數(shù)學(xué)第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

第七節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一考點(diǎn)一 線段、周長問題線段、周長問題例例1 1 (2017(2017東營中考東營中考) )如圖，直線如圖，直線y y x x 分別與分別與x x軸、軸、y y軸交于軸交于B B，C C兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)A A在在x x軸上，軸上，ACBACB9090，拋物，拋物線線y yaxax2 2bxbx 經(jīng)過經(jīng)過A A，B B兩點(diǎn)兩點(diǎn)3333(1)(1)求求A A，B B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)(2)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(3)(3)點(diǎn)點(diǎn)M M是直線是直線BCBC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M M作作MHBCMHBC于于點(diǎn)點(diǎn)H H，作，作MDyMDy軸交軸交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，求，求DMHDMH周長的最大值周長的最大值【分析分析】 (1) (1)由直線解析式可求得由直線解析式可求得B B，C C坐標(biāo)，再利用相似三坐標(biāo)，再利用相似三角形可求得角形可求得OAOA，從而可求出，從而可求出A A點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)坐標(biāo)；(2)(2)利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(3)(3)根據(jù)題意可推出當(dāng)根據(jù)題意可推出當(dāng)MDMD取得最大值時，取得最大值時，DMHDMH的周長最大，的周長最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值【自主解答自主解答】(1)(1)直線直線y y x x 分別與分別與x x軸、軸、y y軸軸交于交于B B，C C兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3(3，0)0)，點(diǎn)，點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0(0， ) )ACOACOBCOBCO9090，ACOACOCAOCAO9090，CAOCAOBCO.BCO.AOCAOCCOBCOB9090，AOCAOCCOBCOB，點(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (1 1，0)0) 3333(2)(2)拋物線拋物線y yaxax2 2bxbx 經(jīng)過經(jīng)過A A，B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，拋物線的解析式為拋物線的解析式為y y3(3)(3)由題意知，由題意知，DMHDMH為直角三角形，且為直角三角形，且M M3030，當(dāng)當(dāng)MDMD取得最大值時，取得最大值時，DMHDMH的周長最大的周長最大DMHDMH周長的最大值為周長的最大值為 1 1(2017(2017東營沖刺卷東營沖刺卷) )如圖所示，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)如圖所示，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0D(0， ) )，且頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)C C的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為4 4，該圖象在，該圖象在x x軸上截得線軸上截得線段段ABAB長為長為6.6.(1)(1)利用二次函數(shù)的對稱性直接寫出點(diǎn)利用二次函數(shù)的對稱性直接寫出點(diǎn)A A，B B的坐標(biāo)的坐標(biāo)(2)(2)求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)的解析式(3)(3)在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P P，使，使PAPAPDPD最小，求出點(diǎn)最小，求出點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo)7 39(4)(4)在拋物線上是否存在點(diǎn)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q Q，使，使QABQAB與與ABCABC相似？如果存相似？如果存在，求出點(diǎn)在，求出點(diǎn)Q Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由1 1解：解：(1)A(1(1)A(1，0)0)，B(7B(7，0)0)(2)(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為設(shè)二次函數(shù)的解析式為y ya(xa(x1)(x1)(x7)7)過點(diǎn)過點(diǎn)(0(0， ) )，代入得代入得7a7a . .解得解得a a ，二次函數(shù)的解析式為二次函數(shù)的解析式為y y (x(x1)(x1)(x7)7)7 397 393939(3)(3)點(diǎn)點(diǎn)A A，B B關(guān)于直線關(guān)于直線x x4 4對稱，對稱，PAPAPBPB，PAPAPDPDPBPBPDDBPDDB，DBDB與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.P.如圖，設(shè)直線如圖，設(shè)直線x x4 4與與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)M.M.PMODPMOD，BPMBPMBDO.BDO.又又PBMPBMDBODBO，BPMBPMBDOBDO，(4)(4)存在由存在由(2)(2)可得出點(diǎn)可得出點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4(4， ) )AMAM3 3，在在RtRtAMCAMC中，中，tanACMtanACM ，ACMACM6060. .ACACBCBC，ACBACB120120. .33如圖所示，當(dāng)點(diǎn)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q Q在在x x軸上方時，過點(diǎn)軸上方時，過點(diǎn)Q Q作作QNxQNx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)N.N.如果如果ABABBQBQ，由由ACBACBABQABQ得得BQBQ6 6，ABQABQACBACB120120，則則QBNQBN6060，QNQN3 3 ，BNBN3 3，ONON1010，此時點(diǎn)此時點(diǎn)Q Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(10(10，3 )3 )33如果如果ABABAQAQ，由對稱性知，由對稱性知Q Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (2 2，3 )3 )，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(10(10，3 )3 )與與( (2 2，3 )3 )都在拋物線上都在拋物線上當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q Q在在x x軸下方時，軸下方時，QABQAB就是就是ACBACB，此時點(diǎn)，此時點(diǎn)Q Q的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(4(4， ) )綜上所述，存在這樣的點(diǎn)綜上所述，存在這樣的點(diǎn)Q Q，使，使QABQAB與與ABCABC相似，點(diǎn)相似，點(diǎn)Q Q的坐的坐標(biāo)為標(biāo)為(10(10，3 )3 )或或( (2 2，3 )3 )或或(4(4， ) )3333333考點(diǎn)二考點(diǎn)二 圖形面積問題圖形面積問題例例2 2 (2016(2016東營中考東營中考) )在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形中，平行四邊形ABOCABOC如圖放置，點(diǎn)如圖放置，點(diǎn)A A，C C的的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是(0(0，4)4)，( (1 1，0)0)，將此平行，將此平行四邊形繞點(diǎn)四邊形繞點(diǎn)O O順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)9090，得到平行，得到平行四邊形四邊形ABOC.ABOC.(1)(1)若拋物線過點(diǎn)若拋物線過點(diǎn)C C，A A，AA，求此拋物線的解析式；，求此拋物線的解析式；(2)(2)點(diǎn)點(diǎn)M M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)M M在何處在何處時，時，AMAAMA的面積最大？最大面積是多少？并求出此時的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M M的的坐標(biāo)；坐標(biāo)；(3)(3)若若P P為拋物線上一動點(diǎn)，為拋物線上一動點(diǎn)，N N為為x x軸上的一動點(diǎn)，點(diǎn)軸上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q Q坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1(1，0)0)，當(dāng)，當(dāng)P P，N N，B B，Q Q構(gòu)成平行四邊形時，求點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形時，求點(diǎn)P P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，求點(diǎn)當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，求點(diǎn)N N的坐標(biāo)的坐標(biāo)【分析分析】 (1) (1)由平行四邊形由平行四邊形ABOCABOC繞點(diǎn)繞點(diǎn)O O順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)9090，得，得到平行四邊形到平行四邊形ABOCABOC，且點(diǎn)，且點(diǎn)A A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(0(0，4)4)，可求得，可求得點(diǎn)點(diǎn)AA的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；式；(2)(2)連接連接AAAA，設(shè)直線，設(shè)直線AAAA的解析式為的解析式為y ykxkxb b，利用待定，利用待定系數(shù)法即可求得直線系數(shù)法即可求得直線AAAA的解析式，再設(shè)點(diǎn)的解析式，再設(shè)點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x，x x2 23x3x4)4)，繼而可得，繼而可得AMAAMA的面積，求得答案；的面積，求得答案；(3)(3)分別從分別從BQBQ為邊與為邊與BQBQ為對角線去分析求解即可求得答案為對角線去分析求解即可求得答案【自主解答自主解答】(1)(1)平行四邊形平行四邊形ABOCABOC繞點(diǎn)繞點(diǎn)O O順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)9090，得到平行四邊形得到平行四邊形ABOCABOC，且點(diǎn)，且點(diǎn)A A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(0(0，4)4)，點(diǎn)點(diǎn)AA的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4(4，0)0)點(diǎn)點(diǎn)A A，C C的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是(0(0，4)4)，( (1 1，0)0)，拋物線過點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)C C，A A，AA，設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為y yaxax2 2bxbxc c， 此拋物線的解析式為此拋物線的解析式為y yx x2 23x3x4.4.(2)(2)如圖，連接如圖，連接AAAA，設(shè)直線，設(shè)直線AAAA的解析式為的解析式為y ykxkxb b，直線直線AAAA的解析式為的解析式為y yx x4.4.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x，x x2 23x3x4)4)，則則S SAMAAMA 4 4 x x2 23x3x4 4( (x x4)4)2x2x2 28x8x2(x2(x2)2)2 28 8，當(dāng)當(dāng)x x2 2時，時，AMAAMA的面積最大，最大值的面積最大，最大值S SAMAAMA8 8，M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2(2，6)6)12(3)(3)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x，x x2 23x3x4)4)當(dāng)當(dāng)P P，N N，B B，Q Q構(gòu)成平行四邊形時，構(gòu)成平行四邊形時，平行四邊形平行四邊形ABOCABOC中，點(diǎn)中，點(diǎn)A A，C C的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是(0(0，4)4)，( (1 1，0)0)，點(diǎn)點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1(1，4)4)點(diǎn)點(diǎn)Q Q坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1(1，0)0)，P P為拋物線上一動點(diǎn)，為拋物線上一動點(diǎn)，N N為為x x軸上的一動點(diǎn)軸上的一動點(diǎn)當(dāng)當(dāng)BQBQ為邊時，為邊時，PNBQPNBQ，PNPNBQ.BQ.BQBQ4 4，x x2 23x3x4 44.4.當(dāng)當(dāng)x x2 23x3x4 44 4時，時，解得解得x x1 10 0，x x2 23 3，P P1 1(0(0，4)4)，P P2 2(3(3，4)4)；當(dāng)當(dāng)x x2 23x3x4 44 4時，時，當(dāng)當(dāng)BQBQ為對角線時，為對角線時，BPQNBPQN，BPBPQNQN，此時，此時P P與與P P1 1，P P2 2重合重合綜上可得，點(diǎn)綜上可得，點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為P P1 1(0(0，4)4)，P P2 2(3(3，4)4)，P P3 3( ( ，4)4)，P P4 4( ( ，4)4)當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，點(diǎn)當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，點(diǎn)N N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0(0，0)0)或或(3(3，0)0)341234122 2(2018(2018遂寧中考遂寧中考) )如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線y yaxax2 2 x x4 4的的對稱軸是直線對稱軸是直線x x3 3，且與，且與x x軸相交于軸相交于A A，B B兩點(diǎn)兩點(diǎn)(B(B點(diǎn)在點(diǎn)在A A點(diǎn)右點(diǎn)右側(cè)側(cè)) )，與，與y y軸交于軸交于C C點(diǎn)點(diǎn)(1)(1)求拋物線的解析式和求拋物線的解析式和A A，B B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)(2)若點(diǎn)若點(diǎn)P P是拋物線上是拋物線上B B，C C兩點(diǎn)之間的一個動點(diǎn)兩點(diǎn)之間的一個動點(diǎn)( (不與不與B B，C C重重合合) )，則是否存在一點(diǎn)，則是否存在一點(diǎn)P P，使，使PBCPBC的面積最大若存在，請的面積最大若存在，請求出求出PBCPBC的最大面積；若不存在，試說明理由；的最大面積；若不存在，試說明理由；32(3)(3)若若M M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M M作作y y軸的平行線，交直線軸的平行線，交直線BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)N N，當(dāng)，當(dāng)MNMN3 3時，求時，求M M點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)解：解：(1)(1)拋物線拋物線y yaxax2 2 x x4 4的對稱軸是直線的對稱軸是直線x x3 3， 3 3，解得，解得a a ，拋物線的解析式為拋物線的解析式為y y x x2 2 x x4.4.當(dāng)當(dāng)y y0 0時，時， x x2 2 x x4 40 0，解得解得x x1 12 2，x x2 28 8，點(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (2 2，0)0)，點(diǎn)，點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(8(8，0)0)32322a1414321432(2)(2)當(dāng)當(dāng)x x0 0時，時，y y x x2 2 x x4 44 4，點(diǎn)點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0(0，4)4)設(shè)直線設(shè)直線BCBC的解析式為的解析式為y ykxkxb(k0)b(k0)將將B(8B(8，0)0)，C(0C(0，4)4)代入代入y ykxkxb b得得1432直線直線BCBC的解析式為的解析式為y y x x4.4.假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x， x x2 2 x x4)4)如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)P P作作PDyPDy軸，交直線軸，交直線BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，121432則點(diǎn)則點(diǎn)D D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x， x x4)4)，PDPD x x2 2 x x4 4( ( x x4)4) x x2 22x2x，S SPBCPBC PDPDOBOB 8(8( x x2 22x)2x)x x2 28x8x(x(x4)4)2 216.16.1 10 0，當(dāng)當(dāng)x x4 4時，時，PBCPBC的面積最大，最大面積是的面積最大，最大面積是16.16.00 x x8 8，存在點(diǎn)存在點(diǎn)P P，使，使PBCPBC的面積最大，最大面積是的面積最大，最大面積是16.16.1214321214121214(3)(3)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(m(m， m m2 2 m m4)4)，則點(diǎn)，則點(diǎn)N N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(m(m， m m4)4)，MNMN| | m m2 2 m m4 4( ( m m4)|4)| | m m2 22m|.2m|.又又MNMN3 3，| | m m2 22m|2m|3.3.1432121432121414當(dāng)當(dāng)0 0m m8 8時，有時，有 m m2 22m2m3 30 0，解得解得m m1 12 2，m m2 26 6，點(diǎn)點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2(2，6)6)或或(6(6，4)4)當(dāng)當(dāng)m m0 0或或m m8 8時，有時，有 m m2 22m2m3 30 0，解得解得m m3 34 42 2 ，m m4 44 42 2 ，141477點(diǎn)點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4(42 2 ， 1)1)或或(4(42 2 ， 1)1)綜上所述，綜上所述，M M點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(4(42 2 ， 1)1)，(2(2，6)6)，(6(6，4)4)或或(4(42 2 ， 1)1)77777777考點(diǎn)三考點(diǎn)三 動點(diǎn)、存在點(diǎn)問題動點(diǎn)、存在點(diǎn)問題例例3 3 (2018(2018東營中考東營中考) )如圖，拋物線如圖，拋物線y ya(xa(x1)(x1)(x3)(a3)(a0)0)與與x x軸交于軸交于A A，B B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C C在在x x軸下方，且軸下方，且使使OCAOCAOBC.OBC.(1)(1)求線段求線段OCOC的長度；的長度；(2)(2)設(shè)直線設(shè)直線BCBC與與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)M M，點(diǎn)，點(diǎn)C C是是BMBM的中點(diǎn)時，求直線的中點(diǎn)時，求直線BMBM和和拋物線的解析式；拋物線的解析式；(3)(3)在在(2)(2)的條件下，直線的條件下，直線BCBC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P P，使得四邊形使得四邊形ABPCABPC面積最大？若存在，請求出點(diǎn)面積最大？若存在，請求出點(diǎn)P P的坐標(biāo)；若的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由不存在，請說明理由【分析分析】 (1) (1)令令y y0 0，求出，求出x x的值，確定出的值，確定出OAOA與與OBOB的長度，的長度，根據(jù)已知相似三角形的比例，求出根據(jù)已知相似三角形的比例，求出OCOC的長即可；的長即可；(2)(2)根據(jù)根據(jù)C C為為BMBM的中點(diǎn)，求出的中點(diǎn)，求出ODOD的長度，利用待定系數(shù)法確的長度，利用待定系數(shù)法確定出直線定出直線BMBM的解析式，把點(diǎn)的解析式，把點(diǎn)C C坐標(biāo)代入拋物線求出坐標(biāo)代入拋物線求出a a的值，的值，即可確定出二次函數(shù)解析式；即可確定出二次函數(shù)解析式；(3)(3)四邊形四邊形ABPCABPC面積最大即面積最大即BPCBPC面積最大，向下平移面積最大，向下平移BMBM與與拋物線有唯一公共點(diǎn)時，拋物線有唯一公共點(diǎn)時，BCDBCD面積最大，構(gòu)造一元二次方面積最大，構(gòu)造一元二次方程，求得程，求得0 0時時m m的值，進(jìn)而求得的值，進(jìn)而求得P P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)【自主解答自主解答】 (1)(1)令令a(xa(x1)(x1)(x3)3)0 0，可得，可得x x1 11 1，x x2 23 3，OAOA1 1，OBOB3.3.OCAOCAOBCOBC， ，OCOC2 2OAOAOBOB1 13 33 3，OCOC . .OCOBOAOC3(2)(2)如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)C C作作CDxCDx軸，垂足為點(diǎn)軸，垂足為點(diǎn)D D，則，則CDOM.CDOM.點(diǎn)點(diǎn)C C是是BMBM的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，ODOD OBOB ，1232設(shè)直線設(shè)直線BMBM的解析式為的解析式為y ykxkxb b，將，將B B，C C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得(3)(3)存在如圖，存在如圖，S S四邊形四邊形ABPCABPCS SABCABCS SBPCBPC，S SABCABC是常量，是常量，S SBPCBPC的面積隨點(diǎn)的面積隨點(diǎn)P P的位置變化而變化，的位置變化而變化，向下平移直線向下平移直線BMBM，當(dāng)平移后的直線，當(dāng)平移后的直線BMBM和拋物線和拋物線0000003 3(2018(2018泰安中考泰安中考) )如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)數(shù)y yaxax2 2bxbxc c交交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)A(A(4 4，0)0)，B(2B(2，0)0)，交，交y y軸于軸于點(diǎn)點(diǎn)C(0C(0，6)6)，在，在y y軸上有一點(diǎn)軸上有一點(diǎn)E(0E(0，2)2)，連接，連接AE.AE.(1)(1)求二次函數(shù)的解析式；求二次函數(shù)的解析式；(2)(2)若點(diǎn)若點(diǎn)D D為拋物線在為拋物線在x x軸負(fù)半軸上方的一個動點(diǎn)，求軸負(fù)半軸上方的一個動點(diǎn)，求ADEADE面面積的最大值；積的最大值；(3)(3)拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P P，使，使AEPAEP為等腰三角形，為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有若存在，請直接寫出所有P P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由由解：解：(1)(1)由題意可得由題意可得二次函數(shù)的解析式為二次函數(shù)的解析式為y y x x2 2 x x6.6.3432(2)(2)由由A(A(4 4，0)0)，E(0E(0，2)2)，可求得，可求得AEAE所在直線解析式為所在直線解析式為y y x x2.2.如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)D D作作DHDH與與y y軸平行，交軸平行，交AEAE于點(diǎn)于點(diǎn)F F，交，交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)G G，過點(diǎn)過點(diǎn)E E作作EHDFEHDF，垂足為，垂足為H.H.12設(shè)設(shè)D D點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x(x0 0， x x0 02 2 x x0 06)6)，則，則F F點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x(x0 0， x x0 02)2)，則則DFDF x x0 02 2 x x0 06 6( ( x x0 02)2) x x0 02 2x x0 08.8.又又S SADEADES SADFADFS SEDFEDF，S SADEADE DFDFAGAG DFDFEHEH 4DF4DF343212343212341212122 2( ( x x0 02 2x x0 08)8) (x(x0 0 ) )2 2 ，當(dāng)當(dāng)x x0 0 時，時，ADEADE的面積取得最大值的面積取得最大值 . .(3)P(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為( (1 1，1)1)，( (1 1， ) )，( (1 1，2 2 ) )343223503235031111考點(diǎn)四考點(diǎn)四 二次函數(shù)綜合題二次函數(shù)綜合題百變例題百變例題 (2018(2018濟(jì)寧中考濟(jì)寧中考) )如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A(3A(3，0)0)，B(B(1 1，0)0)，C(0C(0，3)3)(1)(1)求該拋物線的解析式；求該拋物線的解析式；(2)(2)若以點(diǎn)若以點(diǎn)A A為圓心的圓與直線為圓心的圓與直線BCBC相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)M M，求切點(diǎn)，求切點(diǎn)M M的坐的坐標(biāo)；標(biāo)；(3)(3)若點(diǎn)若點(diǎn)Q Q在在x x軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)P P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B B，C C，Q Q，P P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P P的坐的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由標(biāo)；若不存在，請說明理由【分析分析】 (1) (1)已知已知A A，B B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得y ya(xa(x3)(x3)(x1)1)，再將點(diǎn)再將點(diǎn)C C坐標(biāo)代入即可解得；坐標(biāo)代入即可解得；(2)(2)過點(diǎn)過點(diǎn)A A作作AMBCAMBC，利用全等三角形求出點(diǎn)，利用全等三角形求出點(diǎn)N N的坐標(biāo)，再利的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線用待定系數(shù)法求出直線AMAM的解析式，同理可求出直線的解析式，同理可求出直線BCBC的解的解析式，聯(lián)立求出析式，聯(lián)立求出M M坐標(biāo)即可；坐標(biāo)即可；(3)(3)存在以點(diǎn)存在以點(diǎn)B B，C C，Q Q，P P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P P的坐標(biāo)即可的坐標(biāo)即可【自主解答自主解答】(1)(1)拋物線拋物線y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A(3A(3，0)0)，B(B(1 1，0)0)，y ya(xa(x3)(x3)(x1)1)又又拋物線經(jīng)過點(diǎn)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0C(0，3)3)，3 3a(0a(03)(03)(01)1)，解得解得a a1 1，拋物線的解析式為拋物線的解析式為y y(x(x3)(x3)(x1)1)，即即y yx x2 22x2x3.3. (2)(2)如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)A A作作AMBCAMBC，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)M M，AMAM交交y y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)N N，BAMBAMABMABM9090. .在在RtRtBCOBCO中，中，BCOBCOABMABM9090，BAMBAMBCO.BCO.A(3A(3，0)0)，B(B(1 1，0)0)，C(0C(0，3)3)，AOAOCOCO3 3，OBOB1.1.又又BAMBAMBCOBCO，BOCBOCAONAON9090，AONAONCOBCOB，ONONOBOB1 1，N(0N(0，1)1)設(shè)直線設(shè)直線AMAM的函數(shù)解析式為的函數(shù)解析式為y ykxkxb b，把把A(3A(3，0)0)，N(0N(0，1)1)代入得代入得解得解得直線直線AMAM的函數(shù)解析式為的函數(shù)解析式為y y x x1.1.同理可求直線同理可求直線BCBC的函數(shù)解析式為的函數(shù)解析式為y y3x3x3.3.解方程組得解方程組得切點(diǎn)切點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ( ， ) )133565(3)(3)存在以點(diǎn)存在以點(diǎn)B B，C C，Q Q，P P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形設(shè)設(shè)Q(tQ(t，0)0)，P(mP(m，m m2 22m2m3)3)分兩種情況考慮：分兩種情況考慮：當(dāng)四邊形當(dāng)四邊形BCQPBCQP為平行四邊形時，為平行四邊形時，由由B(B(1 1，0)0)，C(0C(0，3)3)，根據(jù)平移規(guī)律得根據(jù)平移規(guī)律得1 1m m0 0t t，0 0(m(m2 22m2m3)3)3 30 0，解得解得m m1 1 . .當(dāng)當(dāng)m m1 1 時，時，m m2 22m2m3 38 82 2 2 22 2 3 33 3，即即P(1P(1 ，3)3)；當(dāng)當(dāng)m m1 1 時，時，m m2 22m2m3 38 82 2 2 22 2 3 33 3，即即P(1P(1 ，3)3)777777777當(dāng)四邊形當(dāng)四邊形BCPQBCPQ為平行四邊形時，為平行四邊形時，由由B(B(1 1，0)0)，C(0C(0，3)3)，根據(jù)平移規(guī)律得根據(jù)平移規(guī)律得1 1t t0 0m m，0 00 03 3(m(m2 22m2m3)3)，解得解得m m0 0或或2.2.當(dāng)當(dāng)m m0 0時，時，P(0P(0，3)(3)(舍去舍去) )；當(dāng)；當(dāng)m m2 2時，時，P(2P(2，3)3)綜上所述，存在以點(diǎn)綜上所述，存在以點(diǎn)B B，C C，Q Q，P P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)形，點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1(1 ，3)3)或或(1(1 ，3)3)或或(2(2，3)3)77變式變式1 1：若點(diǎn)：若點(diǎn)D D是拋物線的頂點(diǎn)，求是拋物線的頂點(diǎn)，求ACDACD面積與面積與ABCABC面積的面積的比比解：如圖，連接解：如圖，連接ACAC，ADAD，CDCD，作，作DLxDLx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)L.L.S SACDACDS S梯形梯形OCDLOCDLS SADLADLS SAOCAOC (3(34)4)1 1 2 24 4 3 33 3 3 3，S SABCABC ABABOCOC 4 43 36 6，S SACDACDSSABCABC363612.12.1212127282921212變式變式2 2：若：若E E是是x x軸上一個動點(diǎn)，過軸上一個動點(diǎn)，過E E作射線作射線EFBCEFBC交拋物線于交拋物線于點(diǎn)點(diǎn)F F，隨著，隨著E E點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F F，使，使以以B B，E E，F(xiàn) F，C C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：存在理由如下：解：存在理由如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)如圖，當(dāng)點(diǎn)F F在在x x軸下方時，作軸下方時，作FRxFRx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)R.R.四邊形四邊形BCFEBCFE為平行四邊形，為平行四邊形，EF BCEF BC，ERFERFBOCBOC，RFRFOCOC3 3，3 3x x2 22x2x3 3，解得解得x x2 2或或x x0(0(與與C C點(diǎn)重合，舍去點(diǎn)重合，舍去) )，F(xiàn)(2F(2，3)3)如圖，當(dāng)如圖，當(dāng)F F在在x x軸上方時，作軸上方時，作FSxFSx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)S.S.四邊形四邊形BCEFBCEF為平行四邊形，為平行四邊形，EF BCEF BC，EFSEFSBCOBCO，F(xiàn)SFSOCOC3 3，3 3x x2 22x2x3 3，解得解得x x1 11 1 ，x x2 21 1 . .綜上所述，綜上所述，F(xiàn) F點(diǎn)為點(diǎn)為(2(2，3)3)或或(1(1 ，3)3)或或(1(1 ，3)3)7777變式變式3 3：如圖，若點(diǎn)：如圖，若點(diǎn)G G是線段是線段ACAC上的點(diǎn)上的點(diǎn)( (不與不與A A，C C重合重合) )，過，過G G作作GHyGHy軸交拋物線于軸交拋物線于H H，若點(diǎn)，若點(diǎn)G G的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為m m，請用，請用m m的代數(shù)的代數(shù)式表示式表示GHGH的長的長解：設(shè)直線解：設(shè)直線ACAC的解析式為的解析式為y ykxkx3 3，則有，則有0 03k3k3 3，解得，解得k k1 1，故直線故直線ACAC的解析式為的解析式為y yx x3.3.已知點(diǎn)已知點(diǎn)G G的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為m m，則則G(mG(m，m m3)3)，H(mH(m，m m2 22m2m3)3)，GHGHm m3 3(m(m2 22m2m3)3)m m2 23m(0m3)3m(0m3)變式變式4 4：若對稱軸是直線：若對稱軸是直線l l，在對稱軸，在對稱軸l l上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)W W，使，使WBCWBC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)W W的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：存在點(diǎn)解：存在點(diǎn)W W的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1(1，0)0)或或(1(1， ) )或或(1(1， ) )或或(1(1，1)1)提示：設(shè)對稱軸上的點(diǎn)提示：設(shè)對稱軸上的點(diǎn)W W為為(1(1，m)m)，BCBC ，6610