2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 8-7圓錐曲線的綜合問(wèn)題 理 新人教B版

8-7圓錐曲線的綜合問(wèn)題(理)基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化1.(2012·濰坊教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))橢圓1的離心率為e，點(diǎn)(1，e)是圓x2y24x4y40的一條弦的中點(diǎn)，則此弦所在直線的方程是()A3x2y40B4x6y70C3x2y20 D4x6y10答案B解析依題意得e，圓心坐標(biāo)為(2,2)，圓心(2,2)與點(diǎn)(1，)的連線的斜率為，則所求直線的斜率等于，所以所求直線方程是y(x1)，即4x6y70，選B.2(2012·大連部分中學(xué)聯(lián)考)已知拋物線y22px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax1 Bx1Cx2 Dx2答案B解析令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F(，0)，所以過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入y22px2p(y)2pyp2，所以y22pyp20，所以p2，所以拋物線的方程為y24x，準(zhǔn)線方程為x1，故選B.3(2011·長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)已知雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則·的最小值為()A2 BC1 D0答案A解析由已知得A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)設(shè)P(x，y)(x1)，則·(1x，y)·(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，則f(x)在x1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值，即·取最小值，最小值為2.4(2011·大綱全國(guó)理，10)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線y2x4與C交于A、B兩點(diǎn)，則cosAFB()A. B.C D答案D解析方法一：聯(lián)立解得或不妨設(shè)A在x軸上方，A(4,4)，B(1，2)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(3,4)，(0，2)，cosAFB.方法二：同上求得A(4,4)，B(1，2)，|AB|3，|AF|5，|BF|2，由余弦定理知，cosAFB.5設(shè)F是拋物線C1：y22px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線C1與雙曲線C2：1(a>0，b>0)的一條漸近線的一個(gè)公共點(diǎn)，且AFx軸，則雙曲線的離心率為()A2 B.C. D.答案D解析由題意可知，拋物線C1的焦點(diǎn)為F(，0)，因?yàn)锳Fx軸，則A(，±p)，不妨取A(，p)，則雙曲線C2的漸近線的斜率為，2，4，e25，e.6(2011·海南一模)若AB是過(guò)橢圓1(a>b>0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點(diǎn)，且AM、BM與兩坐標(biāo)軸均不平行，kAM、kBM分別表示直線AM、BM的斜率，則kAM·kBM()A BC D答案B解析解法一(直接法)：設(shè)A(x1，y1)，M(x0，y0)，則B(x1，y1)，kAM·kBM·.解法二(特殊值法)：因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)為確定值，取A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM.7(2012·安徽文，14)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)若|AF|3，則|BF|_.答案解析本題考查拋物線定義、直線與拋物線的位置關(guān)系解法1：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及拋物線定義可知x113，x12，A(2,2)，則直線AF斜率為k2，所以AB方程為y2(x1)，由聯(lián)立消去y得，2x25x20，解之得x12，x2，B(，)，所以|BF|x211.解法2：如圖，l為拋物線的準(zhǔn)線，AA1l于A1，BB1l于B1，BMAA1于M，交FO于N，則由BFNBAM得，|BF|.8設(shè)直線l：y2x2，若l與橢圓x21的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使PAB的面積為1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)答案3解析設(shè)與l平行且與橢圓相切的直線方程為y2xb，代入x21中消去y得，8x24bxb240，由16b232(b24)0得，b±2，顯見(jiàn)y2x2與兩軸交點(diǎn)為橢圓的兩頂點(diǎn)A(1,0)，B(0,2)，直線y2x2與l距離d，欲使SABP|AB|·hh1，須使h，dh，直線y2x2與橢圓切點(diǎn)，及y2x42與橢圓交點(diǎn)均滿(mǎn)足，這樣的點(diǎn)P有3個(gè)9已知F是橢圓1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線PF與圓x2y2b2相切，當(dāng)直線PF的傾斜角為時(shí)，此橢圓的離心率是_答案解析解法1：設(shè)直線PF與圓x2y2b2的切點(diǎn)為M，則依題意得OMMF，直線PF的傾斜角為，OFP，sin，橢圓的離心率e.解法2：依題意可知PF：y(xc)(c)，又O到PF的距離為b，即b，b2a2c2，4a27c2，e.10(2012·昆明一中測(cè)試)過(guò)拋物線C：x22py(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|2.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l的斜率為2，問(wèn)拋物線C上是否存在一點(diǎn)M，使得MAMB，并說(shuō)明理由解析(1)由拋物線的定義得|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線y的距離，12，p2，拋物線C的方程為x24y.(2)拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,1)，直線l的方程y2x1，設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為(x1，)、(x2，)、(x0，)，由方程組消去y得，x24(2x1)，即x28x40，由韋達(dá)定理得x1x28，x1x24.MAMB，·0，(x1x0)(x2x0)()()0，(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)0.M不與A，B重合，(x1x0)(x2x0)0，1(x1x0)(x2x0)0，x1x2(x1x2)x0x160，x8x0120，6448>0.方程x8x0120有解，即拋物線C上存在一點(diǎn)M，使得MAMB.能力拓展提升11.(2011·新課標(biāo)全國(guó)文，9)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABP的面積為()A18 B24C36 D48答案C解析設(shè)拋物線為y22px，則焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線x，由|AB|2p12，知p6，所以F到準(zhǔn)線距離為6，所以三角形面積為S×12×636.12已知雙曲線1(a>0，b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Q滿(mǎn)足1(1>0)且|2a，2，·0，則|OT|的值為()A4a B2aCa D.答案C解析由題知Q、F1、P三點(diǎn)共線，F(xiàn)2、T、Q三點(diǎn)共線|PF1|PF2|2a|F1Q|，|PQ|PF2|，又PTQF2，T為等腰三角形QPF2底邊QF2的中點(diǎn)，連接OT，則OT為F1QF2的中位線，所以|OT|a.13(2011·海南五校聯(lián)考)已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為M，N為拋物線上的一點(diǎn)，且|NF|MN|，則NMF_.答案30°解析作NH垂直于準(zhǔn)線于H，由拋物線的定義得|NH|NF|，sinHMN，得HMN60°，NMF90°60°30°.14(2012·山東蒼山縣期末)已知圓C：x2y26x4y80，以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案1解析在C方程中，令x0得y24y80無(wú)解，令y0得x26x80，x2或4，故雙曲線方程中a2，c4，b2c2a212，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.15(2011·安徽模擬)點(diǎn)A、B分別為橢圓1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PAPF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值解析(1)由已知可得點(diǎn)A(6,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，則(x6，y)，(x4，y)由已知得消去y得，2x29x180，x或x6，由于y>0，只能x，于是y，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)(2)直線AP的方程是xy60.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0)，則M到直線AP的距離是，于是|m6|，又6m6，解得m2.橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離是d，d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，所以當(dāng)x時(shí)d取最小值.16.(2012·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)如圖所示，在DEM中，(0，8)，N在y軸上，且()，點(diǎn)E在x軸上移動(dòng)(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)F(0,1)作互相垂直的兩條直線l1、l2，l1與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)A、B，l2與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)C、Q，求·的最小值解析(1)設(shè)M(x，y)，E(a,0)，由條件知D(0，8)，N在y軸上且N為EM的中點(diǎn)，xa，·(a，8)·(xa，y)a(xa)8y2x28y0，x24y(x0)，點(diǎn)M的軌跡方程為x24y(x0)(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直線l1：ykx1(k0)，則直線l2：yx1，由消去y得，x24kx40，x1x24k，x1x24，由消去y得，x2x40，x3x4，x3x44.A、B在直線l1上，y1kx11，y2kx21，C、Q在直線l2上，y3x31，y4x41.·(x3x1，y3y1)·(x2x4，y2y4)(x3x1)(x2x4)(y3y1)·(y2y4)(x3x1)(x2x4)(x3kx1)(kx2x4)x3x2x1x2x3x4x1x4x2x3k2x1x2x3x4x1x4(1k2)x1x2(1)x3x44(1k2)4(1)84(k2)16等號(hào)在k2時(shí)取得，即k±1時(shí)成立·的最小值為16.1(2011·遼寧沈陽(yáng)二中檢測(cè))已知曲線C：y2x2，點(diǎn)A(0，2)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要使視線不被曲線C擋住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(4，) B(，4C(10，) D(，10答案D解析過(guò)點(diǎn)A(0，2)作曲線C：y2x2的切線，設(shè)方程為ykx2，代入y2x2得，2x2kx20，令k2160得k±4，當(dāng)k4時(shí)，切線為l，B點(diǎn)在直線x3上運(yùn)動(dòng)，直線y4x2與x3的交點(diǎn)為M(3,10)，當(dāng)點(diǎn)B(3，a)滿(mǎn)足a10時(shí)，視線不被曲線C擋住，故選D.2.(2011·海南五校聯(lián)考)如圖，正六邊形ABCDEF的兩個(gè)頂點(diǎn)A、D為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余4個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是()A.1 B.1C. D.答案A解析設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則AE，ED1，AD2，2aAEED1,2cAD2，e1.3已知橢圓1(a>b>0)、雙曲線1和拋物線y22px(p>0)的離心率分別為e1、e2、e3，則()Ae1e2>e3 Be1e2e3Ce1e2<e3 De1e2e3答案C解析對(duì)于橢圓c，e1，對(duì)于雙曲線c，e2，e1e2，a>b>0，0<4<1，e1e2<1e3.4已知以F1(2,0)、F2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A3 B2C2 D4答案C解析根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為1(b>0)，則將xy4代入橢圓方程得，4(b21)y28b2yb412b20，橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，(8b2)24×4(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22，故選C.5已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是()A(1,2 B(1,2)C2，) D(2，)答案C解析漸近線l1：yx與過(guò)焦點(diǎn)F的直線l平行，或漸近線l1從該位置繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線l與雙曲線的右支交于一個(gè)點(diǎn)，即c2a2b24a2，e2，故選C.6已知橢圓C：y21(a>1)的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)為F1、F2，直線AF2與圓M：x2y26x2y70相切(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓內(nèi)存在動(dòng)點(diǎn)P，使|PF1|、|PO|、|PF2|成等比數(shù)列(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求·的取值范圍解析(1)圓M：x2y26x2y70化為(x3)2(y1)23，則圓M的圓心為M(3,1)，半徑r.由A(0,1)，F(xiàn)2(c,0)，(c)，得直線AF2：y1，即xcyc0，由直線AF2與圓M相切，得，解得c或c(舍去)則a2c213，故橢圓C的方程為：y21.(2)由(1)知F1(，0)、F2(，0)，設(shè)P(x，y)，由題意知|PO|2|PF1|·|PF2|，即()2·，化簡(jiǎn)得：x2y21，則x2y211.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)，故y2<1，即x21<1，x2<，1x2<，又·x22y22x23，1·<0.12