數(shù)學(xué)第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

第六節(jié)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)一考點(diǎn)一 利潤問題利潤問題例例1 1(2018(2018達(dá)州中考達(dá)州中考)“)“綠水青山就是金山銀山綠水青山就是金山銀山”的理念已融的理念已融入人們的日常生活中，因此，越來越多的人喜歡騎自行車出入人們的日常生活中，因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行某自行車店在銷售某型號自行車時(shí)，以高出進(jìn)價(jià)的行某自行車店在銷售某型號自行車時(shí)，以高出進(jìn)價(jià)的50%50%標(biāo)價(jià)已知按標(biāo)價(jià)九折銷售該型號自行車標(biāo)價(jià)已知按標(biāo)價(jià)九折銷售該型號自行車8 8輛與將標(biāo)價(jià)直降輛與將標(biāo)價(jià)直降100100元銷售元銷售7 7輛獲利相同輛獲利相同(1)(1)求該型號自行車的進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)分別是多少元？求該型號自行車的進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)分別是多少元？(2)(2)若該型號自行車的進(jìn)價(jià)不變，按若該型號自行車的進(jìn)價(jià)不變，按(1)(1)中的標(biāo)價(jià)出售，該店中的標(biāo)價(jià)出售，該店平均每月可售出平均每月可售出5151輛；若每輛自行車每降價(jià)輛；若每輛自行車每降價(jià)2020元，每月可多元，每月可多售出售出3 3輛，求該型號自行車降價(jià)多少元時(shí)，每月獲利最大？輛，求該型號自行車降價(jià)多少元時(shí)，每月獲利最大？最大利潤是多少？最大利潤是多少？【分析分析】 (1) (1)設(shè)進(jìn)價(jià)為設(shè)進(jìn)價(jià)為x x元，則標(biāo)價(jià)是元，則標(biāo)價(jià)是1.5x1.5x元，根據(jù)利潤相元，根據(jù)利潤相等可得方程，解方程即可得到進(jìn)價(jià)，進(jìn)而得到標(biāo)價(jià)；等可得方程，解方程即可得到進(jìn)價(jià)，進(jìn)而得到標(biāo)價(jià)；(2)(2)設(shè)該型號自行車降價(jià)設(shè)該型號自行車降價(jià)a a元，利潤為元，利潤為w w元，利用元，利用“銷售量銷售量每輛自行車的利潤總利潤每輛自行車的利潤總利潤”列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解【自主解答自主解答】(1)(1)設(shè)進(jìn)價(jià)為設(shè)進(jìn)價(jià)為x x元，則標(biāo)價(jià)是元，則標(biāo)價(jià)是1.5x1.5x元元由題意得由題意得1.5x1.5x0.90.98 88x8x(1.5x(1.5x100)100)7 77x7x，解得解得x x1 0001 000，1 15 51 0001 0001 500(1 500(元元) )答：該型號自行車的進(jìn)價(jià)為答：該型號自行車的進(jìn)價(jià)為1 0001 000元，標(biāo)價(jià)為元，標(biāo)價(jià)為1 5001 500元元 (2)(2)設(shè)該型號自行車降價(jià)設(shè)該型號自行車降價(jià)a a元，利潤為元，利潤為w w元，由題意得元，由題意得w w(51(51 3)(1 5003)(1 5001 0001 000a)a) (a(a80)80)2 226 460.26 460. 0 0，當(dāng)當(dāng)a a8080時(shí)，時(shí)，w w最大最大26 460.26 460.答：該型號自行車降價(jià)答：該型號自行車降價(jià)8080元出售每月獲利最大，最大利潤是元出售每月獲利最大，最大利潤是26 46026 460元元20a320320利用二次函數(shù)求最大利潤的方法利用二次函數(shù)求最大利潤的方法利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的利潤問題，應(yīng)認(rèn)清變量所利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的利潤問題，應(yīng)認(rèn)清變量所表示的實(shí)際意義，注意隱含條件的使用，同時(shí)考慮問題要表示的實(shí)際意義，注意隱含條件的使用，同時(shí)考慮問題要全面此類問題一般是先運(yùn)用全面此類問題一般是先運(yùn)用“總利潤總售價(jià)總成本總利潤總售價(jià)總成本”或或“總利潤每件商品所獲利潤總利潤每件商品所獲利潤銷售數(shù)量銷售數(shù)量”，建立利潤，建立利潤與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式，求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式的最大值，與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式，求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式的最大值，即求得的最大利潤即求得的最大利潤1 1(2018(2018安徽中考安徽中考) )小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各植盆景與花卉各5050盆，售后統(tǒng)計(jì)，盆景的平均每盆利潤是盆，售后統(tǒng)計(jì)，盆景的平均每盆利潤是160160元，花卉的平均每盆利潤是元，花卉的平均每盆利潤是1919元調(diào)研發(fā)現(xiàn)：元調(diào)研發(fā)現(xiàn)：盆景每增加盆景每增加1 1盆，盆景的平均每盆利潤減少盆，盆景的平均每盆利潤減少2 2元；每減少元；每減少1 1盆，盆景的平均每盆利潤增加盆，盆景的平均每盆利潤增加2 2元；元；花卉的平均每盆利潤始終不變花卉的平均每盆利潤始終不變小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100100盆，設(shè)培植的盆景盆，設(shè)培植的盆景比第一期增加比第一期增加x x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為為W W1 1，W W2 2( (單位：元單位：元) )(1)(1)用含用含x x的代數(shù)式分別表示的代數(shù)式分別表示W(wǎng) W1 1，W W2 2；(2)(2)當(dāng)當(dāng)x x取何值時(shí)，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的取何值時(shí)，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤總利潤W W最大，最大總利潤是多少？最大，最大總利潤是多少？解：解：(1)W(1)W1 1(x(x50)(16050)(1602x)2x)2x2x2 260 x60 x8 0008 000，W W2 219(5019(50 x)x)19x19x950.950.(2)W(2)WW W1 1W W2 2( (2x2x2 260 x60 x8 000)8 000)( (19x19x950)950)2x2x2 241x41x8 950.8 950.2 20 0， 10.2510.25，當(dāng)當(dāng)x x1010時(shí)，時(shí)，W W最大最大2 2100100414110108 9508 9509 160(9 160(元元) )412 ( 2) 答：當(dāng)答：當(dāng)x x1010時(shí)，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總時(shí)，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤利潤W W最大，最大總利潤是最大，最大總利潤是9 1609 160元元2 2(2018(2018眉山中考眉山中考) )傳統(tǒng)的端午節(jié)即將來臨，某企業(yè)接到傳統(tǒng)的端午節(jié)即將來臨，某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，約定這批粽子的出廠價(jià)為每只一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，約定這批粽子的出廠價(jià)為每只4 4元，按元，按要求在要求在2020天內(nèi)完成為了按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新天內(nèi)完成為了按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李明第工人，設(shè)新工人李明第x x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y y只，只，y y與與x x滿滿足如下關(guān)系：足如下關(guān)系：y y(1)(1)李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為280280只？只？(2)(2)如圖，設(shè)第如圖，設(shè)第x x天生產(chǎn)的每只粽子的成本是天生產(chǎn)的每只粽子的成本是p p元，元，p p與與x x之間之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫若李明第的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫若李明第x x天創(chuàng)造的利天創(chuàng)造的利潤為潤為w w元，求元，求w w與與x x之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天的利潤之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天的利潤最大？最大利潤是多少元？最大？最大利潤是多少元？( (利潤出廠價(jià)成本利潤出廠價(jià)成本) )2 2解：解：(1)6(1)63434204204，前六天生產(chǎn)的粽子最多達(dá)到前六天生產(chǎn)的粽子最多達(dá)到204204只只將將280280代入代入20 x20 x8080得得20 x20 x8080280280，x x10.10.答：第答：第1010天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為280280只只(2)(2)當(dāng)當(dāng)0 x0 x1010時(shí)，時(shí)，p p2 2，當(dāng)，當(dāng)10 x2010 x20時(shí)，設(shè)時(shí)，設(shè)p pkxkxb.b.將將(10(10，2)2)和和(20(20，3)3)代入得代入得 解得解得p p x x1.1.當(dāng)當(dāng)0 x60 x6時(shí)，時(shí)，w w(4(42)2)34x34x68x68x，w w隨隨x x的增大而增大，的增大而增大，當(dāng)當(dāng)x x6 6時(shí)，時(shí)，w w最大值為最大值為408408元；元；當(dāng)當(dāng)6 6x10 x10時(shí)，時(shí)，w w(4(42)2)(20 x(20 x80)80)40 x40 x160160，w w隨隨x x的增大而增大，的增大而增大，當(dāng)當(dāng)x x1010時(shí)，時(shí)，w w最大值為最大值為560560元；元；當(dāng)當(dāng)1010 x20 x20時(shí)，時(shí)，w w(4(4 x x1)(20 x1)(20 x80)80)2x2x2 252x52x240240，對稱軸為，對稱軸為x x13.13.110110在在1010 x20 x20內(nèi)，內(nèi)，將將x x1313代入得代入得w w578(578(元元) )綜上所述，綜上所述，w w與與x x的函數(shù)解析式為的函數(shù)解析式為w w答：第答：第1313天的時(shí)候利潤最大，最大利潤為天的時(shí)候利潤最大，最大利潤為578578元元考點(diǎn)二考點(diǎn)二 拋物線形實(shí)際問題拋物線形實(shí)際問題例例2 2 (2018(2018濱州中考濱州中考) )如圖，一小球沿與地面成一定角度的如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線如果不考慮空氣方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度阻力，小球的飛行高度y(y(單位：單位：m)m)與飛行時(shí)間與飛行時(shí)間x(x(單位：單位：s)s)之之間具有函數(shù)關(guān)系間具有函數(shù)關(guān)系y y5x5x2 220 x20 x，請根據(jù)要求解答下列問題：，請根據(jù)要求解答下列問題：(1)(1)在飛行過程中，當(dāng)小球的飛行高度為在飛行過程中，當(dāng)小球的飛行高度為15 m15 m時(shí)，飛行時(shí)間時(shí)，飛行時(shí)間是多少？是多少？(2)(2)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時(shí)間是多少？在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時(shí)間是多少？(3)(3)在飛行過程中，小球飛行高度何時(shí)最大？最大高度是多在飛行過程中，小球飛行高度何時(shí)最大？最大高度是多少？少？【分析分析】 (1) (1)小球飛行高度為小球飛行高度為15 m15 m，即，即y y5x5x2 220 x20 x中中y y的的值為值為1515，解方程求出，解方程求出x x的值，即為飛行時(shí)間；的值，即為飛行時(shí)間；(2)(2)小球飛出時(shí)和落地時(shí)的高度為小球飛出時(shí)和落地時(shí)的高度為0 0，據(jù)此可求出，據(jù)此可求出x x的值，再的值，再求差即可；求差即可；(3)(3)求小球飛行高度何時(shí)最大？最大高度是多少？即求求小球飛行高度何時(shí)最大？最大高度是多少？即求x x為何為何值時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值是多少？值時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值是多少？【自主解答自主解答】(1)(1)當(dāng)當(dāng)y y1515時(shí)，有時(shí)，有5x5x2 220 x20 x1515，化簡得化簡得x x2 24x4x3 30 0，解得解得x x1 1或或3.3.答：飛行時(shí)間是答：飛行時(shí)間是1 s1 s或者或者3 s.3 s.(2)(2)飛出和落地的瞬間，高度都為飛出和落地的瞬間，高度都為0 0，故，故y y0 0，有有0 05x5x2 220 x20 x，解得，解得x x0 0或或4 4，小球從飛出到落地所用時(shí)間是小球從飛出到落地所用時(shí)間是4 40 04 (s)4 (s)(3)(3)當(dāng)當(dāng)x x 2(s)2(s)時(shí)，小球的飛行高度最時(shí)，小球的飛行高度最大，最大高度為大，最大高度為20 m.20 m.2ba202 ( 5) 解拋物線形實(shí)際問題的注意事項(xiàng)解拋物線形實(shí)際問題的注意事項(xiàng)(1)(1)解題的關(guān)鍵：進(jìn)行二次函數(shù)建模，依據(jù)題意，建立合適的解題的關(guān)鍵：進(jìn)行二次函數(shù)建模，依據(jù)題意，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并利用拋物線的性質(zhì)解決問題平面直角坐標(biāo)系，并利用拋物線的性質(zhì)解決問題(2) (2) 解題技巧：所建立的坐標(biāo)系能使所設(shè)的解析式形式最簡解題技巧：所建立的坐標(biāo)系能使所設(shè)的解析式形式最簡(3)(3)注意問題：題意分析不透，不能建立符合題意的函數(shù)模注意問題：題意分析不透，不能建立符合題意的函數(shù)模型或所建立的函數(shù)模型不正確，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤；忽視了自型或所建立的函數(shù)模型不正確，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤；忽視了自變量的取值范圍，造成錯(cuò)解變量的取值范圍，造成錯(cuò)解3 3(2017(2017金華中考金華中考) )甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在O O點(diǎn)正上方點(diǎn)正上方1 m1 m的的P P處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度y(my(m) )與水平距離與水平距離x(mx(m) )之間之間滿足函數(shù)解析式滿足函數(shù)解析式y(tǒng) ya(xa(x4)4)2 2h h，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)O O與球網(wǎng)的水平距與球網(wǎng)的水平距離為離為5 m5 m，球網(wǎng)的高度為，球網(wǎng)的高度為1.55 m.1.55 m.(1)(1)當(dāng)當(dāng)a a 時(shí)，求時(shí)，求h h的值；的值；通過計(jì)算判斷此球能否過網(wǎng)；通過計(jì)算判斷此球能否過網(wǎng)；(2)(2)若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到與點(diǎn)若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到與點(diǎn)O O的水平距離為的水平距離為7 m7 m，離地面的高度為離地面的高度為 m m的的Q Q處時(shí)，乙扣球成功，求處時(shí)，乙扣球成功，求a a的值的值124125解：解：(1)(1)當(dāng)當(dāng)a a 時(shí)，時(shí)，y y (x(x4)4)2 2h h，將點(diǎn)將點(diǎn)P(0P(0，1)1)代入得代入得 1616h h1 1，解得解得h h . .把把x x5 5代入代入y y (x(x4)4)2 2 得得y y (5(54)4)2 2 1.625.1.625.1.6251.6251.551.55，此球能過網(wǎng)此球能過網(wǎng)124124124531245312453(2)(2)把把(0(0，1)1)，(7(7， ) )代入代入y ya(xa(x4)4)2 2h h得得a a . .125154 4(2017(2017德州中考德州中考) )隨著新農(nóng)村的建設(shè)和舊城的改造，我隨著新農(nóng)村的建設(shè)和舊城的改造，我們的家園越來越美麗小明家附近廣場中央新修了個(gè)圓形噴們的家園越來越美麗小明家附近廣場中央新修了個(gè)圓形噴水池，在水池中心豎直安裝了一根高為水池，在水池中心豎直安裝了一根高為2 2米的噴水管，它噴米的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離1 1米處達(dá)到最高，米處達(dá)到最高，水柱落地處離池中心水柱落地處離池中心3 3米米(1)(1)請你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出水柱拋物線的請你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出水柱拋物線的函數(shù)解析式；函數(shù)解析式；(2)(2)求出水柱的最大高度是多少？求出水柱的最大高度是多少？解：解： (1)(1)如圖，以噴水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖，以噴水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為x x軸，水管所在軸，水管所在直線為直線為y y軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為的函數(shù)解析式為y ya(xa(x1)1)2 2h(0 x3)h(0 x3)拋物線過點(diǎn)拋物線過點(diǎn)(0(0，2)2)和和(3(3，0)0)，代入拋物線解析式可得，代入拋物線解析式可得拋物線解析式為拋物線解析式為y y (x(x1)1)2 2 (0 x3)(0 x3)，化為一般式為化為一般式為y y x x2 2 x x2(0 x3)2(0 x3)(2)(2)由由(1)(1)拋物線解析式為拋物線解析式為y y (x(x1)1)2 2 (0 x3)(0 x3)，當(dāng)當(dāng)x x1 1時(shí)，時(shí)，y y . .答：水柱的最大高度為答：水柱的最大高度為 m.m.2383234323838383