內(nèi)，m3.故選A.【例題3】（2019廣東省廣州市）甲、乙二人做某種機(jī)械零件，已知每小時(shí)甲比乙少做8個(gè)，甲做120個(gè)所用的時(shí)間與乙做150個(gè)所用的時(shí)間相等，設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，下列方程正確的是（）ABCD【答案】【解析】設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，根據(jù)甲做120個(gè)所用的時(shí)間與乙做150個(gè)所用的時(shí)間相等得出方程解答即可設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，可得：【例題4】（2019四川自貢）解方程：1【答案】x2【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解去分母得：x22x+2x2x，解得：x2，檢驗(yàn)：當(dāng)x2時(shí)，方程左右兩邊相等，所以x2是原方程的解【例題5】（2019江蘇揚(yáng)州）“綠水青山就是金山銀山”，為了進(jìn)一步優(yōu)化河道環(huán)境，甲乙兩工程隊(duì)承擔(dān)河道整治任務(wù)，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天共整治河道1500米，甲工程隊(duì)整治3600米所用的時(shí)間與乙工程隊(duì)整治2400米所用時(shí)間相等。甲工程隊(duì)每天整治河道多少米？【答案】甲工程隊(duì)每天整治河道900米.【解析】解設(shè)甲工程隊(duì)每天整治河道xm，則乙工程隊(duì)每天整治（1500-x）m由題意得：，解得：x=900經(jīng)檢驗(yàn)的x=900是該方程的解。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.（2019黑龍江哈爾濱）方程的解為（）AxBxCxDx【答案】C【解析】本題考查解分式方程；熟練掌握分式方程的解法及驗(yàn)根是解題的關(guān)鍵將分式方程化為，即可求解x；同時(shí)要進(jìn)行驗(yàn)根即可求解。，2x9x3，x；將檢驗(yàn)x是方程的根，方程的解為x2.（2019山東淄博）解分式方程2時(shí)，去分母變形正確的是（）A1+x12（x2）B1x12（x2）C1+x1+2（2x） D1x12（x2）【答案】D 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，即可得到結(jié)果去分母得：1x12（x2）3.（2019廣西貴港）若分式的值等于0，則x的值為（）A±1 B0 C1 D1【答案】D 【解析】化簡分式x10即可求解。x10，x1；經(jīng)檢驗(yàn)：x1是原分式方程的解。4.（2019遼寧本溪）為推進(jìn)垃圾分類，推動(dòng)綠色發(fā)展，某化工廠要購進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)機(jī)器人用來進(jìn)行垃圾分類.用360萬元購買甲型機(jī)器人和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同，兩種型號(hào)機(jī)器人的單價(jià)和為140萬元.若設(shè)甲型機(jī)器人每臺(tái)x萬元，根據(jù)題意，所列方程正確的是A. B. C. D. 【答案】A.【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是x萬元，根據(jù)“用360萬元購買甲型機(jī)器人和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同”，列出關(guān)于x的分式方程設(shè)甲型機(jī)器人每臺(tái)x萬元，根據(jù)題意，可得：5. （2019湖北十堰）十堰即將跨入高鐵時(shí)代，鋼軌鋪設(shè)任務(wù)也將完成現(xiàn)還有6000米的鋼軌需要鋪設(shè)，為確保年底通車，如果實(shí)際施工時(shí)每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)20米，就能提前15天完成任務(wù)設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)鋼軌x米，則根據(jù)題意所列的方程是（）A15B15C20D20【答案】A【解析】考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)以時(shí)間為等量關(guān)系列出方程設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)鋼軌x米，根據(jù)如果實(shí)際施工時(shí)每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)20米，就能提前15天完成任務(wù)可列方程設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)鋼軌x米，可得：6. （2019山東省濟(jì)寧市 ）世界文化遺產(chǎn)“三孔”景區(qū)已經(jīng)完成5G基站布設(shè)，“孔夫子家”自此有了5G網(wǎng)絡(luò)5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸500兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是（）A45 B45C45 D45【答案】A【解析】由實(shí)際問題抽象出分式方程直接利用5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒得出等式進(jìn)而得出答案設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是：457.（2019江蘇蘇州）小明5元買售價(jià)相同的軟面筆記本，小麗用24元買售價(jià)相同的硬面筆記本（兩人的錢恰好用完），已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴3元，且小明和小麗買到相同數(shù)量的筆記本，設(shè)軟面筆記本每本售價(jià)為元，根據(jù)題意可列出的方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】考察分式方程的應(yīng)用，簡單題型。找到等量關(guān)系為兩人買的筆記本數(shù)量二、填空題8.（2019甘肅）分式方程的解為 【答案】x【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解去分母得：3x+65x+5，解得：x，經(jīng)檢驗(yàn)x是分式方程的解9.（2019山東省濱州市）方程+1的解是 【答案】x1【解析】本題考查了解分式方程（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根去分母，得x3+x23，移項(xiàng)、合并，得2x2，解得x1，檢驗(yàn)：當(dāng)x1時(shí)，x20，所以，原方程的解為x110.（2019山東省德州市）方程1的解為 【答案】x4【解析】根據(jù)分式方程的解法，先將式子通分化簡為1，最后驗(yàn)證根的情況，進(jìn)而求解。1，1，1，1，x+13，x4，經(jīng)檢驗(yàn)x4是原方程的根。11.（2019湖北黃石）分式方程：1的解為 【答案】x1【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解去分母得：4xx24x，即x23x40，解得：x4或x1，經(jīng)檢驗(yàn)x4是增根，分式方程的解為x112.（2019四川巴中）若關(guān)于x的分式方程+2m有增根，則m的值為 【答案】1 【解析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母x20，得到x2，然后代入化為整式方程的方程算出m的值方程兩邊都乘x2，得x2m2m（x2）原方程有增根，最簡公分母x20，解得x2，當(dāng)x2時(shí)，m1故m的值是113.（2019江蘇宿遷）關(guān)于x的分式方程+1的解為正數(shù)，則a的取值范圍是【答案】a5且a3【解析】直接解分式方程，進(jìn)而利用分式方程的解是正數(shù)得出a的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合分式方程有意義的條件分析得出答案去分母得：1a+2x2，解得：x5a，5a0，解得：a5，當(dāng)x5a2時(shí)，a3不合題意，故a5且a314.（2019貴州省安順市）某生態(tài)示范園計(jì)劃種植一批蜂糖李，原計(jì)劃總產(chǎn)量達(dá)36萬千克，為了滿足市場(chǎng)需求，現(xiàn)決定改良蜂糖李品種，改良后平均每畝產(chǎn)量是原計(jì)劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計(jì)劃增加了9萬千克，種植畝數(shù)減少了20畝，則原計(jì)劃和改良后平均每畝產(chǎn)量各多少萬千克？設(shè)原計(jì)劃平均畝產(chǎn)量為x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克，根據(jù)題意列方程為 【答案】20【解析】設(shè)原計(jì)劃平均畝產(chǎn)量為x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克，依題意，得：20故答案為：2015. (2019黑龍江綏化)甲乙兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā),開往相距200km的B地,甲,乙兩車的速度之比是4:5,結(jié)果乙車比甲車早30分鐘到達(dá)B地,則甲車速度為_km/h.【答案】80【解析】分式方程的應(yīng)用。設(shè)甲車速度為4x,乙車速度為5x,根據(jù)題意得:,解之,得x20,甲車速度為4x80.三、解答題16.（2019廣西梧州）解方程：【答案】是分式方程的解【解析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案正確去分母、檢驗(yàn)是解題關(guān)鍵方程兩邊同乘以得：，則，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，故不是方程的根，是分式方程的解17.（2019湖北天門）解分式方程：【答案】見解析?！窘馕觥咳シ帜富质椒匠虨檎椒匠蹋庵蟮脁的值，再檢驗(yàn)即可得兩邊都乘以（x+1）（x1），得：2（x+1）5，解得：x，檢驗(yàn)：當(dāng)x時(shí)，（x+1）（x1）0，原分式方程的解為x18.（2019貴州省畢節(jié)市）解方程：1【答案】見解析?！窘馕觥坑^察可得最簡公分母是2（x+1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解去分母得，2x+2（x3）6x，x+56x，解得，x1經(jīng)檢驗(yàn)：x1是原方程的解19.（2019年陜西?。┙夥质椒匠蹋?【答案】【解析】去分母，解整式方程，檢驗(yàn)根的情況，回答問題方程兩邊同乘，得解得 檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，所以是原分式方程的解所以原分式方程的解為20.(2019黑龍江大慶)某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器,現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同,求該工廠原來平均每天生產(chǎn)多少臺(tái)機(jī)器?【答案】見解析?！窘馕觥坑梢阎谐龇质椒匠?解之可得.設(shè)原來每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器,則現(xiàn)在每天生產(chǎn)(x+50)臺(tái),根據(jù)題意得:,解之,得x150,經(jīng)檢驗(yàn),x150是原分式方程的解.答:該工廠原來平均每天生產(chǎn)150臺(tái)機(jī)器.21.（2019吉林長春）為建國70周年獻(xiàn)禮，某燈具廠計(jì)劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務(wù)，實(shí)際每天加工彩燈的數(shù)量是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)。求該燈具廠原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量.【答案】300套【解析】該燈具廠原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為x套，則實(shí)際每天加工彩燈的數(shù)量為1.2x套，由題意得：，解得：x=300，經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是原方程的解，且符合題意。22.（2019湖南衡陽）某商店購進(jìn)A、B兩種商品，購買1個(gè)A商品比購買1個(gè)B商品多花10元，并且花費(fèi)300元購買A商品和花費(fèi)100元購買B商品的數(shù)量相等（1）求購買一個(gè)A商品和一個(gè)B商品各需要多少元；（2）商店準(zhǔn)備購買A、B兩種商品共80個(gè)，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組（1）設(shè)購買一個(gè)B商品需要x元，則購買一個(gè)A商品需要（x+10）元，依題意，得：，解得：x5，經(jīng)檢驗(yàn)，x5是原方程的解，且符合題意，x+1015答：購買一個(gè)A商品需要15元，購買一個(gè)B商品需要5元（2）設(shè)購買B商品m個(gè)，則購買A商品（80m）個(gè)，依題意，得：，解得：15m16m為整數(shù)，m15或16商店有2種購買方案，方案：購進(jìn)A商品65個(gè)、B商品15個(gè)；方案：購進(jìn)A商品64個(gè)、B商品16個(gè)23.（2019湖南湘西）列方程解應(yīng)用題：某列車平均提速80km/h，用相同的時(shí)間，該列車提速前行駛300km，提速后比提速前多行駛200km，求該列車提速前的平均速度【答案】該列車提速前的平均速度為120km/h【解析】設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h，則提速后的平均速度為（x+80）km/h，根據(jù)時(shí)間路程÷速度結(jié)合提速前行駛300km和提速后行駛500km（300+200）所用時(shí)間相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h，則提速后的平均速度為（x+80）km/h，依題意，得：300x=300+200x+80，解得：x120，經(jīng)檢驗(yàn)，x120是原方程的解，且符合題意11