《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習題

第一章 概率論的基本概念1. 設為三個隨機事件，用的運算表示下列事件： (1)、都發(fā)生； (2)、發(fā)生, 不發(fā)生； (3)、都不發(fā)生； (4)、中至少有一個發(fā)生而不發(fā)生； (5)、中至少有一個發(fā)生； (6)、中至多有一個發(fā)生； (7)、中至多有兩個發(fā)生； (8)、中恰有兩個發(fā)生。 解： (1)、 ； (2)、 或；(3)、；(4)、 或； (5)、 ；(6)、或； (7)、 或； (8)、 . 2. 設為三個隨機事件, 已知： ，。 試求，。 解： ； ； 注: 因為，所以，即。 3. 將一顆骰子投擲兩次， 依次記錄所得點數(shù)， 試求： (1)、兩次點數(shù)相同的概率； (2)、兩次點數(shù)之差的絕對值為1的概率； (3)、兩次點數(shù)的乘積小于等于12的概率。 解：(1)、用表示“兩次投擲點數(shù)相同”， 則： =(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)。 因為樣本空間的樣本點數(shù)為36，的樣本點數(shù)為6， 所以 。 (2)、用表示“兩次點數(shù)之差的絕對值為1”, 則： =(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)。 因為樣本空間的樣本點數(shù)為36, 的樣本點數(shù)為10, 所以 。 (3)、用表示“兩次點數(shù)的乘積小于等于12”, 則： =(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),(2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2),(3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3),(5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2)。 因為樣本空間的樣本點數(shù)為36, 的樣本點數(shù)為23, 所以 4. 設一袋中有編號為1, 2, 3, × × ×, 9的球共9只, 某人從中任取3只球, 試求： (1)、取到1號球的概率； (2)、最小號碼為5的概率； (3)、所取3只球的號碼從小到大排序，中間號碼恰為5的概率； (4)、2號球或3號球中至少有一只沒有取到的概率。 解： (1)、用表示 “取到1號球”, 則：. (2)、用表示“最小號碼為5”, 因為發(fā)生表示其中一球的號碼為5, 其它兩個球的號碼為6, 7, 8, 9。 因此. (3)、用表示“所取號碼從小到大排序，中間號碼恰為5”。 因為發(fā)生表示其中一只球的號碼為5, 其它兩個球的號碼分別為1, 2, 3, 4和6, 7, 8, 9，因此. (4)、用表示“2號球沒有取到”，表示“3號球沒有取到”， 則2號球或3號球中至少有一只沒有取到可表示為， 于是. 5. 已知，試求： (1) ； (2)； (3)； (4)。 解：(1)、； (2)、； (3)、； (4)、 。 6. 設有甲、乙、丙三個小朋友, 甲得病的概率是0.05, 在甲得病的條件下乙得病的概率是0.40, 在甲、乙兩人均得病的條件下丙得病的條件概率是0.80, 試求甲、乙、丙三人均得病的概率。 解： 用表示“甲得病”, 表示“乙得病”, 表示“丙得病”, 則：，0.80，所求概率為： 。 7. 設某人按如下原則決定某日的活動： 如該天下雨則以0.2的概率外出購物，以0.8的概率去探訪朋友； 如該天不下雨，則以0.9的概率外出購物，以0.1的概率去探訪朋友。設某地下雨的概率是0.3。試求： (1) 那天他外出購物的概率； (2) 若已知他那天外出購物，則那天下雨的概率。 解： 用表示“該天下雨”, 用表示“外出購物”, 則： ，,。 (1)、所求概率為： (2)、所求概率為： . 8. 設在某一男、女人數(shù)相等的從群中, 已知5%的男人和0.25%的女人患有色盲. 今從該人群中隨機地選擇一人, 試問: (1) 該人患有色盲的概率是多少？ (2) 若已知該人患有色盲, 那么他是男性的概率是多少？解： 用表示“選到男”，用表示“所選的人是色盲”，則 ，. (1)、所求概率為： (2)、所求概率為：. 9. 設、是相互獨立的隨機事件，。試求： (1) ；(2) ；(3) ； (4) 。 解： (1)、； (2)、； (3)、； (4)、. 10. 甲、乙、丙三門大炮對某敵機進行獨立射擊, 設每門炮的命中率依次為0.7、0.8、0.9，若敵機被命中兩彈或兩彈以上則被擊落。設三門炮同時射擊一次，試求敵機被擊落的概率。解：用表示“甲命中”，表示“乙命中”，表示“乙命中”，表示“敵機被擊落”。則： ，。所求概率為： =。 第二章 隨機變量及其分布 1. 甲、乙、丙3人進行獨立射擊, 每人的命中率依次為0.3、0.4、0.6，設每人射擊一次，試求3人命中總數(shù)之概率分布律。 解： 用表示3人命中總數(shù)，則的取值為0，1，2，3。 用表示 “甲命中”，表示 “乙命中”，表示 “命中”。則： P(X=0)=P(=0.7´0.6´0.4=0.168, P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =0.3´0.6´0.4+0.7´0.4´0.4+0.3´0.6´0.6=0.436, . 0123 0.1680.4360.3240.072 2. 設對某批產(chǎn)品的驗收斂方案為: 從該批產(chǎn)品中隨機地抽查5件產(chǎn)品, 若次品數(shù)小于等于1, 則該批產(chǎn)品通過驗收斂, 否則不予通過, 若某批產(chǎn)品的次品率為0.05, 試求該批產(chǎn)品通過驗收斂的概率. 解： 用表示5件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則。于該批產(chǎn)品通過驗收斂的概率為： =0.9774. 3. 某份試卷有10道選擇題，每題共有A, B, C, D四個答案供選擇， 其中只有一個答案是正確的。設某人對每道題均隨機地選擇答案，試求該生10道題中恰好答對6道題的概率是多少？解： 用表示10道題中答對的題目數(shù), 則。于是該生10道題中恰好答對6道題的概率是：. 4. 設隨機變量具有分布函數(shù)：. 試求：，.解： ， ， ， .5. 設隨機變量具有概率密度 (1)、求常數(shù)， (2)、求的分布函數(shù)， (3)、求的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率。 解： (1)、由于, 因此得. (2)、當時，； 當時，； 當時，. 綜合以上即得分布函數(shù) (3)、 的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率為： . 6. 設隨機變量，求，以及常數(shù)的范圍，使.解： ； = =0.6915-1-0.8413=0.5328； ； 0.9772-0.9987+1 0.9785； ，要使，只需，即, 查表得，故. 7. 設某批雞蛋每只的重量(以克計)服從正態(tài)分布，. (1)、求從該批雞蛋中任取一只, 其重量不足45克的概率； (2)、從該批雞蛋中任取一只, 其重量介于40克到60克之間的概率； (3)、若從該批雞蛋中任取五只, 試求恰有2只雞蛋不足45克的概率； (4)、從該批雞蛋中任取一只其重量超過60克的概率； (5)、求最小的，使從中任選只雞蛋，其中至少有一只雞蛋的重量超過60克的概率大于0.99.解：(1)、； (2)、 =2´0.9772-1=0.9544； (3)、設為5只雞蛋中重量不足45克的雞蛋數(shù)，則，故所求概率為：； (4)、； (5)、設表示只雞蛋中重量大于60克的雞蛋數(shù)，則. 因為，所以要使，只需，即 ，解得 . 8.設隨機變量具有概率分布律：-3-2-10123450.080.020.030.170.150.050.200.160.14試求的概率分布律。解: 的取值為0，1，2，3，4，5，其概率分布律為 ， ， ， ， ， . 即0123450.170.180.070.280.160.14第三章 多維隨機變量及其分布 1設二維離散型隨機變量(, )具有概率分布律36912151810.010.030.020.010.050.0620.020.020.010.050.030.0730.050.040.030.010.020.0340.030.090.060.150.090.02 求的邊緣分布律和的邊緣分布律。 解： 36912151810.010.030.020.010.050.060.1820.020.020.010.050.030.070.2030.050.040.030.010.020.030.1840.030.090.060.150.090.020.440.110.180.120.220.190.18112340.180.200.180.443691215180.110.180.120.220.190.18 2設隨機變量(,)具有概率密度. (1)、求的邊緣概率密度； (2)、求的邊緣概率密度； (3)、求. 解： (1)、 (2)、 (3)、 3設和的聯(lián)合密度為 (1)、求常數(shù)； (2)、求邊緣概率密度，； (3)、與是否相互獨立？解： (1)、因為：, 所以： . (2)、, . (3)、因為 ，所以與相互獨立. 4. 設二維隨機變量具有概率密度為:(1)、求邊緣概率密度，； (2)、求概率解：(1)、 ， ；(2)、.5. 假設隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，當取到時，隨機變量等可能的在的聯(lián)合概率密度函數(shù)，并計算概率解：依題設，的密度函數(shù)為：，而隨機變量在的條件下，在上服從均勻分布，所以的條件概率密度函數(shù)為：，由此可以求出的聯(lián)合概率密度函數(shù)：；因此有： .6. 設和是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為：，求隨機變量的概率密度.解： 由于和是相互獨立的，故：則的概率密度為：易知僅當：， 即：時，上述積分的被積函數(shù)不為零，所以： 7. 設隨機變量和相互獨立，且服從同一分布，試證明：證明：因為和獨立同分布，故：第四章 隨機變量的數(shù)字特征 1設離散型隨機變量具有概率分布律：-2-101230.10.20.20.30.10.1試求，.解：， 2. 將個球隨機的丟入編號為的個盒子中去，試求沒有球的盒子的個數(shù)的數(shù)學期望.解： 設： （）， 則：， 沒有球的盒子個數(shù)為： 因為： 所以： .設球的直徑在上服從均勻分布.(1)、試求球的表面積的數(shù)學期望（表面積）；(2)、試求球的體積的數(shù)學期望（體積）.解： (1)、(2)、4. 設某產(chǎn)品的驗收方案是從該產(chǎn)品中任取6只產(chǎn)品，若次品數(shù)小于等于1，則該產(chǎn)品通驗收；否則不予通過.若某廠該產(chǎn)品的次品率為0.1，試求在10次抽樣驗收中能通過驗收的次數(shù)的數(shù)學期望。解： 設在一次驗收中取到的次品數(shù)為，則， 在10次驗收中通過驗收的次數(shù)為，則，其中為一次驗收通過的概率，且由題意知：， 5設隨機變量具有概率密度. (1)、求常數(shù)； (2)、求的數(shù)學期望。 解： (1)、由, 得. (2)、. 6設隨機變量的概率密度為 .求 ，,.解：因為： , 所以： . . .7設隨機變量(,)具有聯(lián)合概率密度,試求：(1)、的邊緣密度； (2)、的邊緣密度；(3)、,； (4)、E(Y), ； (5)、與是否不相關？(6)、與是否相互獨立？解：. (1)、當時, , 所以; 當時, , 所以：. (2)、同理得. (3)、, . (4)、由對稱性知，. (5)、, 所以，和不相關. (6)、因為, 所以與不相互獨立. 8設已知三個隨機變量,中, , ,.試求： (1)、； (2)、； (3)、.解： (1)、； (2)、+ + . (3)、 = =10.第五章 大數(shù)定律及中心極限定理1設某公路段過往車輛發(fā)生交通事故的概率為0.0001, 車輛間發(fā)生交通事故與否相互獨立, 若在某個時間區(qū)間內(nèi)恰有10萬輛車輛通過, 試求在該時間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)不多于15次的概率的近似值. 解:設在某時間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)為，則，由二項分布的性質(zhì)知 ，由中心極限定理知.2設某學校有1000名學生, 在某一時間區(qū)間內(nèi)每個學生去某閱覽室自修的概率是0.05, 且設每個學生去閱覽室自修與否相互獨立. 試問該閱覽室至少應設多少座位才能以不低于0.95的概率保證每個來閱覽室自修的學生均有座位？解：設至少應設張座位才能以不低于的概率保證來閱覽室的學生都有座位, 并設在同一時間內(nèi)去閱覽室的學生人數(shù)為, 則由題意知：，.由中心極限定理知,查表得 ， 所以，即至少應設62張座位才能達到要求。 3. 用Chebyshev 不等式確定當擲一均勻銅幣時，需投多少次才能保證使得正面出現(xiàn)的頻率在至之間的概率不少于90%，并用正態(tài)逼近計算同一問題。解：令 , 是的，并且，從而： 又由正態(tài)逼近： 近似正態(tài)分布， 當頻率時，為使此頻率不小于，需.4. 一條50千克,標準差為5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運,試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少,才能保障不超載的概率大于0.977. (, 其中是標準正態(tài)分布函 數(shù).)解：，所以，每輛車最多可以裝98千克，才能保障不超載的概率大于0.977.5. 設某車間有同型號車床200臺，獨立工作，開工率0.8，開工時每臺車床耗電1kw (千瓦). 問應該至少供多少電，可以99.9%的概率，保證該車間不因供電不足而影響生產(chǎn)？解：，取等號并查表31，故 ， 取.6. 經(jīng)以往檢驗已確認某公司組裝PC機的次品率為0.04，現(xiàn)對該公司所組裝的PC機100臺逐個獨立的測試，(1)、試求不少于4臺次品的概率（寫出精確計算的表達式）；(2)、用中心極限定理和Poisson定理給出此概率的兩個近似值。解：(1)、 次品數(shù)，(2)、 利用中心極限定理， 再利用Poisson逼近，  7. 設隨機變量序列依概率收斂于非零常數(shù), 而且， 證明：依概率收斂于.證明：(1)、， 只需證， ，當故依概率收斂到(2)、 當故：依概率收斂于.      第六章 樣本及抽樣分布  1. 設在總體中抽取樣本，其中已知而未知，指出之中，哪些是統(tǒng)計量，哪些不是統(tǒng)計量，為什么？ 解： 都是統(tǒng)計量，因為他們都不含未知參數(shù)；不是統(tǒng)計量，因為他含有未知參數(shù). 2. 在總體中隨機抽取一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率. 解： 由題意知，故： 3. 求總體的容量分別為10，15的兩獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率.解： 記第一個容量為10的樣本的均值為，記第二個容量為15的樣本的均值為， 則：故： 4. 在總體中隨機抽取一容量為5的樣本，求樣本平均值與總體平均值之差的絕對值大于1的概率.解： 由題意知，總體均值為12，樣本均值為，則：5. 記 為的一個樣本，求解： 由的構造知：故： 6. 設在總體中抽取一容量為16的樣本，其中均未知，求：(1)、其中為樣本方差；(2)、.解： (1)、因為： 所以：(2)、因為：所以： 7. 設為來自泊松分布的一個樣本，分別為樣本均值和樣本方差，求 解： 由題意知 所以：8. 設為來自的一個樣本，記求證：解：由題意知：所以： 從而：即：9. 設為來自的一個樣本，為樣本均值和樣本方差，求滿足下式的的值：解： 由分布的定義知：故：所以： 第七章 參數(shù)估計1. 某種產(chǎn)品被抽樣9個樣品，測其重量（單位），計算得：。設重量近似服從未知。求總體均值、總體標準差的置信水平為95%置信區(qū)間。解：的雙側置信區(qū)間為：，即：的置信區(qū)間為：即： 的置信區(qū)間為：0.3880, 1.10052. 設總體是泊松分布， 抽取一樣本，其樣本觀測值為，求參數(shù)的極大似然估計.   解：首先，建立似然函數(shù) 取對數(shù)得： 然后，對上式求導，并令其等于零 ，  從而解得   可以驗證（取0和正整數(shù)）   所以，  是的極大似然估計。  3. 設總體是正態(tài)分布，求 和的極大似然估計量。  解：抽取樣本，其樣本觀測值為，     首先，建立似然函數(shù)：   兩邊取對數(shù)得 然后，建立似然方程，即兩邊求偏導，并令其等于零    即    解方程，得： ，    這兩個估計分別是，的極大似然估計。（可以驗證二階偏導小于零，即在此估計值時，是極大值）4. 設總體的概率分布為：1 2 3 現(xiàn)在觀察容量為3的樣本：，求的極大似然估計值.解: 令=2,則：,再使得,5. 設總體(未知)，是樣本，試從以下的三個無偏估計量中選送一個最有效的： 解： ，獨立 ， ，比較可知，是的最有效的估計量.6.  某車間生產(chǎn)滾珠，從長期的生產(chǎn)實踐中知道，可以認為滾珠的直徑服從正態(tài)分布，從某日的產(chǎn)品中隨機取出6件，量得平均直徑為，若已知該日產(chǎn)品直徑的方差為.試求平均直徑的置信區(qū)間.解：由于總體方差是已知的，即方差為.均直徑的置信區(qū)間為 樣本均值的觀測值為,，, , ,結論：以的把握認為總體均值（平均直徑）落入.7. 從某年高考隨機抽取102份作文試卷，算得平均得分為26分，標準差為1.5，試估計總體均值95%和99%的置信區(qū)間。解：由于是大樣本情形，即，總體均值的置信區(qū)間為： (1)、 結論：總體均值以95%的可靠性落入,(2)、 , 結論：總體均值以99%的可靠性落入.8. 某自動車床加工零件，抽查16個零件，測得平均長度為12.075，試問該車床所加工的零件長度的方差落在什么范圍內(nèi)？解：假設零件長度服從正態(tài)分布，所問的問題即為求總體方差的置信區(qū)間，即：總體方差的的置信區(qū)間為： 由于， ， ， .結論：總體方差以95%的概率落入置信區(qū)間.9. 設有一批胡椒粉，每袋凈重（單位：g）服從分布，今任取8袋測得平均凈重為12.15；，試求的置信度為0.99的置信區(qū)間.解：由于總體方差未知，故的置信度為的置信區(qū)間為 ， 樣本均值的觀測值為， ， .結論：.第八章 假設檢驗。設包裝機實際生產(chǎn)的每袋重量服從正態(tài)分布，且由長期的經(jīng)驗知其標準差。某天開工后，為了檢驗包裝機工作是否正常，隨機抽取了9袋，稱得凈重為，。問這天的包裝機工作是否正常？（）解： 設從包裝機產(chǎn)品中隨機抽取一袋其質(zhì)量為，則，檢驗假設, .由于，故用檢驗：又 ，故不能否定，即認為這天的包裝機工作正常2. 一個工廠制成一種新的釣魚繩，聲稱其折斷平均受力為15公斤，已知標準差為公斤。為檢驗15公斤這數(shù)字是否確實，在該廠產(chǎn)品中隨機抽取50件，測得其折斷平均受力是，若取顯著性水平 ，問是否應該接受廠方聲稱的15公斤這個數(shù)字？解：假定該廠生產(chǎn)的釣魚繩折斷受力，已知標準差為公斤，提出假設： ， 確定檢驗統(tǒng)計量及其分布： 在假設成立之下，有 將代入上式，.確定顯著性水平  ， 拒絕域為： ，顯然， ，所以：在顯著性水平 上，拒絕，即認為不應該接受廠方這15公斤數(shù)字。3. 某苗圃采用兩種育苗方案作楊樹的育苗試驗，在兩組育苗試驗中，已知苗高服從正態(tài)分布，且它們的標準差分別為，現(xiàn)各取60株作為樣本，求得樣本均值觀測值分別為，（厘米），試求以95%的可靠性估計兩種試驗方案對平均苗高的影響。解：提出假設： ， 確定檢驗統(tǒng)計量及其分布：在假設成立之下，有 經(jīng)計算得： 顯著性水平，拒絕域為： .結論：在顯著性水平下，拒絕假設，即第一組苗高顯著大于第二組。4. 為了研究一種新化肥對種植小麥的效力，選用13塊條件相同面積相等的進行試驗。在5塊上施肥，在另8塊上不施肥。經(jīng)過基本相同的田間管理，各自平均產(chǎn)量與樣本標準差為： ， ， ，.問這種化肥對小麥產(chǎn)量是否有顯著影響？（）解：假設兩者皆服從正態(tài)分布，總體方差未知，提出假設： ， 確定檢驗統(tǒng)計量及其分布：在假設成立之下，有 ，經(jīng)計算得 ，顯著性水平，所以：在顯著性水平下，拒絕假設，即認為化肥對小麥產(chǎn)量有顯著影響.5. 已知維尼龍纖度在正常情況下服從正態(tài)分布某日抽取5根纖維，測得平均值為1.414，標準差為0.00778。問這一天纖度的總體標準差是否正常？ 解：提出假設： ， 確定檢驗統(tǒng)計量及其分布： 在假設成立之下，有 經(jīng)計算得 ，顯著性水平，落入拒絕域.結論：在顯著性水平下，拒絕假設。認為總體標準差有顯著變化.6. 在甲廠抽9個產(chǎn)品，算出它的樣本方差在乙廠抽12個產(chǎn)品，算出它的樣本方差在顯著性水平下，檢驗假設 （， 分別是甲廠和乙廠產(chǎn)品的方差，又假定各廠產(chǎn)品質(zhì)量都服從正態(tài)分布）解：提出假設： ， 確定檢驗統(tǒng)計量及其分布： 在假設成立之下，有， 經(jīng)計算得 ，顯著性水平，.結論：在顯著性水平下，不能拒絕假設。認為兩個廠產(chǎn)品質(zhì)量方差一致.7. 有兩臺機器生產(chǎn)金屬部件，分別在兩臺機器所生產(chǎn)的部件中各取一容量的樣本，測得部件重量的樣本方差分別為下檢驗假設：解： 按題意，需檢驗假設：此題屬于未知時兩方差的右邊檢驗，拒絕域為：已知從而 因為：結論：接受第九章 方差分析及回歸分析1. 某地區(qū)19911995年個人消費支出和收入資料如下： 年份19911992199319941995個人收入（萬元） 消費支出（萬元） 64  56 70  69 77  66 82  75 92  88 要求：(1)、計算個人收入與消費支出之間的相關系數(shù)。(2)、配合消費支出(y)對個人收入(x)的直線回歸方程.解： (1)、 (2)、配合回歸方程 設回歸方程為：2. 為研究產(chǎn)品銷售額與銷售利潤之間的關系。某公司對所屬六家企業(yè)進行了調(diào)查，產(chǎn)品銷售額為（萬元），銷售利潤為（萬元），調(diào)查資料斤經(jīng)初步整理計算，結果如下： ，.要求： （1）、計算銷售額與銷售利潤之間的相關關系。（2）、配合銷售利潤對銷售額的直線回歸方程。 解： (1)、 (2)、配合回歸方程 設回歸方程為：